山东省泰安肥城市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份山东省泰安肥城市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了 若非零向量与满足，且，则为， 下列向量的运算结果正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 下列向量与不共线一组的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于选项A、B由向量共线定理可判断，对于C、 D向量共线的坐标表示即可判断.
【详解】对于A，由，则，所以，故选项A不选；试卷源自 来这里 全站资源一元不到！ 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。对于B，由，则，所以，故选项B不选；
对于C，由，因为，所以与不共线；
对于D，由，因为，所以，故选项D不选.
故选：C.
3. 中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】在中，由正弦定理，求出的值，进而由三角形内角范围得出再依题意取舍即可.
【详解】由题意在中，由正弦定理，
则，所以，因为，
所以或，又因为，，所以，所以.
故选：B.
4. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果.
【详解】
过点作交轴于点，如图所示，
在中，，
由正弦定理可得，，所以，
由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是.
故选：A.
5. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】先根据根据正弦定理求得，进而在中，根据求解．
【详解】在中，，，，
则，
由正弦定理得，
所以.在中，，
所以米.
故选：A
6. 如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案.
详解】由图形可知：.
故选：C.
7. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则该圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分别求出圆柱、圆锥、球的表面积，即可得到答案.
【详解】因为一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，所以圆柱的表面积，
圆锥的表面积，
球的表面积，
则该圆柱、圆锥、球的表面积之比为，
故选：B
8. 若非零向量与满足，且，则为（ ）
A. 三边均不相等的三角形
B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形
D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断.
【详解】因为分别为与同向的单位向量，
因为，可知的角平分线与BC垂直，则，
又因为，即，
且，则，所以是等边三角形.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列向量的运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D. 【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D错误.
故选：AC
10. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，则（ ）
A. 两点在以原点为圆心的同一个圆上
B. 两点之间距离为
C. 满足的复数对应的点形成的图形的周长是
D. 满足的复数对应的点形成的图形的面积是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，结合圆的定义、圆的周长公式、圆的面积公式逐一判断即可.
【详解】对A：由题意得,
所以,所以,
所以两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误;
对B：两点之间的距离为,故B正确；
对C：满足的复数对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆,所以其周长为,故C错误；
对D：满足的复数对应的点形成的图形是以原点为圆心，
分别以为半径的两个圆所夹的圆环，
所以其面积为,故D正确.故选:BD
11. 如图所示的几何体是一个棱长为的正八面体，则（ ）
A. 与是异面直线
B. 该正八面体的表面积是
C. 该正八面体的体积是
D. 平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由异面直线的性质判断A正确；由正八面体由八个全等的正三角形组成，再求面积之和可得B正确；由正八面体的体积等于计算可得C错误；由球的截面性质求出截面圆的半径，再求出面积可得D正确.
【详解】A：由正八面体的性质可得，，所以与不平行，
又由图可得，与不相交，
所以与是异面直线，故A正确；
B：因为正八面体由八个全等的正三角形组成，且棱长为2，
由三角形面积公式可得八面体的表面积为，
故B正确；
C：连接，交点设为，再连接，如图：
因为四边形为正方形，所以对角线的一半长，
又由勾股定理可得，
所以八面体的体积为，故C错误；
D：
取的中点，连接，
在中，，
因为，所以正八面体外接球的球心为，半径为，
作于，
则平面，
由等面积可得，
平面截该正八面体的外接球的截面是圆，与平面所截面积相等，
其半径，
所以截面圆的面积为，故D正确；
故选：ABD.【点睛】方法点睛：在求组合体的体积或面积时可采用拼接的方法.
三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分.
12. 已知复数满足，则__________．
【答案】.
【解析】
【分析】在等式两边同时除以，再利用复数的除法法则可得出复数.
【详解】，，
故答案为.
【点睛】本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.
13. 已知向量，且，则________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据模长关系结合数量积运算律分析求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
14. 已知中，角所对的边分别为，若，且角为钝角，则________________，的取值范围是________________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据余弦定理及正弦定理的边化角得到，于是将问题的分式利用正弦定理进行边化角，得到，然后由角为钝角，求得的范围，进而求出的范围，即可得到范围.
【详解】因为，
由余弦定理知，，所以，
即，
则由正弦定理得，
则，
得，
即，
又中，角为钝角，则，
所以，即；
由正弦定理，
，
由角为钝角，所以，又，
所以，即，所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为虚数单位，复数．
（1）当实数取何值时，是纯虚数；
（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用纯虚数的定义列方程组求解即可；
（2）当时，，再将其代入方程，利用复数相等列方程组，解得参数即可
【小问1详解】
若复数z是纯虚数，则，解得， 所以得.
【小问2详解】
当时，，
把代入方程，
得，
整理得，，
所以，解得.
16. 如图，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥.
（1）求原圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积的值.
（2）求挖去圆锥后的几何体的体积.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆柱的表面积公式求出，再求出圆锥的母线，则，即可得解；
（2）根据圆柱、圆锥的体积公式计算可得.
【小问1详解】
由题意，知，
挖去圆锥的母线长，
所以.
【小问2详解】原圆柱的体积，
挖去圆锥的体积，
所以剩余几何体的体积.
17. 已知，是两个不共线的向量.
（1）若，，，证明：三点共线；
（2）若向量，共线，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面向量共线定理，根据已知条件构造，得到，且直线与直线有公共点，因此三点共线；
（2）由向量，共线，且向量为非零向量，所以存在实数，使得，进而变形求解出即可.
【小问1详解】
因为，
，
所以，且直线与直线有公共点，
因此三点共线.
【小问2详解】
因为，不共线，所以向量为非零向量，
因为向量，共线，
所以存在实数，使得，即，
必有，由，不共线，所以 解得 ，
因此，当向量，共线时，.
18. 如图，正方体中，，点分别是棱的中点.
（1）根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明；
（2）求多面体的表面积和体积.
【答案】（1）几何体是三棱台，证明见解析
（2）表面积为，体积为
【解析】
【分析】（1）根据基本事实证明三线共点，从而得几何体是三棱锥，结合三棱台的定义即可判断；
（2）依次求出三棱台的各个面的面积即可求得表面积，再求出三棱台的高，结合台体体积公式求解即可.
【小问1详解】
几何体是三棱台，证明如下：
因为点分别是棱的中点，连接，所以，
且，因此四边形是梯形.
延长相交于点，因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面.
因为平面平面，所以，
所以直线相交于同一个点.
所以几何体是三棱锥，
由于平面平面，因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，
底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体是三棱台.
【小问2详解】
因为，所以，
在等腰梯形中，，高，
所以.
又因为，，
所以三棱台的表面积是.
因为三棱台的高，
所以棱台的体积
.
19. 如图，梯形中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求梯形的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，利用正弦定理，结合已知推理即得.
（2）由（1）结合已知求出，利用余弦定理求出并验证即可求出梯形的面积.
【小问1详解】
连接，由，得，在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，则，
而，所以.
【小问2详解】
由（1）知，又，则，
而，于是，，，
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：，
于是，解得或，
当时，连接，在中，由余弦定理得：
，解得，而此时，矛盾，
当时，，解得，符合题意，
此时梯形的高，
所以梯形的面积.