2023-2024学年海南省海口市琼山中学高二（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省海口市琼山中学高二（下）期中数学试卷（A卷）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=x3−3x+1的单调递减区间是( )
A. (1,2)B. (−1,1)
C. (−∞,−1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)
2.曲线y=ex在点(0,1)处的切线与x轴交点的横坐标是( )
A. eB. 1C. −1D. −e
3.在(x−1x)5的展开式中，x的系数为( )
A. −10B. −5C. 5D. 10
4.数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7=5，S7=21，则不正确的是( )
A. a1=1B. d=−23C. a2+a12=10D. S10=40
5.已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x−2)f′(x)>0的解集为( )
A. (−∞,−2)∪(1,+∞)
B. (−∞,−2)∪(1,2)
C. (−∞,1)∪(2,+∞)
D. (−1,1)∪(2,+∞)
6.已知数列{an}满足an+1=11−an，若a1=2，则a2023=( )
A. 2B. −1C. 12D. −2
7.已知圆C过点(1,−1)，且与x轴相切，圆心在y轴上，则圆C的方程为( )
A. x2+y2+2x=0B. x2+y2+2y=0C. x2+y2−2x=0D. x2+y2−2y=0
8.函数f(x)=12x3−13x的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. 3x−6y−2=0B. 3x+6y−4=0C. 7x−6y+6=0D. 7x−6y−6=0
9.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为( )
A. 4尺B. 4.5尺C. 5尺D. 5.5尺
10.已知数列{an}满足a3−a2=9，an−4an−1+3an−2=0(n≥3)，则an−a1=( )
A. 3n−32B. 3n+34C. 2⋅3n−6D. 3n−1−12
11.已知函数f(x)=(a+1)ex−x，g(x)=−x2+(a−2)x−1，则下列结论不正确的是( )
A. 存在a∈R，使得f(x)的图象与x轴相切
B. 存在a∈R，使得f(x)有极大值
C. 若a>−1，则f(x)>g(x)
D. 若−312.如图所示为y=f′(x)的图象，则函数y=f(x)的单调递减区间是( )
A. (−∞,−1)
B. (−2,0)
C. (−2,0)，(2,+∞)
D. (−∞,−1)，(1,+∞)
13.6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若男生甲不站两端且女生必须相邻，则有种排法．( )
A. 120B. 144C. 192D. 240
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
14.下列结论正确的是( )
A. 在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,1,1)关于xOy平面的对称点为(1,−1,1)
B. 若向量a=(2,0,x),b=(1,2,−2)，且a⊥b，则x=1
C. 若向量a=(1,0,1),b=(−2,2,1)，则a在b上的投影向量的模为13
D. O为空间中任意一点，若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=0，则P，A，B，C四点共面
三、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
在数列{an}中，已知a1=2，anan−1=2an−1−1(n≥2,n∈N*)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn=2021，则n的值为______．
16.(本小题10分)
已知函数f(x)=lnx+x2−ax(a∈R)．
(1)若a=3，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)设f(x)存在两个极值点x1，x2且x134−ln2．
17.(本小题10分)
求下列函数的导数：
(1)y=2x2+lnx+csx；
(2)y=x3ex；
(3)y=ln(3x−1)；
(4)y=2x+sinx2csx2；
(5)y=csxx．
18.(本小题10分)
已知在(1+2x)n的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．
(1)求n的值；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求(1+2x)n×(1+x)6展开式中含x2的项的系数．
19.(本小题10分)
已知在等差数列{an}中，a2=3，a5=−3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
20.(本小题10分)
已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an−2(n∈N*)．
(1)求证：{an−2}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn=(2n+1)(an−2)，求数列{bn}的前n项和Tn．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：f(x)=x3−3x+1，则f′(x)=3x2−3，
由3x2−3<0得−1故f(x)的单调递减区间是(−1,1)，
故选：B．
由导数与单调性的关系求解；
本题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由y=ex，得y′=ex，则y′|x=0=e0=1，
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程为y=x+1，
取y=0，可得x=−1．
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线与x轴交点的横坐标是−1．
故选：C．
求出原函数的导函数，得到函数在点(0,1)处的切线方程，取y=0求得x值即可．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：展开式的通项公式Tk+1=C5kx5−k(−1 x)k=C5kx5−2k(−1)k，
由5−2k=1得2k=4，得k=2，
即x次项为C52(−1)2x=10x，即x的系数为10，
故选：D．
求出展开式的通项公式，令x的次数为1，求出k的值进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式求出k的值是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，由a7=5S7=21，得a1+6d=57a1+21d=21，
解得a1=1d=23，则选项A正确．选项B错误；
则a2+a12=2a1+12d=2+12×23=10，选项C正确；
S10=10a1+45d=10+45×23=40，所以选项D正确．
故选：B．
由a7=5S7=21可得a1+6d=57a1+21d=21，进一步解得a1=1d=23，从而即可对选项进行逐一判断．
本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由函数f(x)的图象可得，
当x∈(−∞,−1)，(1,+∞)时，f′(x)>0，
当x∈(−1,1)时，f′(x)<0．
由(x−2)f′(x)>0⇔f′(x)>0x−2>0①或f′(x)<0x−2<0②
解①得，x>2，解②得，−1综上，不等式(x−2)f′(x)>0的解集为(−1,1)∪(2,+∞)，
故选：D．
由函数f(x)的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由(x−2)f′(x)>0得到关于x的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集．
本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了不等式组的解法，考查了数学转化思想方法，是基础的运算题．
6.【答案】A
【解析】解：由an+1=11−an，a1=2，可得a2=11−2=−1，
a3=11−(−1)=12，a4=11−12=2，a5=11−2=−1，，
可得数列{an}是周期为3的数列，
则a2023=a3×674+1=a1=2．
故选：A．
由数列的递推式计算前几项，可得数列的周期，即可得到所求值．
本题考查数列的递推式和数列的周期性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由题可设圆心为C(0,b)，半径为r，
所以r=|b|且1+(b+1)2=r2，解得b=−1，r=1，
故圆C的方程为x2+(y+1)2=1，即x2+y2+2y=0．
故选：B．
设圆心为C(0,b)，半径为r，根据条件，建立方程组r=|b|且1+(b+1)2=r2，求出b，r，即可求出结果．
本题考查了圆的方程，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：f′(x)=32x2−13，
故f′(1)=32−13=76，
又f(1)=12−13=16，
所以切线方程为y−16=76(x−1)，即7x−6y−6=0．
故选：D．
求导得斜率，即可由点斜式求解方程．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：设十二个节气分别对应等差数列{an}中的前12项，且{an}的公差为d，
根据题意，有a5+a6=16a1+a2+a3−(a10+a11+a12)=18，
则2a1+9d=16−27d=18，解得a1=11d=−23，
∴立夏的影长为a10=a1+9d=11−6=5．
故选：C．
根据等差数列基本量的计算即可求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】A
【解析】解：由已知得：an−an−1=3(an−1−an−2)(n≥3)，
又a3−a2=9，所以a3−a2=3(a2−a1)=9，即a2−a1=3，
所以{an+1−an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
因此an+1−an=3×3n−1=3n，
当n≥2时，a2−a1=3,a3−a2=32,⋯an−an−1=3n−1，
相加得：an−a1=3+32+⋯+3n−1=3(1−3n−1)1−3=3n−32．
故选：A．
根据已知的递推关系可以得到{an+1−an}为等比数列，再用累加法求解即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】解：由题知f′(x)=(a+1)ex−1，当a=0时f′(x)=ex−1，
当x=0时f′(0)=0，所以f(x)在x=0处的切线斜率为0，
此时f(x)的图象与x轴相切．故A正确．
由f′(x)=(a+1)ex−1，当a+1≤0时，f′(x)<0，
所以f(x)在R上单调递减，无极大值，
当a+1>0时，f′(x)>0时x>ln1a+1,f′(x)<0时，x所以f(x)的图象先减后增，有极小值无极大值，故B错误．
当f(x)>g(x)时，即(a+1)ex−x>−x2+(a−2)x−1，
即a(ex−x)>−ex−x2−x−1令h(x)=ex−x，h′(x)=ex−1，
当h′(x)>0时，x>0，当h′(x)<0时，x<0，
所以h(x)在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
h(x)>h(0)=1，所以a>−ex−x2−x−1ex−x，
令m(x)=−ex−x2−x−1ex−x=−x2−2x−1ex−x−1，
m′(x)=(−2x−2)(ex−x)−(ex−1)(−x2−2x−1)(ex−x)2=(ex+1)(x−1)(x+1)(ex−x)2，
因为ex+1>0，所以当x<−1或x>1时m′(x)>0，
当−1在(−1,1)上单调递减，m(x)极大值为m(−1)=−1，
又x→+∞时，m(x)→−1，所以m(x)最大值为−1，
所以当a>−1时，a>m(x)恒成立，即f(x)>g(x)恒成立，故C正确．
由C选项的判断知，m(x)极小值为m(1)=−1−4e−1<−3，
又x→−∞时，m(x)→−∞，所以当−3故f(x)=g(x)有且仅有3个不等的实根，故D正确．
故选：B．
对f(x)求导，分析单调性即可判断极值，由f(x)>g(x)，可参变分离，根据新函数的单调性极值最值趋势即可判断．
本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于难题．
12.【答案】C
【解析】【分析】
根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系，即可得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，属于基础题．
【解答】
解：当f′(x)<0时，f(x)单调递减，
从图可知，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递减区间为(−2,0)和(2,+∞)．
故选：C．
13.【答案】B
【解析】解：依题意，把两个女生视为一个整体与4个男生排列，甲站中间3个位置之一的排列有A31A44种，
而2名女生的排列有A22种，
所以符合条件的排列有A31A44A22=3×24×2=144种．
故选：B．
把两个女生视为一个整体与4个男生排列，甲站中间3个位置之一，再对2名女生进行排列作答．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，点(1,1,1)关于xOy平面的对称点为(1,1,−1)，所以选项A错误，
对于选项B，因为a=(2,0,x),b=(1,2,−2)，且a⊥b，所以2×1+0×2−2x=0，得到x=1，所以选项B正确，
对于选项C，因为a=(1,0,1),b=(−2,2,1)，所以a在b上的投影向量的模为|a⋅b||b|=1 1+4+4=13，故选项C正确，
对于选项D，由空间向量基本定理的推论可知：OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1时，P，A，B，C四点共面，所以选项D错误．
故选：BC．
选项A，直接求出点(1,1,1)关于xOy平面的对称点，即可判断出选项A的正误；选项B，利用空间向量垂直的坐标表示，即可得出x，从而可判断出选项B的正误；选项C，根据投影向量的定义，即可求出结果，从而判断出选项C的正误；选项D，根据空间向量共面的结论可判断出选项D的正误．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
15.【答案】2020
【解析】解：因∀n∈N*，n≥2，anan−1=2an−1−1，显然an−1≠0，
则有an−1=1−1an−1=an−1−1an−1，
而a1=2，有an−1−1≠0，则1an−1=an−1an−1−1=1an−1−1+1，
从而得数列{1an−1}是首项为1，公差为1的等差数列，
因此，1an−1=n，整理得an=n+1n，
则Tn=21×32×43×⋯×n+1n=n+1，当Tn=2021时，n=2020，
所以n的值为2020．
故答案为：2020．
由数列的递推式推得数列{1an−1}是首项为1，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式和累乘法，可得所求值．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)当a=3时，f(x)=lnx+x2−3x，
则f′(x)=1x+2x−3，f(1)=−2，
∴切线的斜率k=f′(1)=0，
∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y+2=0．
(2)证明：∵f(x)=lnx+x2−ax，
∴f′(x)=1x+2x−a=2x2−ax+1x,x>0，
由f(x)存在两个极值点x1，x2且x1可知方程2x2−ax+1=0存在两个互异的正实数根x1，x2且x1∴x1+x2=a2,x1⋅x2=12，∴x2=12x1，∴x1x2=x112x1=2x12，
∴f(x1)−f(x2)=lnx1+x12−ax1−lnx2−x22+ax2
=lnx1x2+[x12−x22−2(x1+x2)(x1−x2)]
=lnx1x2+(−x12+x22)=ln2+2lnx1−x12+14x12，
令g(x1)=ln2+2lnx1−x12+14x12，则g′(x1)=2x1−2x1−12x13=−(2x12−1)22x13，
∵0∴g(x1)>g(12)，又g(12)=34−ln2，∴g(x1)>34−ln2，
∴f(x1)−f(x2)>34−ln2．
【解析】(1)将a=3代入f(x)中，求出f(x)的导函数，再利用导数的几何意义求解即可；
(2)先求出f(x1)−f(x2)=ln2+2lnx1−x12+14x12，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)y′=4x+1x−sinx；
(2)y′=(x3)′ex+x3(ex)′=3x2ex+x3ex=(x3+3x2)ex；
(3)y′=33x−1；
(4)y′=2xln2+12csx；
(5)y′=−xsinx−csxx2=−xsinx+csxx2．
【解析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可．
本题考查了基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵Cn2：Cn1=5：2，∴n=6．
(2)(1+2x)n的展开式的通项为Tr+1=C6r⋅2r⋅xr，
令r=2，则含x2的项的系数为C62⋅22=60；
(3)由(1)知(1+2x)n×(1+x)6=(1+2x)6×(1+x)6，
所以展开式中含x2项为：C61(2x)⋅C61x+C62(2x)2×1+1×C62x2=147，
所以展开式中含x2项的系数为147．
【解析】(1)利用二项式系数建立方程即可求解；(2)求出展开式的通项公式，令x的指数为2，由此即可求解；(3)根据二项式定理求出展开式中含x2的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，
由a2=3,a5=−3⇒a1+d=3a1+4d=−3⇒d=−2a1=5⇒an=5+(n−1)⋅(−2)=−2n+7；
(2)Tn=5+2+3+22⋯+(−2n+7)+2n
=(5+3+⋯+7−2n)+(2+22+⋯+2n)
=(5+7−2n)n2+2(1−2n)1−2
=6n−n2+2n+1−2．
【解析】(1)根据等差数列的通项公式进行求解即可；
(2)根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可．
本题主要考查等差数列的通项公式，数列的求和，分组求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)证明：∵an+1=2an−2(n∈N*)，
∴an+1−2=2(an−2)，
又a1−2=1，则an+1−2an−2=2，
∴数列{an−2}是首项为1，公比为2的等比数列；
(2)由(1)得an−2=2n−1，即bn=(2n+1)⋅2n−1，
∴Tn=3×20+5×21+7×22+⋯+(2n−1)×2n−2+(2n+1)×2n−1，2Tn=3×21+5×22+7×23+⋯+(2n−1)×2n−1+(2n+1)×2n，
两式相减得−Tn=3×20+2(21+22+⋯+2n−1)−(2n+1)×2n=3+4(1−2n−1)1−2−(2n+1)×2n=−1−(2n−1)⋅2n，
∴Tn=1+(2n−1)⋅2ⁿ．
【解析】(1)利用数列递推式变形得an+1−2=2(an−2)，利用等比数列的定义，即可证明结论；
(2)由(1)得aₙ−2=2n−1，即bₙ=(2n+1)⋅2n−1，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查等比数列的定义和错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．