江苏省运河中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷(解析版)

这是一份江苏省运河中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（每题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 已知，菱形的周长为20，一条对角长为6，则菱形的面积（ ）
A. 48B. 24C. 18D. 12
答案：B
解析：如图，BD=6，
∵菱形的周长为20，
∴AB=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=DB=3，
由勾股定理得OA=4，则AC=8，
所以菱形的面积=AC•BD=×6×8=24．
故选B．
3. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A. AB= CDB. AD= BCC. AB=BCD. AC= BD
答案：D
解析：解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：D．
4. 四边形的中点四边形是矩形，那么四边形一定满足条件（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 对角线相等D. 对角线互相垂直
答案：D
解析：解：四边形的中点四边形是一个矩形，
四边形的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可，
故选：D．
5. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A. 32B. 16C. 8D. 4
答案：C
解析：∵AD＝AC，
∴是等腰三角形，
∵AE⊥CD，
∴，
∴E是CD的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴，
故答案为：C．
6. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等
B. 一组对边相等，一组对角相等
C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
答案：C
解析：解：A、一组对边平行，另一组对边相等，这个四边形有可能是等腰梯形．故此选项不符合题意；
B、一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，是平行四边形，故此选项符合题意；
D、一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
7. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（ ）
A. B. 2C. D. 1
答案：A
解析：设AP=x，PD=4﹣x．
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；
∴△AEP∽△ADC，故=①；
同理可得△DFP∽△DAB，故=②．
①+②得=，
∴PE+PF=．故选A．
8. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°
答案：B
解析：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；
故选：B．
二、填空题（每题3分共24分）
9. 菱形周长为40 cm，它的一条对角线长12 cm，则菱形的面积为___________cm2
答案：96
解析：解：∵菱形周长为40 cm，
∴菱形的边长为10 cm，
又∵一条对角线长12cm，
根据勾股定理，可得出另一条对角线长16cm，
∴菱形的面积为cm2
10. 如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm．
答案： ①. 平行四边形 ②. 56
解析：解：连接，，
，，，分别是，，，边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
，，，分别是，，，边的中点，
同理，，
∴四边形的周长是：．
故答案为：平行四边形；56．
11. 菱形周长为40 cm，它的一条对角线长12 cm，则菱形的面积为___________cm2
答案：96
解析：解：∵菱形周长为40 cm，
∴菱形的边长为10 cm，
又∵一条对角线长12cm，
根据勾股定理，可得出另一条对角线长16cm，
∴菱形的面积为cm2
12. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E为的中点，若，等于______．
答案：10
解析：解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴为直角三角形．
∵，且点E为线段的中点，
∴．
∴．
故答案为：10．
13. 已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F，若，，则_____．

答案：2
解析：解：∵四边形是平行四边形
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴
故答案为：2．
14. 已知□ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=3，则DC边上的高AF的长是_____．
答案：4.5
解析：根据平行四边形的对边相等，可得CD=AB=4，又因为S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，所以求得DC边上的高AF的长是4.5．
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
∴S▱ABCD=BC•AE=CD•AF=6×3=118，
∴AF=4.5．
∴DC边上的高AF的长是4.5．
故答案为4.5．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长______cm．
答案：4
解析：如图：在▱ABCD中，已知AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，又因为AC⊥BC，根据勾股定理可得AC=6cm，即可得OC=3cm，再由勾股定理求得BO=5cm，所以BD=10cm，所以△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，
故答案为4.
16. 在平面直角坐标系中，□OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向右平移，经过_______秒该直线可将□OABC的面积平分．
答案：3
解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，且点B（6，2），
∴平行四边形ABCD的对称中心M的坐标为（3，1），
∵直线的表达式为y＝2x＋1，
令y=0，2x+1=0，解得x=-
∴直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0）
设直线平移后将平行四边形OABC平分时的直线方程为y＝2x＋b，
将（3，1）代入y＝2x＋b得b＝−5，即平分时的直线方程为y＝2x−5，
令y=0，2x−5=0，解得x=
∴直线y＝2x−5和x轴的交点坐标为（，0），
∵直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0），
∴直线运动的距离为＋＝3，
∴经过3秒的时间直线可将平行四边形OABC的面积平分．
故答案为：3．
三、解答题（共92分）
17. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图；
（1）作出关于轴对称的；
（2）作出关于原点对称的中心对称图形．
答案：（1）见解析 （2）见解析
小问1解析：
解：如图，即为所求；
；
小问2解析：
解：如图，即为所求．
18. （1）探究规律：如图，已知□ABCD，试用三种方法将它分成面积相等的两部分：

（2）解决问题：兄弟俩共同承包的一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？
答案：（1）三种方法，如图所示见解析；（2）一人分四边形ABFE，另一人分四边形CDEF．
解析：（1）三种方法，如图所示：
（2）连接AC、BD相交于点O，过O、P作直线分别交AD、BC于E、F，
则一人分四边形ABFE，另一人分四边形CDEF．
19. 用反证法证明下列问题：
如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
答案：见解析
解析：证明：连接，
假设和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵在中，点D、E分别在上，
∴不可能平行于，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即和不可能互相平分．
20. 已知：平行四边形中，平分交于，平分交于．若，．求平行四边形的周长．
答案：平行四边形的周长为16或20．
解析：解：如图1，四边形是平行四边形，
，，
平分交于，平分交于，
，，
，，
，
，
，
∴平行四边形周长为；
如图2，四边形是平行四边形，
，，
平分交于，平分交于，
，，
，，
，
，
∴平行四边形的周长为；
综上所述：平行四边形的周长为16或20．
21. 求证：对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．（画图，写已知，求证并证明）
答案：见解析
解析：已知：如图，四边形中，，，，，
求证：四边形是正方形．
证明：∵，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
22. 平行四边形周长为36，，，且，求这个平行四边形的面积．
答案：平行四边形的面积为40．
解析：解：连接，
平行四边形的周长为36，
，
设为，
，
，
解得，即，
平行四边形的面积为．
23. 在中，点是的中点，平分，于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）1
小问1解析：
解：延长交于，

平分，于点，
，，
在和中，
，
．
，
点是的中点，
，
是的中位线．
；
小问2解析：
，
，
是的中位线．
，
故的长为1．
24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
答案：（1）详见解析；
（2）75°； （3）．
小问1解析：
证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
小问2解析：
解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
小问3解析：
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，
由（1）可知，∠OCB＝30°，
∴AC=2AB=4，
∴，
∴矩形OEC的面积．
25. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，FG是折痕，连接BF．
（1）求证：四边形BGDF是菱形；
（2）求折痕FG的长．
答案：（1）证明见解析
（2）
小问1解析：
证明：连接BD，FG与BD相交于点O，如图．
∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，
∴FG垂直平分BD，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形BGDF为菱形；
小问2解析：
解：在中，，
设，则，，
在中，，
即，
解得，即．
∵，
∴，
∴，
∴．
26. 在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．

（1）t取何值时，四边形为矩形？
（2）是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形？
答案：（1）时，四边形为矩形；
（2）4或
小问1解析：
解：由题意可知，，则，，则，
∵，即，
∴当时，四边形为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
则有，解得，
答：时，四边形为矩形；
小问2解析：
解：∵，是上一点，即，
①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述s或s时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
27. 我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形．

（1）定义理解：以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是______；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形；
（3）如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由．
答案：（1）②④ （2）见解析
（3），理由见解析
小问1解析：
解：∵矩形和正方形都有一组邻角相等，
∴矩形和正方形是等邻角四边形，
故答案：②④；
小问2解析：
证明：连接，

∵垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为等邻角四边形．
小问3解析：
，理由如下：
过点P作，垂足为F，

∵，
∴，
∴，
∵四边形为等邻角四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
即．