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2023-2024学年江苏省常州市金坛区七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省常州市金坛区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算2x⋅x2的结果是( )
A. x2B. 2x3C. x3D. 2x2
2.下列运算正确的是( )
A. a3÷a=a2B. (a2)3=a5
C. 2a2+3a2=5a4D. a(a+1)=a2+1
3.如果3x=m，3y=n，那么3x−y等于( )
A. m+nB. m−nC. mnD. mn
4.已知一个正方形的边长是a，若它的边长增加1，则这个正方形的面积增加( )
A. 1B. 2a+1C. a2D. a2+2a+1
5.下列各式中，为完全平方式的是( )
A. a2+2a+14B. a2+a+14C. x2−2x−1D. x2−xy+y2
6.如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD//BE.若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为( )
A. 65°
B. 75°
C. 85°
D. 95°
7.把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠.图中∠1=110°，则∠2的度数是( )
A. 70°
B. 65°
C. 60°
D. 55°
8.已知(2024−x)(x−2023)=−2，则(2024−x)2+(x−2023)2的值是( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算：(2a2b)2=______．
10.生物学家发现某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示为______．
11.若xm=3，则x2m= ______．
12.若a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=______．
13.计算：(x−1)2+2x−1= ______．
14.若a2n−1⋅a5=a8，则n= ______．
15.如图，已知直线AB//CD，EG平分∠BEF，∠1=40°，则∠2的度数是______．
16.如图，直线l1//l2，一副直角三角板如图放置在l1、l2之间，点A、E分别在直线l1、l2上，点B、C、D在同一直线上.若∠1=∠2，则∠3= ______°.
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
计算：
(1)(12)−1+(−12)2−(−12)0；
(2)(−a3)4⋅(−a)2÷(a2)5；
(3)(a−4b)2−(a−4b)(a−2b)．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：
(1)2x(x+5)−2(x−1)(x+1)，其中x=−1；
(2)(2a+b)(2a−b)+(2a−b)2，其中a=34，b=13．
19.(本小题12分)
把下列各式分解因式：
(1)x2−4y2；
(2)6abc+9a2c+b2c；
(3)m2(m+1)−(m+1)；
(4)x2−4x−5．
20.(本小题6分)
观察下列算式：
31−30=2×30，
32−31=2×31，
33−32=2×32，
34−33=2×33，
…
(1)写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
(2)计算：30+31+32+⋯+31000．
21.(本小题4分)
(1)如图，以B为顶点，射线BC为一边，在直线BC的上方，用直尺和圆规作∠CBE，使∠CBE=∠CAD(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在所作图中，BE与AD平行吗？若平行，说明理由．
22.(本小题6分)
如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，求∠DCE的度数．
23.(本小题6分)
如图，∠A=70°，∠1=70°，∠B=∠F，探索∠C与∠DEC的数量关系，并说明理由．
24.(本小题6分)
前面的学习中，我们通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式：通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法.如图1，现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b(b
(1)用上述三种卡片拼出图2，通过两种方法计算图2面积，可以得到一个代数恒等式，请写出这个代数恒等式：______；
(2)将2张C型卡片沿如图3所示虚线剪开后，拼成如图4所示的大正方形，请用含有a、b的代数式表示图中的阴影部分面积，即S阴影= ______；
(3)如图5，将长为2a+b，宽为a+2b的长方形中挖去A型、B型卡片各2张.若第(2)问中图4阴影部分面积为9，而图5阴影部分面积为17.5，求图5阴影部分的周长．
25.(本小题8分)
如图，直线AB//CD，点P是AB上方一点，点E、F分别是直线AB、CD上的点，连接PE、PF，PF交AB于点G，EM平分∠PEB．
(1)如图1，若∠EPG=50°，∠PFD=60°，求∠PEG的度数；
(2)如图2，FN平分∠CFG，FN、EM的反向延长线交于点Q，QE交CD于点K.若∠EPG=50°求∠Q的度数；
(3)如图3，FT平分∠PFD，EM的反向延长线与FT交于点T，∠P与∠FTE有怎样的数量关系？直接写出结论，不要说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2x⋅x2=2x3．
故选：B．
根据单项式乘单项式的法则计算即可．
本题考查了单项式乘单项式，掌握运算法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、a3÷a=a2，正确，符合题意；
B、(a2)3=a6，错误，不符合题意；
C、2a2+3a2=5a2，错误，不符合题意；
D、a(a+1)=a2+a，错误，不符合题意；
故选：A．
根据整式的相关运算法则逐项分析判断即可．
本题考查了整式的相关运算，熟练掌握整式的运算法则是关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵3x=m，3y=n，
∴3x−y=3x÷3y=mn，
故选D．
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，整理后再根据指数相等列出方程求解即可．
本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算性质，根据指数相等列式是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：(a+1)2−a2
=a2+2a+1−a2
=2a+1，
故选：B．
根据正方形的面积公式，分别算出正方形原来和增加后的面积；最后相减，化简得到结果．
本题考查了代数式，解题的关键是运用正方形的面积公式来解答．
5.【答案】B
【解析】解：a2+a+14=(a+12)2，
故选B．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AD//BE，
∴∠ADC=∠EBC=80°，
∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°，∠CAD=25°，
∴∠ACB=180°−25°−80°=75°，
故选：B．
由平行线的性质可求∠ADC得度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图：
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠1=110°，
由折叠得：∠2=12∠BEG=55°，
故选：D．
先利用平行线的性质可得∠BEG=∠1=110°，然后再利用折叠的性质可得：∠2=12∠BEG=55°，即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵(2024−x)(x−2023)=−2，
∴(2024−x)2+(x−2023)2
=[(2024−x)+(x−2023)]2−2(2024−x)(x−2023)
=12−2×(−2)
=1+4
=5；
故选：C．
把所求式子变形成[(2024−x)+(x−2023)]2−2(2024−x)(x−2023)，再代入计算即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
9.【答案】4a4b2
【解析】解：原式=4a4b2，
故答案为：4a4b2．
利用积的乘方的性质和幂的乘方的性质进行计算即可．
此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，关键是掌握幂的乘方和积的乘方的计算法则．
10.【答案】2.1×10−6
【解析】解：0.0000021=2.1×10−6；
故答案为：2.1×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】9
【解析】解：当xm=3时，
x2m
=(xm)2
=32
=9．
故答案为：9．
利用幂的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】6
【解析】解：a2b+ab2=ab(a+b)=2×3=6．
故答案为：6．
将所求式子提取公因式ab，再整体代入求值．
本题考查了因式分解法的运用．根据所求的式子，合理地选择因式分解的方法．
13.【答案】x2
【解析】解：原式=x2−2x+1+2x−1=x2，
故答案为：x2．
利用完全平方公式计算即可．
本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】2
【解析】解：∵a2n−1⋅a5=a8，
∴a2n−1+5=a8，
∴2n−1+5=8，
解得n=2，
故答案为：2．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求出n的值．
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
15.【答案】70°
【解析】解：∵∠1+∠BEF=180°，∠1=40°，
∴∠BEF=140°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=12∠BEF=70°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠BEG=70°．
故答案为：70°．
由邻补角的性质求出∠BEF=140°，由角平分线定义求出∠BEG=12∠BEF=70°，由平行线的性质得到∠2=∠BEG=70°．
本题考查平行线的性质，角平分线定义，邻补角的性质，关键是由平行线的性质得到∠2=∠BEG，由角平分线定义，邻补角的性质求出∠BEG的度数即可．
16.【答案】45
【解析】解：延长ED交l1于点F，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACD=180°−∠ACB=135°，
∵∠1=∠2，∠2+∠CDF=180°，
∴∠1+∠CDF=180°，
∵四边形ACDF的内角和为360°，
∴∠4=360°−(∠1+∠CDF)−∠ACD=45°，
∵l1//l2，
∴∠3=∠4=45°，
故答案为：45．
延长ED交l1于点F，先利用平角定义可得∠ACD=135°，∠2+∠CDF=180°，再利用等量代换可得∠1+∠CDF=180°，然后利用四边形内角和是360°可得∠4=45°，从而利用平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(12)−1+(−12)2−(−12)0
=2+14−1
=54；
(2)(−a3)4⋅(−a)2÷(a2)5
=a12⋅a2÷a10
=a14÷a10
=a4；
(3)(a−4b)2−(a−4b)(a−2b)
=a2−8ab+16b2−(a2−6ab+8b2)
=a2−8ab+16b2−a2+6ab−8b2
=−2ab+8b2．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，即可解答；
(3)利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)2x(x+5)−2(x−1)(x+1)
=2x2+10x−2(x2−1)
=2x2+10x−2x2+2
=10x+2，
当x=−1时，
原式=10×(−1)+2
=−8；
(2)(2a+b)(2a−b)+(2a−b)2
=4a2−b2+(4a2−4ab+b2)
=4a2−b2+4a2−4ab+b2
=8a2−4ab，
当a=34，b=13时，
原式=8×(34)2−4×34×13
=8×916−1
=92−1
=72．
【解析】(1)先根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，再算乘法，合并同类项，最后代入求出答案即可；
(2)先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】解：(1)原式=x2−(2y)2
=(x+2y)(x−2y)；
(2)原式=c(9a2+6ab+b2)
=c(3a+b)2；
(3)原式=(m+1)(m2−1)
=(m+1)2(m−1)；
(4)原式=(x−5)(x+1)．
【解析】(1)直接利用平方差公式分解即可；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
(3)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(4)利用十字相乘法分解即可解答．
本题考查了提公因式法，公式法和十字相乘法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式
20.【答案】解：(1)根据算式规律，第n个等式为3n−3n−1=2×3n−1.理由如下：
3n−3n−1
=3⋅3n−1−3n−1
=(3−1)⋅3n−1
=2×3n−1．
(2)31−30=2×30，
32−31=2×31，
33−32=2×32，
34−33=2×33，
…
31001−31000=2×31000，
将以上算式左边与左边、右边与右边分别相加，
得2×(30+31+32+⋯+31000)=31001−1，
∴30+31+32+⋯+31000=12(31001−1)．
【解析】(1)根据算式规律写出第n个等式，并利用同底数幂的乘方运算法则证明即可；
(2)写出当n=1001时的算式，将各算式左边与左边、右边与右边分别相加，得2×(30+31+32+⋯+31000)=31001−1，从而求出30+31+32+⋯+31000的值．
本题考查零指数幂等，掌握零指数幂及同底数幂的乘方运算法则是本题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，∠CBE即为所求．
(2)BE//AD．
理由：同位角相等，两直线平行．
【解析】(1)根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
(2)根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行可得答案．
本题考查作图—基本作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定、作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
22.【答案】解：∵∠A=30°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=90°，
∵CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠BCE=12∠ACB=45°，∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=30°，
∴∠DCE=∠BCE−∠BCD=45°−30°=15°．
【解析】先根据三角形内角和定理计算出∠ACB=180°−∠A−∠B=88°，再根据三角形的高和角平分线的定义得到∠BCE=12∠ACB=44°，∠BDC=90°，于是可计算出∠BCD=30°，然后利用∠DCE=∠BCE−∠BCD进行计算即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，三角形的角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：∠C+∠DEC=180°，理由如下：
∵∠A=70°，∠1=70°，
∴∠A=∠1，
∴AB//FG，
∴∠B=∠FGC，
∵∠B=∠F，
∴∠FGC=∠F，
∴DF//BC，
∴∠C+∠DEC=180°．
【解析】根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
24.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2 a2+b2
【解析】解：(1)由题意，图2中的图形的面积为：(a+b)2或a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2．
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2．
(2)由题意，S阴影=S大正方形−4×12ab=(a+b)2−2ab=a2+b2．
故答案为：a2+b2．
(3)由题意，图5中阴影部分面积为：(2a+b)(a+2b)−2a2−2b2=2a2+5ab+2b2−2a2−2b2=5ab=17.5．
∴ab=3.5．
又由(2)a2+b2=9，
∴(a+b)2=16．
∵a，b均为正数，
∴a+b=4．
又图5中阴影部分的周长为：2(2a+b+a+2b)+4a+4b=10(a+b)，
∴图5中阴影部分的周长为10×4=40．
(1)根据图2，利用不同的方法分别表示出图形的面积，即可确定出所求等式；
(2)根据图4，利用大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积即可得解；
(3)根据题意，列出关于a，b的方程组，解方程组即可得解．
本题主要考查完全平方式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AB//CD，∠PFD=60°，
∴∠PGE=∠PFD=60°，
在△PEG中，∠EPG=50°，∠EPG+∠PGE+∠PEG=180°，
即50°+60°+∠PEG=180°，
∴∠PEG=70°；
(2)设∠BEM=α，ZCFN=β，
∵EM平分∠PEB，FN平分∠CFG，
∴∠PEM=∠BEM=α，∠PEB=2∠BEM=2α，
∠GFN=∠CFN=β，∠CFG=2∠CFN=2β，
∵AB//CD，
∴∠PGE=∠AGF=180°−∠CFG=180°−2β，∠QKF=∠EKD=∠BEM=α，
又∵∠QFK=∠CFN=β，∠PEG=180°−∠PEB=180°−2α，
由三角形内角和定理得：∠EPG+∠PGE+∠PEG=180°，∠Q+∠QFK+∠QKF=180°，
即50°+180°−2β+180°−2α=180°，∠Q+β+α=180°，
由50°+180°−2β+180°−2α=180°，得：a+β=115°
∵∠Q=180°−(α+β)=180°−115°=65°；
(3)∠P与∠FTE的数量关系是：∠P+2∠FTE=360°，理由如下：
过点T作TK//AB，如图(3)所示：
设∠BEM=α，∠DFT=β，
∴EM平分ZPEB，FT平分∠PFD，
∴∠PEM=∠BEM=α，∠PEB=2∠BEM=2α，
∠PFT=∠DFT=β，∠PFD=2∠DFT=2β，
则∠PEG=180°−∠PEB=180°−2a，∠GET=∠BEM=α，
∵AB//CD，
∴∠PGE=∠PFD=2β，
由三角形内角和定理得：∠P+∠PGE+∠PEG=180°，
即∠P+2β+180°−2a=180°，
∴α−β=12∠P，
∵AB//CD，TK//AB，
∴AB//TK//CD，
∴∠ETK=180°−∠GET=180°−α，∠FTK=∠DFT=β，
∴∠FTE=∠ETK+∠FTK=180°−α+β=180°−(α−β)，
∴∠FTE=180°−12∠P，
即∠P+2∠FTE=360°．
【解析】(1)先由AB//CD得∠PGE=∠PFD=60°，再根据三角形内角和定理可得出∠PEG的度数；
(2)设∠BEM=α，ZCFN=β，根据角平分线定义得∠PEM=∠BEM=α，∠PEB=2∠BEM=2α，∠GFN=∠CFN=β，∠CFG=2∠CFN=2β，再根据AB//CD得∠PGE=∠AGF=180°−∠CFG=180°−2β，∠QKF=∠EKD=∠BEM=α，再由三角形内角和定理得：∠EPG+∠PGE+∠PEG=180°，∠Q+∠QFK+∠QKF=180°，即50°+180°−2β+180°−2α=180°，∠Q+β+α=180°，据此可得∠Q的度数；
(3)过点T作TK//AB，设∠BEM=α，∠DFT=β，根据角平分线定义得∠PEM=∠BEM=α，∠PEB=2∠BEM=2α，∠PFT=∠DFT=β，∠PFD=2∠DFT=2β，则∠PEG=180°−∠PEB=180°−2a，∠GET=∠BEM=α，再根据AB//CD得∠PGE=∠PFD=2β，由三角形内角和定理得∠P+∠PGE+∠PEG=180°，进而得α−β=12∠P，证AB//TK//CD得∠ETK=180°−∠GET=180°−α，∠FTK=∠DFT=β，则∠FTE=∠ETK+∠FTK=180°−α+β=180°−(α−β)，据此可得∠P与∠FTE的数量关系．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，角的计算，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算是解决问题的关键．
1.计算2x⋅x2的结果是( )
A. x2B. 2x3C. x3D. 2x2
2.下列运算正确的是( )
A. a3÷a=a2B. (a2)3=a5
C. 2a2+3a2=5a4D. a(a+1)=a2+1
3.如果3x=m，3y=n，那么3x−y等于( )
A. m+nB. m−nC. mnD. mn
4.已知一个正方形的边长是a，若它的边长增加1，则这个正方形的面积增加( )
A. 1B. 2a+1C. a2D. a2+2a+1
5.下列各式中，为完全平方式的是( )
A. a2+2a+14B. a2+a+14C. x2−2x−1D. x2−xy+y2
6.如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD//BE.若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为( )
A. 65°
B. 75°
C. 85°
D. 95°
7.把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠.图中∠1=110°，则∠2的度数是( )
A. 70°
B. 65°
C. 60°
D. 55°
8.已知(2024−x)(x−2023)=−2，则(2024−x)2+(x−2023)2的值是( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算：(2a2b)2=______．
10.生物学家发现某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示为______．
11.若xm=3，则x2m= ______．
12.若a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=______．
13.计算：(x−1)2+2x−1= ______．
14.若a2n−1⋅a5=a8，则n= ______．
15.如图，已知直线AB//CD，EG平分∠BEF，∠1=40°，则∠2的度数是______．
16.如图，直线l1//l2，一副直角三角板如图放置在l1、l2之间，点A、E分别在直线l1、l2上，点B、C、D在同一直线上.若∠1=∠2，则∠3= ______°.
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
计算：
(1)(12)−1+(−12)2−(−12)0；
(2)(−a3)4⋅(−a)2÷(a2)5；
(3)(a−4b)2−(a−4b)(a−2b)．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：
(1)2x(x+5)−2(x−1)(x+1)，其中x=−1；
(2)(2a+b)(2a−b)+(2a−b)2，其中a=34，b=13．
19.(本小题12分)
把下列各式分解因式：
(1)x2−4y2；
(2)6abc+9a2c+b2c；
(3)m2(m+1)−(m+1)；
(4)x2−4x−5．
20.(本小题6分)
观察下列算式：
31−30=2×30，
32−31=2×31，
33−32=2×32，
34−33=2×33，
…
(1)写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
(2)计算：30+31+32+⋯+31000．
21.(本小题4分)
(1)如图，以B为顶点，射线BC为一边，在直线BC的上方，用直尺和圆规作∠CBE，使∠CBE=∠CAD(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在所作图中，BE与AD平行吗？若平行，说明理由．
22.(本小题6分)
如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，求∠DCE的度数．
23.(本小题6分)
如图，∠A=70°，∠1=70°，∠B=∠F，探索∠C与∠DEC的数量关系，并说明理由．
24.(本小题6分)
前面的学习中，我们通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式：通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法.如图1，现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b(b
(1)用上述三种卡片拼出图2，通过两种方法计算图2面积，可以得到一个代数恒等式，请写出这个代数恒等式：______；
(2)将2张C型卡片沿如图3所示虚线剪开后，拼成如图4所示的大正方形，请用含有a、b的代数式表示图中的阴影部分面积，即S阴影= ______；
(3)如图5，将长为2a+b，宽为a+2b的长方形中挖去A型、B型卡片各2张.若第(2)问中图4阴影部分面积为9，而图5阴影部分面积为17.5，求图5阴影部分的周长．
25.(本小题8分)
如图，直线AB//CD，点P是AB上方一点，点E、F分别是直线AB、CD上的点，连接PE、PF，PF交AB于点G，EM平分∠PEB．
(1)如图1，若∠EPG=50°，∠PFD=60°，求∠PEG的度数；
(2)如图2，FN平分∠CFG，FN、EM的反向延长线交于点Q，QE交CD于点K.若∠EPG=50°求∠Q的度数；
(3)如图3，FT平分∠PFD，EM的反向延长线与FT交于点T，∠P与∠FTE有怎样的数量关系？直接写出结论，不要说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2x⋅x2=2x3．
故选：B．
根据单项式乘单项式的法则计算即可．
本题考查了单项式乘单项式，掌握运算法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、a3÷a=a2，正确，符合题意；
B、(a2)3=a6，错误，不符合题意；
C、2a2+3a2=5a2，错误，不符合题意；
D、a(a+1)=a2+a，错误，不符合题意；
故选：A．
根据整式的相关运算法则逐项分析判断即可．
本题考查了整式的相关运算，熟练掌握整式的运算法则是关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵3x=m，3y=n，
∴3x−y=3x÷3y=mn，
故选D．
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，整理后再根据指数相等列出方程求解即可．
本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算性质，根据指数相等列式是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：(a+1)2−a2
=a2+2a+1−a2
=2a+1，
故选：B．
根据正方形的面积公式，分别算出正方形原来和增加后的面积；最后相减，化简得到结果．
本题考查了代数式，解题的关键是运用正方形的面积公式来解答．
5.【答案】B
【解析】解：a2+a+14=(a+12)2，
故选B．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AD//BE，
∴∠ADC=∠EBC=80°，
∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°，∠CAD=25°，
∴∠ACB=180°−25°−80°=75°，
故选：B．
由平行线的性质可求∠ADC得度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图：
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠1=110°，
由折叠得：∠2=12∠BEG=55°，
故选：D．
先利用平行线的性质可得∠BEG=∠1=110°，然后再利用折叠的性质可得：∠2=12∠BEG=55°，即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵(2024−x)(x−2023)=−2，
∴(2024−x)2+(x−2023)2
=[(2024−x)+(x−2023)]2−2(2024−x)(x−2023)
=12−2×(−2)
=1+4
=5；
故选：C．
把所求式子变形成[(2024−x)+(x−2023)]2−2(2024−x)(x−2023)，再代入计算即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
9.【答案】4a4b2
【解析】解：原式=4a4b2，
故答案为：4a4b2．
利用积的乘方的性质和幂的乘方的性质进行计算即可．
此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，关键是掌握幂的乘方和积的乘方的计算法则．
10.【答案】2.1×10−6
【解析】解：0.0000021=2.1×10−6；
故答案为：2.1×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】9
【解析】解：当xm=3时，
x2m
=(xm)2
=32
=9．
故答案为：9．
利用幂的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】6
【解析】解：a2b+ab2=ab(a+b)=2×3=6．
故答案为：6．
将所求式子提取公因式ab，再整体代入求值．
本题考查了因式分解法的运用．根据所求的式子，合理地选择因式分解的方法．
13.【答案】x2
【解析】解：原式=x2−2x+1+2x−1=x2，
故答案为：x2．
利用完全平方公式计算即可．
本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】2
【解析】解：∵a2n−1⋅a5=a8，
∴a2n−1+5=a8，
∴2n−1+5=8，
解得n=2，
故答案为：2．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求出n的值．
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
15.【答案】70°
【解析】解：∵∠1+∠BEF=180°，∠1=40°，
∴∠BEF=140°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=12∠BEF=70°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠BEG=70°．
故答案为：70°．
由邻补角的性质求出∠BEF=140°，由角平分线定义求出∠BEG=12∠BEF=70°，由平行线的性质得到∠2=∠BEG=70°．
本题考查平行线的性质，角平分线定义，邻补角的性质，关键是由平行线的性质得到∠2=∠BEG，由角平分线定义，邻补角的性质求出∠BEG的度数即可．
16.【答案】45
【解析】解：延长ED交l1于点F，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACD=180°−∠ACB=135°，
∵∠1=∠2，∠2+∠CDF=180°，
∴∠1+∠CDF=180°，
∵四边形ACDF的内角和为360°，
∴∠4=360°−(∠1+∠CDF)−∠ACD=45°，
∵l1//l2，
∴∠3=∠4=45°，
故答案为：45．
延长ED交l1于点F，先利用平角定义可得∠ACD=135°，∠2+∠CDF=180°，再利用等量代换可得∠1+∠CDF=180°，然后利用四边形内角和是360°可得∠4=45°，从而利用平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(12)−1+(−12)2−(−12)0
=2+14−1
=54；
(2)(−a3)4⋅(−a)2÷(a2)5
=a12⋅a2÷a10
=a14÷a10
=a4；
(3)(a−4b)2−(a−4b)(a−2b)
=a2−8ab+16b2−(a2−6ab+8b2)
=a2−8ab+16b2−a2+6ab−8b2
=−2ab+8b2．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，即可解答；
(3)利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)2x(x+5)−2(x−1)(x+1)
=2x2+10x−2(x2−1)
=2x2+10x−2x2+2
=10x+2，
当x=−1时，
原式=10×(−1)+2
=−8；
(2)(2a+b)(2a−b)+(2a−b)2
=4a2−b2+(4a2−4ab+b2)
=4a2−b2+4a2−4ab+b2
=8a2−4ab，
当a=34，b=13时，
原式=8×(34)2−4×34×13
=8×916−1
=92−1
=72．
【解析】(1)先根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，再算乘法，合并同类项，最后代入求出答案即可；
(2)先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】解：(1)原式=x2−(2y)2
=(x+2y)(x−2y)；
(2)原式=c(9a2+6ab+b2)
=c(3a+b)2；
(3)原式=(m+1)(m2−1)
=(m+1)2(m−1)；
(4)原式=(x−5)(x+1)．
【解析】(1)直接利用平方差公式分解即可；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
(3)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(4)利用十字相乘法分解即可解答．
本题考查了提公因式法，公式法和十字相乘法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式
20.【答案】解：(1)根据算式规律，第n个等式为3n−3n−1=2×3n−1.理由如下：
3n−3n−1
=3⋅3n−1−3n−1
=(3−1)⋅3n−1
=2×3n−1．
(2)31−30=2×30，
32−31=2×31，
33−32=2×32，
34−33=2×33，
…
31001−31000=2×31000，
将以上算式左边与左边、右边与右边分别相加，
得2×(30+31+32+⋯+31000)=31001−1，
∴30+31+32+⋯+31000=12(31001−1)．
【解析】(1)根据算式规律写出第n个等式，并利用同底数幂的乘方运算法则证明即可；
(2)写出当n=1001时的算式，将各算式左边与左边、右边与右边分别相加，得2×(30+31+32+⋯+31000)=31001−1，从而求出30+31+32+⋯+31000的值．
本题考查零指数幂等，掌握零指数幂及同底数幂的乘方运算法则是本题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，∠CBE即为所求．
(2)BE//AD．
理由：同位角相等，两直线平行．
【解析】(1)根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
(2)根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行可得答案．
本题考查作图—基本作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定、作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
22.【答案】解：∵∠A=30°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=90°，
∵CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠BCE=12∠ACB=45°，∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=30°，
∴∠DCE=∠BCE−∠BCD=45°−30°=15°．
【解析】先根据三角形内角和定理计算出∠ACB=180°−∠A−∠B=88°，再根据三角形的高和角平分线的定义得到∠BCE=12∠ACB=44°，∠BDC=90°，于是可计算出∠BCD=30°，然后利用∠DCE=∠BCE−∠BCD进行计算即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，三角形的角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：∠C+∠DEC=180°，理由如下：
∵∠A=70°，∠1=70°，
∴∠A=∠1，
∴AB//FG，
∴∠B=∠FGC，
∵∠B=∠F，
∴∠FGC=∠F，
∴DF//BC，
∴∠C+∠DEC=180°．
【解析】根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
24.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2 a2+b2
【解析】解：(1)由题意，图2中的图形的面积为：(a+b)2或a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2．
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2．
(2)由题意，S阴影=S大正方形−4×12ab=(a+b)2−2ab=a2+b2．
故答案为：a2+b2．
(3)由题意，图5中阴影部分面积为：(2a+b)(a+2b)−2a2−2b2=2a2+5ab+2b2−2a2−2b2=5ab=17.5．
∴ab=3.5．
又由(2)a2+b2=9，
∴(a+b)2=16．
∵a，b均为正数，
∴a+b=4．
又图5中阴影部分的周长为：2(2a+b+a+2b)+4a+4b=10(a+b)，
∴图5中阴影部分的周长为10×4=40．
(1)根据图2，利用不同的方法分别表示出图形的面积，即可确定出所求等式；
(2)根据图4，利用大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积即可得解；
(3)根据题意，列出关于a，b的方程组，解方程组即可得解．
本题主要考查完全平方式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AB//CD，∠PFD=60°，
∴∠PGE=∠PFD=60°，
在△PEG中，∠EPG=50°，∠EPG+∠PGE+∠PEG=180°，
即50°+60°+∠PEG=180°，
∴∠PEG=70°；
(2)设∠BEM=α，ZCFN=β，
∵EM平分∠PEB，FN平分∠CFG，
∴∠PEM=∠BEM=α，∠PEB=2∠BEM=2α，
∠GFN=∠CFN=β，∠CFG=2∠CFN=2β，
∵AB//CD，
∴∠PGE=∠AGF=180°−∠CFG=180°−2β，∠QKF=∠EKD=∠BEM=α，
又∵∠QFK=∠CFN=β，∠PEG=180°−∠PEB=180°−2α，
由三角形内角和定理得：∠EPG+∠PGE+∠PEG=180°，∠Q+∠QFK+∠QKF=180°，
即50°+180°−2β+180°−2α=180°，∠Q+β+α=180°，
由50°+180°−2β+180°−2α=180°，得：a+β=115°
∵∠Q=180°−(α+β)=180°−115°=65°；
(3)∠P与∠FTE的数量关系是：∠P+2∠FTE=360°，理由如下：
过点T作TK//AB，如图(3)所示：
设∠BEM=α，∠DFT=β，
∴EM平分ZPEB，FT平分∠PFD，
∴∠PEM=∠BEM=α，∠PEB=2∠BEM=2α，
∠PFT=∠DFT=β，∠PFD=2∠DFT=2β，
则∠PEG=180°−∠PEB=180°−2a，∠GET=∠BEM=α，
∵AB//CD，
∴∠PGE=∠PFD=2β，
由三角形内角和定理得：∠P+∠PGE+∠PEG=180°，
即∠P+2β+180°−2a=180°，
∴α−β=12∠P，
∵AB//CD，TK//AB，
∴AB//TK//CD，
∴∠ETK=180°−∠GET=180°−α，∠FTK=∠DFT=β，
∴∠FTE=∠ETK+∠FTK=180°−α+β=180°−(α−β)，
∴∠FTE=180°−12∠P，
即∠P+2∠FTE=360°．
【解析】(1)先由AB//CD得∠PGE=∠PFD=60°，再根据三角形内角和定理可得出∠PEG的度数；
(2)设∠BEM=α，ZCFN=β，根据角平分线定义得∠PEM=∠BEM=α，∠PEB=2∠BEM=2α，∠GFN=∠CFN=β，∠CFG=2∠CFN=2β，再根据AB//CD得∠PGE=∠AGF=180°−∠CFG=180°−2β，∠QKF=∠EKD=∠BEM=α，再由三角形内角和定理得：∠EPG+∠PGE+∠PEG=180°，∠Q+∠QFK+∠QKF=180°，即50°+180°−2β+180°−2α=180°，∠Q+β+α=180°，据此可得∠Q的度数；
(3)过点T作TK//AB，设∠BEM=α，∠DFT=β，根据角平分线定义得∠PEM=∠BEM=α，∠PEB=2∠BEM=2α，∠PFT=∠DFT=β，∠PFD=2∠DFT=2β，则∠PEG=180°−∠PEB=180°−2a，∠GET=∠BEM=α，再根据AB//CD得∠PGE=∠PFD=2β，由三角形内角和定理得∠P+∠PGE+∠PEG=180°，进而得α−β=12∠P，证AB//TK//CD得∠ETK=180°−∠GET=180°−α，∠FTK=∠DFT=β，则∠FTE=∠ETK+∠FTK=180°−α+β=180°−(α−β)，据此可得∠P与∠FTE的数量关系．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，角的计算，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算是解决问题的关键．
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