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2023-2024学年四川省达州市万源中学高一（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年四川省达州市万源中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=R，集合A={x|0A. [2,3)B. (2,3)C. (1,2)D. (−∞,2)
2.若x>2，则x+1x−2的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.已知函数f(x)=2x+x−4，在下列区间中包含f(x)零点的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,+∞)
4.设M是◻ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA+OB+OC+OD=( )
A. OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM
5.要得到函数y=2cs2x的图象.只需将函数y=2sin(2x+π6)的图象( )
A. 向右平移π3个单位长度B. 向左平移π3个单位长度
C. 向右平移π6个单位长度D. 向左平移π6个单位长度
6.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，|a|=|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|=( )
A. 2B. 5C. 2或5D. 2或 5
7.已知cs(α+π6)=17，0<α<π，则sinα的值为( )
A. 3 314B. 5 314C. 1114D. 1314
8.已知函数f(x)= 3sinωxcsωx+cs2ωx+12(ω>0)在区间[0,π]上只有一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是( )
A. [23,1112)B. [23,53)C. [76,53)D. [76,1112)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.与a=(3,−4)共线的单位向量有( )
A. a=(35,45)B. a=(35,−45)C. a=(−35,45)D. a=(−35,−45)
10.计算下列各式，结果为 3的有( )
A. 2(sin15°+cs15°)B. cs215°−cs275°
C. tan30°1−tan230∘D. 1+tan15°1−tan15∘
11.已知函数f(x)=sin(ax+φ)(ω>0,|φ|<π2)，f(−π8)=0,f(x)≤f(3π8)|恒成立，且f(x)在区间(−π12,π24)上单调，则( )
A. f(x)是偶函数B. f(π8)=f(5π8)C. ω只能为奇数D. ω的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角是60°，则a⋅(a−b)= ______．
13.已知函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ<2π)在[π6,π]上单调递减，则φ的一个取值可以是______．
14.若△PAB是边长为2的等边三角形，△PAB所在平面有一点C满足PC=xPA+yPB，且2x+y=3，则|PC|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知α∈(0,π)，csα=45．
(1)求tanα的值；
(2)求sin(π+α)+2sin(π2−α)sin(−α)+cs(π−α)的值．
16.(本小题15分)
已知平面向量a=(1,−3)，b=(2,x)，c=(−3,x+5)．
(1)若a⊥(a+b)，求|b|；
(2)若(a+b)//c，求向量a与b的夹角．
17.(本小题15分)
已知角α的终边经过点(−5,12)，且π2<α<π．
(1)求cs2α和sinα2的值；
(2)若sin(α−β)=−35,π2<α<β<π，求sinβ的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+csx+a的最大值为1．
(1)求实数a的值；
(2)若函数g(x)=f(x)−15在区间[0,π2]上有两个零点x1，x2(x119.(本小题17分)
已知向量a=(sinωx,csωx)，b=(csωx, 3csωx)，其中ω>0，函数f(x)=a⋅b− 32，且f(x)的图象上两条相邻对称轴的距离为π2．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)求函数y=f(x)在[0,π]上的单调递增区间；
(3)若对∀x∈[0,π2]，关于x的不等式f(x−π6)> 2⋅[mf(x2−π24)−cs(x−π4)]成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为集合A={x|0所以∁UB={x|x≥2}，
则A∩(∁UB)={x|2≤x<3}．
故选：A．
由已知结合集合的交集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题，
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
由x>2可得x−2>0，从而x+1x−2=x−2+1x−2+2，进一步即可利用基本不等式进行求解．
【解答】
解：由x>2，得x−2>0，
所以x+1x−2=x−2+1x−2+2≥2 (x−2)(1x−2)+2=4，
当且仅当x−2=1x−2，即x=3时等号成立，
所以x+1x−2的最小值为4．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查零点存在定理，根据零点存在定理判断零点所在区间，属于基础题．
要判断函数f(x)=2x+x−4，的零点的位置，根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．
【解答】
解：∵函数f(x)=2x+x−4是连续且单调递增的函数，
∵f(1)=−1<0，f(2)=2>0，
且f(1)⋅f(2)<0，
根据零点存在定理，函数在(1,2)存在零点．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：如图，
OA+OC=2OM,OB+OD=2OM，
∴OA+OB+OC+OD=4OM．
故选：D．
可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可得出OA+OC=2OM,OB+OD=2OM，然后即可得出正确的选项．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：把y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π3个单位长度可得y=2sin(2x+π6−2π3)=2sin(2x−π2)=−2cs2x，A不符合题意；
把y=2sin(2x+π6)的图象向左平移π3个单位长度可得y=2sin(2x+π6+2π3)=2sin(2x+π3+π2)=2cs2(x+π3)，B不符合题意；
把y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位长度可得y=2sin(2x+π6−π3)=2sin(2x−π6)，C不符合题意；
把y=2sin(2x+π6)的图象向左平移π6个单位长度可得y=2sin(2x+π6+π3)=2sin(2x+π2)=2cs2x，D符合题意．
故选：D．
由已知结合三角函数图象的平移检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数的图象的平移，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由向量a、b、c两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°，
则(|a+b+c|) 2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a⋅b+a⋅c+b⋅c)=11+2(|a|⋅|b|csα+|a|⋅|c|csα+|b|⋅|c|csα)=11+14csα．
所以当α=0°时，|a+b+c|=5；
当α=120°时，|a+b+c|=2．
故选：C．
设向量所成的角为α，则α=0°或α=120°，先求出(|a+b+c|) 2的值即可求出．
考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⋅b=|a|⋅|b|csα的公式，求向量的模的方法，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(α+π6)的值，再根据sinα=sin[(α+π6)−π6]利用两角差的正弦公式即可求解sinα的值．
【解答】
解：因为cs(α+π6)=17>0，0<α<π，
所以π6<α+π6<7π6，可得π6<α+π6<π2，
所以sin(α+π6)= 1−cs2(α+π6)=4 37，
则sinα=sin[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)csπ6−cs(α+π6)sinπ6
=4 37× 32−17×12=1114．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：f(x)= 3sinωxcsωx+cs2ωx+12= 32sin2ωx+12cs2ωx+1=sin(2ωx+π6)+1，
由x∈[0,π]得2ωx+π6∈[π6,2πω+π6]，
若f(x)区间[0,π]上只有一个零点和两个最大值点，
则只需5π2≤2πω+π6<7π2，解得76≤ω<53．
故选：C．
数形结合将f(x)区间[0,π]上只有一个零点和两个最大值点，转化为5π2≤2πω+π6<7π2即可．
本题考查三角函数的图像与性质，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：向量a=(3,−4)可平移到直线y=−43x上，
四个选项中向量的模都等于1，选项B与C中的向量能够平移到直线y=−43x上，
故与a=(3,−4)共线的单位向量有a=(35,−45)，a=(−35,45)．
故选：BC．
直接由共线向量与单位向量的定义得答案．
本题考查共线向量与单位向量的定义，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A， 2(sin15°+cs15°)=2sin(15°+45°)= 3，A正确；
对于B，cs215°−cs275°=cs215°−sin215°=cs30°= 32，B错误；
对于C，原式=12×2tan30°1−tan230∘=12tan60°= 32，C错误；
对于D，原式=tan(45°+15°)=tan60°= 3，正确．
故选：AD．
对于A，利用辅助角的正弦公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于B，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于C，利用二倍角的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于D，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断．
本题主要考查了二倍角公式及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由于函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)，f(−π8)=0，f(x)≤|f(3π8)|恒成立，
故−π8ω+φ=k1π，k1∈Z①，
3π8ω+φ=π2+k2π,k2∈Z，②
故②−①得ω=2(k2−k1)+1，∴φ=π8+3k1+k24π，k1，k2∈Z，
故ω为奇数，φ≠π2+kπ,k∈Z，即f(x)不可能为偶函数，A错误；
由题意可知f(x)≤|f(3π8)|，即x=3π8为函数f(x)的对称轴，
故f(π8)=f(5π8)，B正确；
由A的分析知ω=2(k2−k1)+1，k1，k2∈Z，即ω只能为奇数，C正确；
f(x)在区间(−π12,π24)上单调，故π24−(−π12)≤12⋅2πω，则ω≤8，
又ω为奇数，0<ω≤8，当ω=7时，φ=−π8，f(x)=sin(7x−π8)，
当x∈(−π12,π24)时，7x−π8∈(−17π24,π6)，
由于y=sinx在(−17π24,π6)上不单调，
此时f(x)在(−π12,π24)上不单调；
当ω=5时，φ=−3π8，f(x)=sin(5x−3π8)，
当x∈(−π12,π24)时，5x−3π8∈(−19π24,−π6)，
由于y=sinx在(−19π24,−π6)上不单调，
此时f(x)在(−π12,π24)上不单调；
当ω=3时，φ=3π8，f(x)=sin(3x+3π8)，
当x∈(−π12,π24)时，3x+3π8∈(π8,π2)，
由于y=sinx在(π8,π2)上单调递增，
此时f(x)在(−π12,π24)上单调递增，符合题意，
当ω=1时，φ=π8，f(x)=sin(x+π8)，
当x∈(−π12,π24)时，(x+π8)∈(π24,π6)，
由于y=sinx在(π24,π6)上单调递增，
此时f(x)在(−π12,π24)上单调递增，符合题意，故ω的最小值为1，D正确．
故选：BCD．
根据题意结合正弦函数的性质可求出ω，φ的表达式，可判断C；由此结合正弦函数的奇偶性可判断A；根据正弦函数对称性判断B；利用f(x)在区间(−π12,π24)上单调，可判断D．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】15
【解析】解：因为|a|=5，|b|=4，a与b的夹角是60°，
所以a⋅b=|a||b|cs60°=5×4×12=10，a⋅a=|a|2=25，
故a⋅(a−b)=a⋅a−a⋅b=25−10=15．
故答案为：15．
根据平面向量数量积公式和运算法则求解即可．
本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
13.【答案】π2(答案不唯一)
【解析】解：因为f(x)=sin(x+φ)的一个单调递减区间为[π2−φ,3π2−φ]，0≤φ<2π，
又f(x)在[π6,π]上单调递减，
所以π6≥π2−φπ≤3π2−φ，解得π3≤φ≤π2．
故答案为：π2(答案不唯一)．
由已知结合三角函数图象的变换及正弦函数单调性即可求解．
本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：由△PAB是边长为2的等边三角形，可得PA⋅PB=2×2cs60°=2，
将PC=xPA+yPB两边平方，得PC2=x2PA2+y2PB2+2xyPA⋅PB=4x2+4y2+4xy(*)，
由2x+y=3，可得y=3−2x，代入(*)，得PC2=4x2+4(3−2x)2+4x(3−2x)=12x2−36x+36=12(x−32)2+9，
所以当x=32时，PC2取得最小值9，所以|PC|的最小值为3．
故答案为：3．
由向量等式两边平方整理为|PC|2=4x2+4y2+4xy，利用2x+y=3消元，将其整理成二次函数，求最值即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：(1)由题意有α∈(0,π)，csα=45>0，
所以α∈(0,π2)，
所以sinα= 1−cs2α=35，
又因为tanα=sinαcsα，
所以tanα=34；
(2)sin(π+α)+2sin(π2−α)sin(−α)+cs(π−α)
=−sinα+2csα−sinα−csα=−tanα+2−tanα−1=2−34−1−34=−57．
【解析】(1)结合同角基本关系即可直接求解；
(2)结合诱导公式及同角基本关系进行化简，结合(1)即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为a=(1,−3)，b=(2,x)，所以a+b=(3,x−3)，
因为a⊥(a+b)，所以a⋅(a+b)=0，即1×3−3(x−3)=0，
解得x=4，所以b=(2,4)，所以|b|= 22+42=2 5；
(2)因为a=(1,−3)，b=(2,x)，所以a+b=(3,x−3)，
又因为(a+b)//c，所以3(x+5)=−3(x−3)，
解得x=−1，所以b=(2,−1)，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=2+3 10⋅ 5= 22，
又因为∈[0,π]，所以〈a,b〉=π4．
【解析】(1)由a⊥(a+b)建立方程求出x，再由求模公式计算即可；
(2)由(a+b)//c，建立方程求出x，再由夹角公式计算即可．
本题考查平面向量垂直与平行的坐标表示，属于基础题．
17.【答案】解：∵角α的终边经过点(−5,12)，
∴sinα=12 (−5)2+122=1213，csα=−5 (−5)2+122=−513，
(1)cs2α=1−2sin2α=1−2×(1213)2=−119169；
又∵π2<α<π，π4<α2<π2，csα=1−2sin2α2，
∴sinα2= 1−csα2=3 1313；
(2)∵sin(α−β)=−35,π2<α<β<π，
∴−π2<α−β<0，
∴cs(α−β)= 1−sin2(α−β)=45，
∴sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−sin(α−β)csα=1213×45−(−513)×(−35)=3365．
【解析】(1)结合三角函数的定义先求出sinα，csα，然后结合二倍角公式及半角公式即可分别求解；
(2)结合同角平方关系先求出cs(α−β)，由sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−sin(α−β)csα，代入数据即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+csx+a=sinxcsπ6+csxsinπ6+sinxcsπ6−csxsinπ6+csx+a= 3sinx+csx+a=2( 32sinx+12csx)+a=2(sinxcsπ6+csxsinπ6)+a=2sin(x+π6)+a，
因f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+csx+a的最大值为1，而sin(x+π6)的最大值为1，故2+a=1，a=−1；
(2)由(1)可知f(x)=2sin(x+π6)−1，则g(x)=f(x)−15=2sin(x+π6)−65，
因g(x)=f(x)−15在区间[0,π2]上有两个零点x1，x2(x1即sin(x+π6)=35在[0,π2]上有两个解x1，x2(x1y=sin(x+π6)在[0,π3)上单调递增，在(π3,π2]上单调递减，
依题意x1∈[0,π3),x1+π6∈[π6,π2)，
sin(x1+π6)=35，cs(x1+π6)=45，x2∈(π3,5π6],x2+π6∈[π2,π)，sin(x2+π6)=35，cs(x2+π6)=−45，
故sin(x1−x2)=sin[(x1+π6)−(x2+π6)]=sin(x1+π6)cs(x2+π6)−cs(x1+π6)sin(x2+π6)=35×(−45)−45×35=−2425．
【解析】(1)将函数解析式利用和角公式展开，整理，运用辅助角公式化成正弦型函数，结合条件即可求得a的值；
(2)通过转化，将函数g(x)在区间[0,π2]上有两个零点的问题转化为方程sin(x+π6)=35在[0,π2]上有两个解的问题，借助于正弦函数的图象确定对应三角函数的值，利用拼凑角与和角公式计算即得．
本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为a=(sinωx,csωx)，b=(csωx, 3csωx)，
所以f(x)=a⋅b− 32=sinωxcsωx+ 3cs2ωx− 32
=12sin2ωx+ 3⋅1+cs2ωx2− 32
=12sin2ωx+ 32cs2ωx
=sin(2ωx+π3)，
由题知T2=π2，
∴ω=1，f(x)=sin(2x+π3)；
(2)由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2可得，kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
∴x∈[0,π]时，f(x)的单调递增区间为[0,π12]，[7π12,π]；
(3)∵f(x−π6)> 2⋅[mf(x2−π24)−cs(x−π4)]在x∈[0,π2]恒成立，
∴sin[2(x−π6)+π3]> 2msin[2(x2−π24)+π3]− 2cs(x−π4)，
化简得sin2x>(m−1)(sinx+csx)，
即sin2xsinx+csx=2sinxcsxsinx+csx>m−1在x∈[0,π2]恒成立，
记t=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
∵x∈[0,π2]，
∴x+π4∈[π4,3π4]，
∴t∈[1, 2]，
又2sinxcsx=(sinx+csx)2−1=t2−1，
∴g(t)=t2−1t=t−1t在t∈[1, 2]上单调递增，
∴g(t)min=g(1)=0，
∴m−1<0即m<1，
故m的取值范围为(−∞,1)．
【解析】(1)由已知结合向量数量积的坐标表示，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求ω，进而可求f(x)；
(2)结合正弦函数的单调性即可求解；
(3)由已知不等式先进行参变分离，结合恒成立与最值关系的转化，结合函数单调性即可求解．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，还考查了正弦函数性质的应用，由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
1.设全集U=R，集合A={x|0
2.若x>2，则x+1x−2的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.已知函数f(x)=2x+x−4，在下列区间中包含f(x)零点的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,+∞)
4.设M是◻ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA+OB+OC+OD=( )
A. OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM
5.要得到函数y=2cs2x的图象.只需将函数y=2sin(2x+π6)的图象( )
A. 向右平移π3个单位长度B. 向左平移π3个单位长度
C. 向右平移π6个单位长度D. 向左平移π6个单位长度
6.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，|a|=|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|=( )
A. 2B. 5C. 2或5D. 2或 5
7.已知cs(α+π6)=17，0<α<π，则sinα的值为( )
A. 3 314B. 5 314C. 1114D. 1314
8.已知函数f(x)= 3sinωxcsωx+cs2ωx+12(ω>0)在区间[0,π]上只有一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是( )
A. [23,1112)B. [23,53)C. [76,53)D. [76,1112)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.与a=(3,−4)共线的单位向量有( )
A. a=(35,45)B. a=(35,−45)C. a=(−35,45)D. a=(−35,−45)
10.计算下列各式，结果为 3的有( )
A. 2(sin15°+cs15°)B. cs215°−cs275°
C. tan30°1−tan230∘D. 1+tan15°1−tan15∘
11.已知函数f(x)=sin(ax+φ)(ω>0,|φ|<π2)，f(−π8)=0,f(x)≤f(3π8)|恒成立，且f(x)在区间(−π12,π24)上单调，则( )
A. f(x)是偶函数B. f(π8)=f(5π8)C. ω只能为奇数D. ω的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角是60°，则a⋅(a−b)= ______．
13.已知函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ<2π)在[π6,π]上单调递减，则φ的一个取值可以是______．
14.若△PAB是边长为2的等边三角形，△PAB所在平面有一点C满足PC=xPA+yPB，且2x+y=3，则|PC|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知α∈(0,π)，csα=45．
(1)求tanα的值；
(2)求sin(π+α)+2sin(π2−α)sin(−α)+cs(π−α)的值．
16.(本小题15分)
已知平面向量a=(1,−3)，b=(2,x)，c=(−3,x+5)．
(1)若a⊥(a+b)，求|b|；
(2)若(a+b)//c，求向量a与b的夹角．
17.(本小题15分)
已知角α的终边经过点(−5,12)，且π2<α<π．
(1)求cs2α和sinα2的值；
(2)若sin(α−β)=−35,π2<α<β<π，求sinβ的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+csx+a的最大值为1．
(1)求实数a的值；
(2)若函数g(x)=f(x)−15在区间[0,π2]上有两个零点x1，x2(x1
已知向量a=(sinωx,csωx)，b=(csωx, 3csωx)，其中ω>0，函数f(x)=a⋅b− 32，且f(x)的图象上两条相邻对称轴的距离为π2．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)求函数y=f(x)在[0,π]上的单调递增区间；
(3)若对∀x∈[0,π2]，关于x的不等式f(x−π6)> 2⋅[mf(x2−π24)−cs(x−π4)]成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为集合A={x|0
则A∩(∁UB)={x|2≤x<3}．
故选：A．
由已知结合集合的交集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题，
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
由x>2可得x−2>0，从而x+1x−2=x−2+1x−2+2，进一步即可利用基本不等式进行求解．
【解答】
解：由x>2，得x−2>0，
所以x+1x−2=x−2+1x−2+2≥2 (x−2)(1x−2)+2=4，
当且仅当x−2=1x−2，即x=3时等号成立，
所以x+1x−2的最小值为4．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查零点存在定理，根据零点存在定理判断零点所在区间，属于基础题．
要判断函数f(x)=2x+x−4，的零点的位置，根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．
【解答】
解：∵函数f(x)=2x+x−4是连续且单调递增的函数，
∵f(1)=−1<0，f(2)=2>0，
且f(1)⋅f(2)<0，
根据零点存在定理，函数在(1,2)存在零点．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：如图，
OA+OC=2OM,OB+OD=2OM，
∴OA+OB+OC+OD=4OM．
故选：D．
可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可得出OA+OC=2OM,OB+OD=2OM，然后即可得出正确的选项．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：把y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π3个单位长度可得y=2sin(2x+π6−2π3)=2sin(2x−π2)=−2cs2x，A不符合题意；
把y=2sin(2x+π6)的图象向左平移π3个单位长度可得y=2sin(2x+π6+2π3)=2sin(2x+π3+π2)=2cs2(x+π3)，B不符合题意；
把y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位长度可得y=2sin(2x+π6−π3)=2sin(2x−π6)，C不符合题意；
把y=2sin(2x+π6)的图象向左平移π6个单位长度可得y=2sin(2x+π6+π3)=2sin(2x+π2)=2cs2x，D符合题意．
故选：D．
由已知结合三角函数图象的平移检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数的图象的平移，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由向量a、b、c两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°，
则(|a+b+c|) 2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a⋅b+a⋅c+b⋅c)=11+2(|a|⋅|b|csα+|a|⋅|c|csα+|b|⋅|c|csα)=11+14csα．
所以当α=0°时，|a+b+c|=5；
当α=120°时，|a+b+c|=2．
故选：C．
设向量所成的角为α，则α=0°或α=120°，先求出(|a+b+c|) 2的值即可求出．
考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⋅b=|a|⋅|b|csα的公式，求向量的模的方法，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(α+π6)的值，再根据sinα=sin[(α+π6)−π6]利用两角差的正弦公式即可求解sinα的值．
【解答】
解：因为cs(α+π6)=17>0，0<α<π，
所以π6<α+π6<7π6，可得π6<α+π6<π2，
所以sin(α+π6)= 1−cs2(α+π6)=4 37，
则sinα=sin[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)csπ6−cs(α+π6)sinπ6
=4 37× 32−17×12=1114．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：f(x)= 3sinωxcsωx+cs2ωx+12= 32sin2ωx+12cs2ωx+1=sin(2ωx+π6)+1，
由x∈[0,π]得2ωx+π6∈[π6,2πω+π6]，
若f(x)区间[0,π]上只有一个零点和两个最大值点，
则只需5π2≤2πω+π6<7π2，解得76≤ω<53．
故选：C．
数形结合将f(x)区间[0,π]上只有一个零点和两个最大值点，转化为5π2≤2πω+π6<7π2即可．
本题考查三角函数的图像与性质，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：向量a=(3,−4)可平移到直线y=−43x上，
四个选项中向量的模都等于1，选项B与C中的向量能够平移到直线y=−43x上，
故与a=(3,−4)共线的单位向量有a=(35,−45)，a=(−35,45)．
故选：BC．
直接由共线向量与单位向量的定义得答案．
本题考查共线向量与单位向量的定义，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A， 2(sin15°+cs15°)=2sin(15°+45°)= 3，A正确；
对于B，cs215°−cs275°=cs215°−sin215°=cs30°= 32，B错误；
对于C，原式=12×2tan30°1−tan230∘=12tan60°= 32，C错误；
对于D，原式=tan(45°+15°)=tan60°= 3，正确．
故选：AD．
对于A，利用辅助角的正弦公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于B，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于C，利用二倍角的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于D，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断．
本题主要考查了二倍角公式及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由于函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)，f(−π8)=0，f(x)≤|f(3π8)|恒成立，
故−π8ω+φ=k1π，k1∈Z①，
3π8ω+φ=π2+k2π,k2∈Z，②
故②−①得ω=2(k2−k1)+1，∴φ=π8+3k1+k24π，k1，k2∈Z，
故ω为奇数，φ≠π2+kπ,k∈Z，即f(x)不可能为偶函数，A错误；
由题意可知f(x)≤|f(3π8)|，即x=3π8为函数f(x)的对称轴，
故f(π8)=f(5π8)，B正确；
由A的分析知ω=2(k2−k1)+1，k1，k2∈Z，即ω只能为奇数，C正确；
f(x)在区间(−π12,π24)上单调，故π24−(−π12)≤12⋅2πω，则ω≤8，
又ω为奇数，0<ω≤8，当ω=7时，φ=−π8，f(x)=sin(7x−π8)，
当x∈(−π12,π24)时，7x−π8∈(−17π24,π6)，
由于y=sinx在(−17π24,π6)上不单调，
此时f(x)在(−π12,π24)上不单调；
当ω=5时，φ=−3π8，f(x)=sin(5x−3π8)，
当x∈(−π12,π24)时，5x−3π8∈(−19π24,−π6)，
由于y=sinx在(−19π24,−π6)上不单调，
此时f(x)在(−π12,π24)上不单调；
当ω=3时，φ=3π8，f(x)=sin(3x+3π8)，
当x∈(−π12,π24)时，3x+3π8∈(π8,π2)，
由于y=sinx在(π8,π2)上单调递增，
此时f(x)在(−π12,π24)上单调递增，符合题意，
当ω=1时，φ=π8，f(x)=sin(x+π8)，
当x∈(−π12,π24)时，(x+π8)∈(π24,π6)，
由于y=sinx在(π24,π6)上单调递增，
此时f(x)在(−π12,π24)上单调递增，符合题意，故ω的最小值为1，D正确．
故选：BCD．
根据题意结合正弦函数的性质可求出ω，φ的表达式，可判断C；由此结合正弦函数的奇偶性可判断A；根据正弦函数对称性判断B；利用f(x)在区间(−π12,π24)上单调，可判断D．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】15
【解析】解：因为|a|=5，|b|=4，a与b的夹角是60°，
所以a⋅b=|a||b|cs60°=5×4×12=10，a⋅a=|a|2=25，
故a⋅(a−b)=a⋅a−a⋅b=25−10=15．
故答案为：15．
根据平面向量数量积公式和运算法则求解即可．
本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
13.【答案】π2(答案不唯一)
【解析】解：因为f(x)=sin(x+φ)的一个单调递减区间为[π2−φ,3π2−φ]，0≤φ<2π，
又f(x)在[π6,π]上单调递减，
所以π6≥π2−φπ≤3π2−φ，解得π3≤φ≤π2．
故答案为：π2(答案不唯一)．
由已知结合三角函数图象的变换及正弦函数单调性即可求解．
本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：由△PAB是边长为2的等边三角形，可得PA⋅PB=2×2cs60°=2，
将PC=xPA+yPB两边平方，得PC2=x2PA2+y2PB2+2xyPA⋅PB=4x2+4y2+4xy(*)，
由2x+y=3，可得y=3−2x，代入(*)，得PC2=4x2+4(3−2x)2+4x(3−2x)=12x2−36x+36=12(x−32)2+9，
所以当x=32时，PC2取得最小值9，所以|PC|的最小值为3．
故答案为：3．
由向量等式两边平方整理为|PC|2=4x2+4y2+4xy，利用2x+y=3消元，将其整理成二次函数，求最值即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：(1)由题意有α∈(0,π)，csα=45>0，
所以α∈(0,π2)，
所以sinα= 1−cs2α=35，
又因为tanα=sinαcsα，
所以tanα=34；
(2)sin(π+α)+2sin(π2−α)sin(−α)+cs(π−α)
=−sinα+2csα−sinα−csα=−tanα+2−tanα−1=2−34−1−34=−57．
【解析】(1)结合同角基本关系即可直接求解；
(2)结合诱导公式及同角基本关系进行化简，结合(1)即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为a=(1,−3)，b=(2,x)，所以a+b=(3,x−3)，
因为a⊥(a+b)，所以a⋅(a+b)=0，即1×3−3(x−3)=0，
解得x=4，所以b=(2,4)，所以|b|= 22+42=2 5；
(2)因为a=(1,−3)，b=(2,x)，所以a+b=(3,x−3)，
又因为(a+b)//c，所以3(x+5)=−3(x−3)，
解得x=−1，所以b=(2,−1)，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=2+3 10⋅ 5= 22，
又因为
【解析】(1)由a⊥(a+b)建立方程求出x，再由求模公式计算即可；
(2)由(a+b)//c，建立方程求出x，再由夹角公式计算即可．
本题考查平面向量垂直与平行的坐标表示，属于基础题．
17.【答案】解：∵角α的终边经过点(−5,12)，
∴sinα=12 (−5)2+122=1213，csα=−5 (−5)2+122=−513，
(1)cs2α=1−2sin2α=1−2×(1213)2=−119169；
又∵π2<α<π，π4<α2<π2，csα=1−2sin2α2，
∴sinα2= 1−csα2=3 1313；
(2)∵sin(α−β)=−35,π2<α<β<π，
∴−π2<α−β<0，
∴cs(α−β)= 1−sin2(α−β)=45，
∴sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−sin(α−β)csα=1213×45−(−513)×(−35)=3365．
【解析】(1)结合三角函数的定义先求出sinα，csα，然后结合二倍角公式及半角公式即可分别求解；
(2)结合同角平方关系先求出cs(α−β)，由sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−sin(α−β)csα，代入数据即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+csx+a=sinxcsπ6+csxsinπ6+sinxcsπ6−csxsinπ6+csx+a= 3sinx+csx+a=2( 32sinx+12csx)+a=2(sinxcsπ6+csxsinπ6)+a=2sin(x+π6)+a，
因f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+csx+a的最大值为1，而sin(x+π6)的最大值为1，故2+a=1，a=−1；
(2)由(1)可知f(x)=2sin(x+π6)−1，则g(x)=f(x)−15=2sin(x+π6)−65，
因g(x)=f(x)−15在区间[0,π2]上有两个零点x1，x2(x1
依题意x1∈[0,π3),x1+π6∈[π6,π2)，
sin(x1+π6)=35，cs(x1+π6)=45，x2∈(π3,5π6],x2+π6∈[π2,π)，sin(x2+π6)=35，cs(x2+π6)=−45，
故sin(x1−x2)=sin[(x1+π6)−(x2+π6)]=sin(x1+π6)cs(x2+π6)−cs(x1+π6)sin(x2+π6)=35×(−45)−45×35=−2425．
【解析】(1)将函数解析式利用和角公式展开，整理，运用辅助角公式化成正弦型函数，结合条件即可求得a的值；
(2)通过转化，将函数g(x)在区间[0,π2]上有两个零点的问题转化为方程sin(x+π6)=35在[0,π2]上有两个解的问题，借助于正弦函数的图象确定对应三角函数的值，利用拼凑角与和角公式计算即得．
本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为a=(sinωx,csωx)，b=(csωx, 3csωx)，
所以f(x)=a⋅b− 32=sinωxcsωx+ 3cs2ωx− 32
=12sin2ωx+ 3⋅1+cs2ωx2− 32
=12sin2ωx+ 32cs2ωx
=sin(2ωx+π3)，
由题知T2=π2，
∴ω=1，f(x)=sin(2x+π3)；
(2)由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2可得，kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
∴x∈[0,π]时，f(x)的单调递增区间为[0,π12]，[7π12,π]；
(3)∵f(x−π6)> 2⋅[mf(x2−π24)−cs(x−π4)]在x∈[0,π2]恒成立，
∴sin[2(x−π6)+π3]> 2msin[2(x2−π24)+π3]− 2cs(x−π4)，
化简得sin2x>(m−1)(sinx+csx)，
即sin2xsinx+csx=2sinxcsxsinx+csx>m−1在x∈[0,π2]恒成立，
记t=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
∵x∈[0,π2]，
∴x+π4∈[π4,3π4]，
∴t∈[1, 2]，
又2sinxcsx=(sinx+csx)2−1=t2−1，
∴g(t)=t2−1t=t−1t在t∈[1, 2]上单调递增，
∴g(t)min=g(1)=0，
∴m−1<0即m<1，
故m的取值范围为(−∞,1)．
【解析】(1)由已知结合向量数量积的坐标表示，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求ω，进而可求f(x)；
(2)结合正弦函数的单调性即可求解；
(3)由已知不等式先进行参变分离，结合恒成立与最值关系的转化，结合函数单调性即可求解．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，还考查了正弦函数性质的应用，由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
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