重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：直接使用奔驰定理
题型二：三角形面积比问题
【方法技巧与总结】
奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
（3）为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
【典型例题】
题型一：直接使用奔驰定理
【例1】（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
【变式1-1】（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2024·上海·高三统考期末）已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）
A．B．
C．2D．1
题型二：三角形面积比问题
【例2】（2024·山东济宁·高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
【变式2-1】（2024·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式2-3】（2024·四川凉山·高二统考期末）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式2-4】（2024·湖北·高一校联考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【过关测试】
1．（2024·陕西西安·高二陕西师大附中校考开学考试）设点在内部，且，则的面积与的面积之比是（ ）
A．3：2B．3：1C．4：3D．2：1
2．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考三模）在所在的平面内有一点，如果，那么的面积与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）如图所示，设P为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ）
A．B．C．D．1
4．（2024·江西上饶·高一玉山一中校考期末）如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于
A．B．C．D．
5．（2024·广东东莞·高一统考期末）已知在中，是的垂心，点满足：，则的面积与的面积之比是
A．B．C．D．
6．（2024·四川绵阳·高一阶段练习）设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A．B．C．D．
7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ）

A．O为的外心
B．
C．
D．
8．（多选题）（2024·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期末）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（ ）
A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有
B．若为内一点，且，则是的内心
C．若为内一点，且，则
D．若的垂心在内，是的三条高，则
9．（多选题）（2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
10．（多选题）（2024·河南南阳·高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．，，，则
C．若为的内心，，则
D．若为的重心，则
11．（多选题）（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
12．（多选题）（2024·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
13．（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知O是所在平面内一点，，则与的面积比 ．
14．（2024·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为 .
15．（2024·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ．
16．（2024·河北衡水·高一校考期末）点为内一点，，则的面积之比是 .
17．（2024·全国·高三专题练习）请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是的重心，则有；
②若成立，则P是的内心；
③若，则；
④若P是的外心，，，则；
⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.
则正确的命题有 .（填序号）

18．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为 .
19．（2024·江苏徐州·高一徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）校考阶段练习）定理：如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则.
试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.
(1)点在内部，满足，求的值；
(2)点为内一点，若，设，求实数和的值；
(3)用“奔驰定理”证明推论②.