2024年西藏拉萨市城关区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年西藏拉萨市城关区中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，第四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−10的相反数是( )
A. 110B. 10C. −110D. −10
2.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.今年我市高中计划招生52300人，将数据52300用科学记数法表示是( )
A. 0.523×105B. 5.23×103C. 5.23×104D. 52.3×103
4.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列运算正确的是( )
A. 2m−m=1B. m2⋅m3=m6C. (mn)2=m2n2D. (m3)2=m5
6.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，将厨余垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，若加工处理量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，可列方程为( )
A. 1000(1−x)2=1200B. 1000(1+x)2=1200
C. 1200(1−x)2=1000D. 1200(1+x)2=1000
7.分式13+x有意义的条件是( )
A. x=−3B. x≠−3C. x≠3D. x≠0
8.不等式3x+1<2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54°，则∠2的度数为( )
A. 26°B. 36°C. 44°D. 54°
10.对于反比例函数y=−5x，下列说法错误的是( )
A. 图象经过点(1,−5)B. 图象位于第二、第四象限
C. 当x<0时，y随x的增大而减小D. 当x>0时，y随x的增大而增大
11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为( )
A. 3
B. 6
C. 3
D. 2 3
12.如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF=45°，则AF：FC的值是( )
A. 3B. 5+1C. 2 2+1D. 2+ 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算m⋅m7的结果等于______．
14.请填写一个常数，使得关于x的方程x2−2x+ =0有两个不相等的实数根．
15.已知圆锥的高为12，底面圆的半径为5，则该圆锥的侧面展开图的面积为______．
16.把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为_________
17.如图，依据尺规作图的痕迹，则∠α的度数为______．
18.在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E在边CD上，且CE=4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
计算：20220+ 4+|−12|−sin30°．
20.(本小题5分)
先化简，再求值：(3xx−2−xx+2)÷xx2−4，在−2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
21.(本小题5分)
如图，在△ABC中，点D，F分别为边AC，AB的中点.延长DF到点E，使DE=EF，连接BE.求证：BE=DC．
22.(本小题7分)
北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项(每人限选1项)，制作了如图统计图(部分信息未给出)．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；
(2)补全条形统计图；
(3)把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
23.(本小题7分)
某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm(如图)．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
24.(本小题8分)
A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h.如图是甲、乙行驶路程y甲(km)，y乙(km)随行驶时间x(h)变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______km/h；
(2)分别求出y甲，y乙与x之间的函数表达式；
(3)求出点C的坐标．
25.(本小题8分)
如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．(提示： 2≈1.414， 3≈1.732)
26.(本小题12分)
如图，已知抛物线：y=−2x2+bx+c与x轴交于点A，B(2,0)(A在B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线x=12，P是第一象限内抛物线上的任一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
(3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−10的相反数为10，
故选：B．
符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可得出答案．
本题考查相反数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】C
【解析】解：52300=5.23×104，
故选：C．
将较大的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数即可．
本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：这个几何体的主视图如下：
故选：B．
根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】
解：A：2m−m=m，故A不符合题意；
B：m2⋅m3=m5，故B不符合题意；
C：(mn)2=m2n2，故C符合题意；
D：(m3)2=m6，故D不符合题意．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：设月平均增长率为x，可列方程为1000(1+x)2=1200，
故选：B．
设月平均增长率为x，根据将厨余垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：
3+x≠0，
∴x≠−3，
故选：B．
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3+x≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：3x+1<2x，
移项，得：3x−2x<−1，
合并同类项，得：x<−1，
其解集在数轴上表示如下：
，
故选：B．
根据解不等式的方法可以解答本题．
本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
9.【答案】B
【解析】【分析】
首先利用垂直的定义得到∠COE=90°，然后利用平角的定义即可求解．
本题主要考查了垂直的定义和平角的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点．
【解答】
解：∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠1+∠COE+∠2=180°，
∴∠2=180°−∠1−∠COE=180°−54°−90°=36°．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=−5x，
∴当x=1时，y=−51=−5，故选项A不符合题意；
k=−5，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x<0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
当x>0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径OB=OC=6π2π=3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=3，
即正六边形的边长为3．
故选C．
连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB=OC=3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC=360°6=60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形．
12.【答案】D
【解析】解：连接DB，交AC于点O，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=12∠DAB=30°，AC⊥BD，OD=12BD，AC=2AO，AB=AD，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴DB=AD，
∵∠AOD=90°，点E是DA中点，
∴OE=AE=DE=12AD，
∴设OE=AE=DE=a，
∴AD=BD=2a，
∴OD=12BD=a，
在Rt△AOD中，AO= AD2−DO2= (2a)2−a2= 3a，
∴AC=2AO=2 3a，
∵EA=EO，
∴∠EAO=∠EOA=30°，
∴∠DEO=∠EAO+∠EOA=60°，
∵∠DEF=45°，
∴∠OEF=∠DEO−∠DEF=15°，
∴∠EFO=∠EOA−∠OEF=15°，
∴∠OEF=∠EFO=15°，
∴OE=OF=a，
∴AF=AO+OF= 3a+a，
∴CF=AC−AF= 3a−a，
∴AFCF= 3a+a 3a−a= 3+1 3−1=2+ 3，
故选：D．
连接DB，交AC于点O，连接OE，根据菱形的性质可得∠DAC=12∠DAB=30°，AC⊥BD，OD=12BD，AC=2AO，AB=AD，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得DB=AD，再根据直角三角形斜边上的中线可得OE=AE=DE=12AD，然后设OE=AE=DE=a，则AD=BD=2a，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出∠OEF=∠EFO=15°，从而可得OE=OF=a，即可求出AF，CF的长，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13.【答案】m8
【解析】解：m⋅m7=m8．
故答案为：m8．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14.【答案】0(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac>0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的取值范围．
【解答】
解：a=1，b=−2．
∵Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×c>0，
∴c<1．
故答案为：0(答案不唯一)．
15.【答案】65π
【解析】解：∵圆锥的底面半径是5，高是12，
∴圆锥的母线长为13，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积=π×5×13=65π．
故答案为：65π．
利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥面积=πrl．
考查圆锥的计算；掌握圆锥的侧面展开图扇形的弧长公式是解决本题的关键．
16.【答案】y=2(x+1)2−2
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，
将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2，
即y=2(x+1)2；
由“上加下减”的原则可知，
将抛物线y=2(x+1)2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2−2，
即y=2(x+1)2−2．
故答案为：y=2(x+1)2−2．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17.【答案】60°
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，
∴∠DBA=∠BDC=60°．
∵由作法可知，AF是∠DBA的平分线，
∴∠DBF=12∠ABD=30°．
∵由作法可知，EF是线段BD的垂直平分线，
∴∠BEF=90°，
∴∠BFE=90°−30°=60°，
∴∠α=60°，
故答案为：60°．
根据矩形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
18.【答案】313或154或6
【解析】解：若△APE是直角三角形，有以下三种情况：
①如图1，∠AEP=90°，
∴∠AED+∠CEP=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠AED=∠CPE，
∴△ADE∽△ECP，
∴ADCE=DECP，即124=9−4CP，
∴CP=53，
∵BC=AD=12，
∴BP=12−53=313；
②如图2，∠PAE=90°，
∵∠DAE+∠BAE=∠BAE+∠BAP=90°，
∴∠DAE=∠BAP，
∵∠D=∠ABP=90°，
∴△ADE∽△ABP，
∴ADAB=DEPB，即129=5BP，
∴BP=154；
③如图3，∠APE=90°，设BP=x，则PC=12−x，
同理得：△ABP∽△PCE，
∴ABPC=BPCE，即912−x=x4，
∴x1=x2=6，
∴BP=6，
综上，BP的长是313或154或6．
故答案为：313或154或6．
若△APE是直角三角形，有三种情况：①如图1，∠AEP=90°，②如图2，∠PAE=90°，③如图3，∠APE=90°，分别证明三角形相似可解答．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想．
19.【答案】解：原式=1+2+12−12=3．
【解析】利用零指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，可求解．
本题考查了实数的运算，利用零指数幂和特殊角的三角函数值化简是解题的关键．
20.【答案】解：原式=3x(x+2)−x(x−2)(x+2)(x−2)·(x+2)(x−2)x
=x(2x+8)(x+2)(x−2)·(x+2)(x−2)x
=2x+8，
∵要使原分式有意义，则x−2≠0，x+2≠0，x≠0，
∴x≠0且x≠2且x≠−2，
∴当x=1时，原式=2+8=10．
【解析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代值求解即可.注意代的值要使原分式有意义．
21.【答案】∵△ADF≌△BEF，
∴AD=BE，证明：∵点F为边AB的中点，
∴AF=BF，
在△ADF和△BEF中，
AF=BF∠AFD=∠BFEDF=EF，
∴△ADF≌△BEF(SAS)，
∴AD=BE，
∵点D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴BE=CD．
【解析】点F为边AB的中点，得AF=BF，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ADF≌△BEF，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题重点考查全等三角形的判定与性质等知识，△ADF≌△BEF是解题的关键．
22.【答案】解：(1)100，800，
(2)∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%=10(人)，
∴爱好自由式滑雪的学生数为100−40−20−10=30(人)，
补全条形统计图如下：
(3)列表如下：
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：(A,C)，(B,C)，(D,C)(C,A)，(C,B)，(C,D)，一共6种等可能的结果，
∴P(抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C)=612=12．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是12．
【解析】解：(1)∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%=100(人)，
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%=800(人)，
故答案为：100，800；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由爱好花样滑冰运动的40人，占调查人数的40%，可求出调查人数，用爱好花样滑冰运动的学生占调查人数的40%，可估计2000名学生中，爱好花样滑冰运动的学生人数；
(2)求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可；
(3)列表求出12种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查统计与概率问题，解题的关键是用列表法或画树状图法，不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为24−x−2x3=(8−x) m，
∴(x+2x)(8−x)=36，
解得x=2或x=6，
当x=6时，3x=18>10，不符合题意，舍去，
∴x=2，
答：此时x的值为2m；
(2)设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为10，
∴0根据题意得：y=(x+2x)(8−x)=−3x2+24x=−3(x−4)2+48，
∵−3<0，
∴x<4时，y随着x的增大而增大，
∴当x=103时，y取最大值，最大值为−3×(103−4)2+48=1403(m2)，
答：当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403m2．
【解析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
(1)根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为24−x−2x3=(8−x) m，可得(x+2x)(8−x)=36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2m；
(2)设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得024.【答案】60
【解析】解：(1)由图可知，甲从A地出发前往B地，全程所行路程为300km，所用时间为5h，
甲的速度为：300÷5=60(km/h)，
故答案为：60；
(2)设y甲与x之间的函数表达式为：y甲=k1x+b1，
将点(0,0)和(5,300)代入得：b1=05k1+b1=300，
解得：k1=60b1=0，
∴y甲=60x(0设y乙与x之间的函数表达式为：y乙=kx+b，
将点(1,0)和(4,300)代入得：k+b=04k+b=300，
解得k=100b=−100，
∴y乙=100x−100(1(3)根据题意，得60x=100x−100，
解得x=2.5，60×2.5=150(km)，
∴点C的坐标为(2.5,150)．
(1)观察图象，甲从A地出发前往B地，全程所行路程为300km，所用时间为5h，用路程除以时间求速度即可；
(2)利用待定系数法求函数解析式即可；
(3)用y甲(km)，y乙(km)之间的函数解析式联立，求解即可．
本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求函数的解析式，求直线交点坐标等知识，读懂题意，从图象中找到相关信息是解答本题的关键．
25.【答案】解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，

由题意可得，∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−45°=45°，AB=30×1=30km，
在Rt△CBD中，设CD=BD=x km，则AD=(x+30)km，
在Rt△ACD中，tan30°=CDAD，
∴CDAD= 33，
∴xx+30= 33，
解得：x=15 3+15≈40.98>40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
【解析】过点C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函数值求得CD的长度，从而根据无理数的估算作出判断．
本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
26.【答案】解：(1)由题意得：−8+2b+c=0−b−4=12，
解得：b=2c=4，
∴抛物线的解析式为：y=−2x2+2x+4；
(2)△POD不可能是等边三角形，理由如下：
如图1，取OD的中点E，过点E作EP//x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，

∵C(0,4)，D是OD的中点，
∴E(0,1)，
当y=1时，−2x2+2x+4=1，
2x2−2x−3=0，
解得：x1=1+ 72，x2=1− 72(舍)，
∴P(1+ 72,1)，
∴OD≠PD，
∴△POD不可能是等边三角形；
(3)设点P的坐标为(t,−2t2+2t+4)，则OH=t，BH=2−t，
分两种情况：
①如图2，△CMP∽△BMH，

∴∠PCM=∠OBC，∠BHM=∠CPM=90°，
∴tan∠OBC=tan∠PCM，
∴HMBH=PMCP=OCOB=42=2，
∴PM=2PC=2t，MH=2BH=2(2−t)，
∵PH=PM+MH，
∴2t+2(2−t)=−2t2+2t+4，
解得：t1=0，t2=1，
∴P(1,4)；
②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM=∠BHM=90°，

过点P作PE⊥y轴于E，
∴∠PEC=∠BOC=∠PCM=90°，
∴∠PCE+∠EPC=∠PCE+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴PEEC=OCOB，
∴t−2t2+2t+4−4=42，
解得：t1=0(舍)，t2=34，
∴P(34,358)；
综上，点P的坐标为(1,4)或(34,358).
【解析】(1)把点B(2,0)代入y=−2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x=12列方程，两个方程组成方程组可解答；
(2)当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形；
(3)分种情况：①当PC/​/x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；②②如图3，△PCM∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论．
本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似的情况．