陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三数学文科模拟试卷

这是一份陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三数学文科模拟试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=R，集合A={x|lg2x≤2}，则∁UA=( )
A. (4,+∞)B. [4,+∞)
C. (−∞,0)∪[4,+∞)D. (−∞,0]∪(4,+∞)
2.设z=4(1+i)2，则|z|=( )
A. 2B. 1C. 4D. 3
3.若x，y满足约束条件2x−y≥0,x−2y≤0,x+y−3≤0,则z=−2x−y的最小值为( )
A. 0B. −4C. −5D. −6
4.中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《周髀算经》的概率为( )
A. 310B. 12C. 15D. 25
5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|5？
B. i>6？
C. i7？
9.已知圆锥的轴截面为△PAB，P为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为12π，若∠APB=60∘，则该圆锥的体积为( )
A. 9 3πB. 12 3πC. 18 3πD. 27 3π
10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，圆O：x2+y2=a2.若过F1的直线分别交C的左、右两支于A，B两点，且圆O与F1B相切，C的离心率为3，F1到C的渐近线的距离为2 2，则|AB|=( )
A. 327B. 307C. 207D. 167
11.某人从银行贷款100万，贷款月利率为0.5%，20年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款(参考数据：≈3.310)( )
A. 7265元B. 7165元C. 7365元D. 7285元
12.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)−2xy+2，f(1)=2，则下列结论正确的是( )
A. f(4)=12B. 方程f(x)=x有解
C. f(x+12)是偶函数D. f(x−12)是偶函数
二、填空题
13.已知向量a=(2−t,−3)，b=(−1,2+t)，若a⊥b，则t=______.
14.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，半径为6的圆C过坐标原点O以及F，且与该抛物线的准线l相切，则p=______.
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n(1+an)2,S2=3，则a3=______.
16.已知函数f(x)=|lnx|，若00，且a+b=λ，证明： a+1+ b+2≤4.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为A={x|04或x≤0}.
故选：D.
由已知结合集合的补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=4(1+i)2=2i=−2i，
故|z|=|−2i|= 02+(−2)2=2.
故选：A.
结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：如图所示，画出可行域，
联立x+y−3=0x−2y=0，解得x=2y=1，即A(2,1)，
由z=−2x−y，得y=−2x−z，
由图可知当直线y=−2x−z经过点A(2,1)时，z取得最小值，最大值为−5.
故选：C.
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得解．
本题考查线性规划，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：将这5部书籍依次记为a，b，c，d，e，
则从这5部书籍中任意抽取2部的样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}，共有10个样本点，
其中抽到《周髀算经》的样本点为ab，ac，ad，ae，共有4个样本点，
所以所求概率P=410=25.
故选：D.
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由图知3T4=5π12−(−π3)=3π4，得T=π，
所以ω=2.
把x=5π12代入关系式5π6+φ=π2，所以φ=−π3，
故f(x)=2sin(2x−π3)，所以g(x)=2sin[2(x+π6)−π3]=2sin2x，
则g(x)的单调增区间是[kπ−π4,kπ+π4](k∈Z)，
当k=1时，函数的单调增区间为[3π4,5π4]，由于[5π6,7π6]⊂[3π4,5π4]，
故C正确．ABD错误．
故选：C.
首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识点：函数的关系式的求法，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为关于x的方程x2−2ax+4=0有实根，
所以4a2−16≥0，可得a≥2或a≤−2，
a∈[−3,4]，
则a∈[−3,−2]∪[2,4]，
故这个关于x的方程有实根的概率为(−2+3)+(4−2)4+3=37.
故选：C.
根据已知条件，结合二次函数的判别式法，以及几何概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查二次函数的判别式法，以及几何概型的概率公式，是基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．
连接D1C，AC，由D1C//A1B，得∠AD1C(或其补角)是异面直线A1B与AD1所成角，利用余弦定理即可求出异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．
【解答】
解：如图，连接D1C，AC，
∵D1C//A1B，
∴∠AD1C(或其补角)是异面直线A1B与AD1所成角，
正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，设AA1=3AB=3，
则AD1=D1C= 9+1= 10，AC= 1+1= 2，
∴cs∠AD1C=10+10−22 10× 10=910.
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910.
故选：C.
8.【答案】B
【解析】解：由程序框图可知，S=1×2×3×⋯×n=720，解得n=6.
故选：B.
结合程序框图，即可求解．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意，如图，圆锥的轴截面为△PAB，设内切球O与PA相切于点E，内切球的半径为r，
因为∠APB=60∘，所以∠OPA=30∘.
由内切球的表面积为12π，则有S=4πr2=12π，
解可得：r= 3，则OP=2r=2 3，
故圆锥的高为3 3，圆锥的底面半径为3，
所以该圆锥的体积V=13π×9×3 3=9 3π.
故选：A.
根据题意，作出圆锥的轴截面图，设内切球O与PA相切于点E，内切球的半径为r，由球的表面积公式求出r的值，进而由球的体积公式计算可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥与球的位置关系，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意可得e=ca=3，∴c=3a,b=2 2a，
又F1到C的渐近线的距离为bc a2+b2=b，
∴b=2 2a=2 2，∴a=1,b=2 2,c=3，
联立8x2−y2=8,y=12 2(x+3),，得63x2−6x−73=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=221,x1x2=−7363，
∴|AB|= 1+18⋅ (221)2+4×7363=167.
故选：D.
先根据题意建立方程求出双曲线方程，再联立直线与双曲线方程，根据根与系数的关系及弦长公式，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，弦长公式的应用，属中档题．
11.【答案】B
【解析】解：设每月需还款a万元，
第一期还款后，还欠银行a1=100×1.005−a万元，
第二期还款后，还欠银行a2=(100×1.005−a)×1.005−a万元，
……
设第n期还款后，还欠银行an万元，则a240=0，且an=1.005an−1−a，
即an−200a=1.005(an−1−200a)，
所以{an−200a}是公比为1.005的等比数列，
an−200a=(100×1.005−a)×1.005n−1，
所以an=1.005n−1(100.5−201a)+200a.
令a240=0，解得a=1.0052402(1.005240−1)≈0.7165，
即每月大约需还款7165元．
故选：B.
设每月需还款a万元，列出每期还款后还欠的钱，从而可得{an−200a}是公比为1.005的等比数列，求得通项公式，再令a240=0，即可求得答案．
本题考查了数列在生活中的运用，考查了等比数列的通项公式及定义，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)−2xy+2，f(1)=2，
取x=y=1，得f(2)=4，取x=y=2，得f(4)=14，故A错误．
取y=1，得f(x+1)−f(x)=2x，
所以f(x)−f(x−1)=2(x−1)，f(x−1)−f(x−2)=2(x−2)，⋯，f(2)−f(1)=2，以上各式相加得f(x)=x2−x+2.
令f(x)=x2−x+2=x，得x2−2x+2=0，此方程无解，故B错误．
由B选项的解题过程知f(x)=x2−x+2，
所以f(x+12)=x2+74是偶函数，f(x−12)=x2−2x+114不是偶函数，故C正确，D错误．
故选：C.
由已知利用赋值法，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及赋值法在抽象函数求值及奇偶性的判断中的应用，属于中档题．
13.【答案】−4
【解析】解：由a=(2−t,−3)，b=(−1,2+t)，且a⊥b，
可得a⋅b=−(2−t)−3(2+t)=0，解得t=−4.
故答案为：−4.
根据a⊥b，可得a⋅b=0，由此建立关于t的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查平面向量的坐标运算法则、两个向量垂直的条件等知识，属于基础题．
14.【答案】8
【解析】解：∵圆C过坐标原点O以及F(p2,0)，∴圆心C在直线x=p4上．
∵圆C的半径为6，∴p4+p2=6，解得p=8.
故答案为：8.
利用圆的半径，转化求解p即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，圆与抛物线的位置关系的应用，是基础题．
15.【答案】3
【解析】解：由Sn=n(1+an)2,S2=3，
又a3=S3−S2，
则a3=3(1+a3)2−3，
解得a3=3.
故答案为：3.
由a3=S3−S2，解方程可得所求值．
本题考查数列的递推式，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】(3,+∞)
【解析】解：∵f(x)=|lnx|，f(a)=f(b)，
∴|lna|=|lnb|，解得b=1a或a=b(舍去)，
∵00，n=b+2>0，则有m+n≥2 mn(当且仅当m=n时，等号成立)，
所以2(m+n)≥m+2 mn+n=( m+ n)2，
所以 2(m+n)≥ m+ n(当且仅当m=n时，等号成立)，
所以 a+1+ b+2≤ 2[(a+1)+(b+2)]= 2×8=4.
【解析】(1)根据三角不等式，即可求解；
(2)根据基本不等式，即可证明．
本题考查三角不等式的应用，基本不等式的应用，属中档题．年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份编号x
1
2
3
4
5
6
销售量y/百万辆
2.02
2.21
3.13
6.70
10.80
14.14