12，北京市第一六六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份12，北京市第一六六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了已知函数，则函数的最小值为，“”是“直线与直线平行”的，已知，若，则的取值可以为，已知直线与圆相交于两点，且，下列运算正确的是，某堆雪在融化过程中，其体积等内容，欢迎下载使用。
（考试时长：120分钟）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项）
1.书架上层放有4本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同取法的种数为（ ）
A.9 B.12 C.20 D.24
2.已知函数，则函数的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.
3.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A. B.
C. D.
4.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知，若，则的取值可以为（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
6.已知直线与圆相交于两点，且（其中为原点），那么的值是（ ）
A. B. C. D.
7.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。8.已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点恰好在的垂直平分线上，则的长度为（ ）
A.2 B. C.3 D.4
9.某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：h）近似满足函数关系：为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ）
A. B. C. D.
10.已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（ ）
A.14 B.16 C.21 D.23
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分）
11.的二项展开式中项的系数为__________.（用数字作答）
12.函数的单调递减区间是__________.
13.设函数为常数，若在单调递增，写出一个可能的值__________.
14.将甲､乙､丙､丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是__________.（用数字做答）
15.关于函数，
①无最小值，无最大值；
②函数有且只有1个零点；
③存在实数，使得恒成立；
④对任意两个正实数，且，若，则.
其中所有正确的结论序号是__________.
三､解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16.（本小题12分）
某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意情况，对20名学生进行问卷计分调查（满分100分），得到如图所示的茎叶图：
（1）计算男生打分的平均分.再观察茎叶图，设女生分数的方差为，男生分数的方差为，直接指出与的大小关系（结论不需要证明）；
（2）从这20多学生中打分在80分以上的同学中随机抽取3人，求被抽到的女生人数的分布列和数学期望.
17.（本小题14分）已知函数，其中.
（1）当时，求函数的极小值；
（2）求函数的单调区间；
（3）证明：当时，函数有且仅有一个零点.
18.（本小题14分）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高.某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查.现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）
（1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（2）从该地区青年人中随机选取3人，以频率估计概率，记这3人中对酸奶满意的人数为，求的分布列与期望；
（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果）
注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值.
19.（本小题15分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.设与平行的直线与椭圆相交于两点，直线分别与轴正半轴交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）判断的值是否为定值，并证明你的结论.
20.（本小题15分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处切线的斜率；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若集合有且只有一个元素，求的值.
21.（本小题15分）
已知各项均为正整数的有穷数列满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质.
（1）判断下列数列是否具有性质；
①
②
（2）已知数列具有性质，求出的所有可能取值；
（3）若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
2023-2024学年北京市一六六中学高二数学期中考试答案
1-5CBDAA 6-10BCDCD
11. 12. 13.即可 14.36 15.①④
16.（1）平均分为
（2）分布列见解析，数学期望为.
【解答】解：（1）男生打的平均分为：
，
观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比较分散，故.
（2）因为打分在80分以上的有3女2男，
所以的可能取值为，
所以的分布列为：
.
17.（1）-2；
（2）当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，的单调增区间为，减区间为；
（3）证明见解析.
【解答】解：（1）当时，，
，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极小值为；
（2），
令，得，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，或时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，或时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，的单调增区间为，减区间为；
（3）证明：由（2）得当时，
在上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，
极小值为
令，则，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，，
又当时，，当时，，
如图，作出函数的大致图象，
由图可得函数有且仅有一个零点.
18.（1）
（2）分布列见解析，期望；
（3）青年人.
【解答】解：（1）设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为，
样本总人数为500人，其中对酸奶满意人数为人，
所以；
（2）用样本频率估计总体概率，青年人对酸奶满意的概率，
的取值为，
，
，
所以的分布列为
的数学期望是.
（3）青年人，
青年人总体人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以鲜奶的满意度提高0.1，则人数提高最多，则整体对鲜奶的满意度会大幅提高.
19.见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，
解得：
故椭圆的标准方程为；
（2）根据题意，假设直线或的斜率不存在，则点或点的坐标为，直线的方程为，即.
联立方程，得，
此时，直线与椭圆相切，不合题意.
故直线和的斜率存在.
设，
则直线TP：，
直线
故
由直线，设直线
联立方程，
当时，，
20.（1）
（2）在上单调递减，上单调递增；
（3）.
【解答】解：（1），
，
.
所以曲线在点处切线的斜率为.
（2）的定义域为，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，上单调递增.
（3）若时，函数的值域为，不合题意；
所以的定义域为，
，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，上单调递增.
所以，
因为集合有且只有一个元素，
所以，解得.
所以.
21.（1）数列具有性质，数列不具有性质；
（2）或；
（3）存在，4045；一个满足条件的数列.
【解答】解：（1）①，任意两项和的结果有共5个，而，所以具有性质，
②，任意两项和的结果有共10个，而所以不具有性质，
（2）对于数列，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：中任意两项和的结果有10个，且全是偶数，
（i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，
则中所有的值共有15个，所以，
（ii）当为偶数时，都是偶数，所以，
所以，
时，在前5项中任两项和的结果中未出现，
所以中任意两项和的不同值的个数大于10，即，矛盾，
时，这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以中任意两项和的不同值的个数大于12，即，矛盾，
时，中任意两项和的不同值有，共14个，成立，综上，或
（3）存在最小值，且最小值为4045，
将的项从小到大排列构成新数列，
所以，
所以的值至少有个，
即的值至少有4045个，即，
数列符合条件，
：1，3，5，，，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，，，4045，4047，
考虑，根据等差数列的性质，
当时，；当时，，
因此每个等于中的一个，
或者等于中的一个，
所以中共有4045个不同值，
即中共有4045个不同值，
综上，的最小值是4045，一个满足条件的数列.老年人
中年人
青年人
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
满意
100
120
120
100
150
120
不满意
50
30
30
50
50
80
1
2
3
0
1
2
3