苏教版 (2019)必修 第二册第12章 复数12.1 复数的概念巩固练习

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知识点01 复数的基本概念
1、虚数单位
数叫倣虚数单位，它的平方等于，即．
知䢔点诠释：
（1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
2、复数的摡念
形如的数叫复数，记作：；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．
知识点诠释：
复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据．
3、复数的分类
对于复数
若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数．
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4、复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．）
【即学即练1】（2024·高一·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数，那么是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果，那么是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
知识点02 复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：
如果，那么
特别地：．
知识点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．
根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．
【即学即练2】（2024·高一·全国·课时练习）方程的实数解 .
题型一：复数的概念
【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．实部为零的复数是纯虚数
C．可能是实数D．复数的虚部是
【变式1-1】（2024·高一·全国·课时练习）复数i的虚部为（ ）
A．2B．
C．D．0
【变式1-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知z1，z2为复数．若命题p：z1·z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2024·高二·上海徐汇·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
【方法技巧与总结】
复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
题型二：复数的分类
【典例2-1】（22·23高一·全国·课堂例题）实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【典例2-2】（21·22高一·全国·课时练习）符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为的虚数；
(2)虚部为的虚数；
(3)虚部为的纯虚数；
(4)实部为的纯虚数．
【变式2-1】（2024·高一·安徽池州·阶段练习）已知复数.
(1)若复数是虚数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
【变式2-2】（2024·高一·上海·课时练习）若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？
【变式2-3】（2024·高二·吉林辽源·期末）已知复数.
（1）取什么值时，为实数；
（2）取什么值时，为纯虚数.
【变式2-4】（2024·高二·河南周口·期中）已知，复数，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
（4）z在复平面内对应的点在第四象限？
【变式2-5】（2024·高二·上海浦东新·期末）已知复数（是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值.
【方法技巧与总结】
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部．
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．
（3）下结论：设所给复数为，
①z为实数⇔．
②z为虚数⇔．
③z为纯虚数⇔且．
题型三：复数相等的充要条件
【典例3-1】（2024·高一·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则 .
【典例3-2】（2024·高一·河南·阶段练习）若复数，，为虚数单位，则 ．
【变式3-1】（21·22高一·湖南·课时练习）已知，，则“”是“”的 条件．
【变式3-2】（2024·高一·山西运城·期中）已知，则 .
【变式3-3】（2024·高一·黑龙江鸡西·期中）若其中是虚数单位，则
【方法技巧与总结】
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
（3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
一、单选题
1．（2024·湖南·一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A．且B．
C．D．或
2．（2024·高一·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高一·北京·期末）若复数是虚数，则实数取值的集合是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁沈阳·三模）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
6．（2024·高二·江西宜春·阶段练习）若复数为纯虚数，则实数=（ ）
A．或2B．或1C．D．1
7．（20·21高一·江苏·课时练习）复数z＝a3﹣2a+（m+a）i（a≥0，m∈R）的实部大于虚部，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）
8．（17·18高二·全国·课时练习）下列命题中为假命题的是( )．
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|
二、多选题
9．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
10．（19·20高一·全国·课后作业）的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高一·黑龙江绥化·阶段练习）下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．存在x使得小于0B．存在x使得
C．不是实数D．实部和虚部均为1
三、填空题
12．（2024·高一·河南·期中）设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则 .
13．（2024·高一·新疆喀什·期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 .
14．（2024·高一·上海宝山·阶段练习）已知复数，，若，求实数的取值范围 .
四、解答题
15．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？
（2）若，且，则实数的值分别为多少？
16．（2024·高三·青海玉树·阶段练习）已知复数．当实数取什么值时，复数是：
(1)虚数；
(2)纯虚数；
17．（22·23高一·全国·随堂练习）求适合下列各方程的实数，的值：
(1)；
(2)；
(3)．
18．（22·23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)．
19．（2024·高一·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若，求的取值范围．
课程标准
学习目标
（1）通过方程的解体会引人复数的必要性，能类比自然数系扩充到实数系的过程，归纳出数系扩充的基本思想；能用自己的语言说明虚数单位i的意义，体会现实需求与数学内部的矛盾在促进数系扩充过程中所起的作用．
（2）能说明复数代数表示的基本结构并能运用Venn图对复数进行分类；能说出复数相等的含义，并会用于解决简单的实际问题．
（3）能类比实数的几何意义，用自己的语言解释复数的几何意义，从数与形两个角度，理解复数相等的条件．
（1）通过方程的解，认识复数.
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．