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专题31 双星多星问题、张角问题、拉格朗日点和黑洞潮汐现象-【热重难点】最新高考物理一轮复习讲义
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1、有准备的去听，也就是说听课前要先预习，找出不懂的知识、发现问题，带着知识点和问题去听课会有解惑的快乐，也更听得进去，容易掌握;
2、参与交流和互动，不要只是把自己摆在“听”的旁观者，而是“听”的参与者。
3、听要结合写和思考。
4、如果你因为种种原因，出现了那些似懂非懂、不懂的知识，课上或者课后一定要花时间去弄懂。
其次，要学会记忆：
1、要学会整合知识点。把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡片，会让你的大脑、思维条理清醒，方便记忆、温习、掌握。
2、合理用脑。
3、借助高效工具。学习思维导图，思维导图是一种将放射性思考具体化的方法，也是高效整理，促进理解和记忆的方法。最后，要学会总结：
一是要总结考试成绩，通过总结学会正确地看待分数。
1.摸透主干知识 2.能力驾驭高考 3.科技领跑生活
2024年高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升
专题31 双星多星问题、张角问题、拉格朗日点和黑洞潮汐现象
【特训典例】
双星多星问题
1．遥远的外太空存在两颗孤立的星球A、B的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动，如图所示。星球A和星球B均可看成球体，天文学家测得OA>OB，且星球A的半径大于星球B的半径但远小于A、B之间的距离，下列说法正确的是（ ）
A．M1>M2
B．星球A的第一宇宙速度更大
C．星球B表面附近的重力加速度更大
D．若两星球A、B间的距离不变，把星球A上的物质转移到星球B上，则它们运行的周期均不变
【答案】CD
【详解】A．两星球绕O点转动的角速度相等，有又
则故A错误；
B．第一宇宙速度即最大环绕速度，由解得可得故B错误；
C．由解得可得故C正确；
D．由解得可知周期不变，故D正确。故选CD。
2．双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线上的某一点在二者之间万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的角速度为ω，P、Q两颗星体之间的距离为L，Q、P两颗星体的轨道半径之差为Δr（P星的质量大于Q星的质量），引力常量为G，则（ ）
A．P、Q两颗星体的向心力大小相等
B．P、Q两颗星体的向心加速度大小相等
C．P、Q两颗星体的线速度大小之差为
D．P、Q两颗星体的质量之比为
【答案】AC
【详解】A．P、Q两颗星的向心力都等于两者之间的万有引力，因此P、Q两星的向心力大小相等，故A正确；
B．根据万有引力提供向心力可知，因为向心力大小相等，而两星的质量不相等，因此两星的向心加速度不相等，故B错误；
C．由于两星的角速度相等，根据圆周运动公式，可知故C正确；
D．对于两星存在所以又因为，所以根据题意
解得故D错误。故选AC。
3．离其他恒星较远的四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道做匀速圆周运动，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为，引力常量为，则（ ）
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与无关
B．三星的总动能为
C．若距离不变，四颗星体的质量均变为，则角速度变为原来的2倍
D．若四颗星体的质量均不变，距离均变为，则周期变为原来的倍
【答案】D
【详解】A．依题意，根据万有引力定律及几何知识，可求得位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的合外力为根据牛顿第二定律可得，每颗卫星的的向心加速度大小为故A错误；
B．三星的总动能为根据由几何知识得联立求得故B错误；
C．结合选项A分析可知，每颗卫星受到的合外力若距离不变，四颗星体的质量均变为，则每颗卫星受到的合力将变为原来的4倍，根据可知每颗卫星的角速度将变为原来的倍，故C错误；
D．若四颗星体的质量均不变，距离均变为，根据结合选项A，可得每颗卫星做匀速圆周运动的周期则周期变为原来的倍，故D正确。故选D。
4．宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，若四星系统中每个星体的质量均为、半径均为，四颗星稳定分布在边长为的正方形的四个顶点上，如图所示。已知引力常量为，忽略其他星体对它们的引力作用，则下列说法正确的是（ ）
A．四颗星的轨道半径均为
B．四颗星表面的重力加速度大小均为
C．每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的合力等于对角星对其的万有引力
D．四颗星的周期均为
【答案】AD
【详解】A．四星系统的圆心在正方形中心，根据几何关系可得轨道半径为，A正确；
B．在星球表面根据得，B错误。
C．每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的合力对角星对星球的万有引力可知，C错误；
D．向心力由合力提供，故解得
D正确；故选AD。
张角问题
5．2019年11月11日出现了难得一见的“水星凌日”现象。水星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、水星、太阳会在一条直线上，这时从地球上可以看到水星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，天文学称之为“水星凌日”。在地球上每经过年就会看到“水星凌日”现象。通过位于贵州的“中国天眼”FAST（目前世界上口径最大的单天线射电望远镜）观测水星与太阳的视角（观察者分别与水星、太阳的连线所夹的角）为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于水星每隔N年就会处于地球、太阳之间，且三者共线，那就意味着每经过N年水星会比地球多转一圈，则而且地球的周期为1年，所以再由万有引力提供向心力，有
所以视角最大的时候应该是水星与地球连线与水星轨道相切的时候，此时故BCD错误，A正确。故选A。
6．如图，轨道在同一平面内的两颗卫星a和b某时刻运动到地球的同一侧，且三者在同一条直线上，经时间两颗卫星与地心的连线转过的角度分别为和。下列说法正确的是（ ）
A．a卫星的动能大于b卫星的动能
B．a卫星的角速度与b卫星的角速度之比为
C．a卫星的线速度与b卫星的线速度之比为
D．a、b卫星到下次与行星共线，还需经过的时间为
【答案】D
【详解】A．由于两颗卫星的质量大小关系不确定，则无法判断a、b卫星的动能大小关系，故A错误；
B．根据角速度定义式可得，则a卫星的角速度与b卫星的角速度之比为故B错误；
C．根据开普勒第三定律可得又则a卫星的半径与b卫星的半径之比为
根据万有引力提供向心力可得可得则a卫星的线速度与b卫星的线速度之比为故C错误；
D．a、b卫星到下次与行星共线，还需经过的时间为，则有可得
故D正确。故选D。
7．如图所示，用飞船将航天员送入中国空间站，首先使飞船在近地圆轨道（轨道半径等于地球半径）上无动力飞行，然后飞船先后通过两次瞬间加速变轨，成功转移到空间站所在轨道并与空间站对接．图中角为该飞船第一次加速时，空间站和飞船分别与地球球心连线形成的夹角，若两次加速变轨时飞船分别在一椭圆轨道的近地点和远地点．已知地球半径为，空间站距地面高度约为，飞船和空间站都沿逆时针方向飞行，为了使飞船以最短的时间到达空间站，角约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】若飞船以最短的时间到达空间站，则飞船第一次加速变轨至椭圆轨道，并在椭圆轨道远地点到达空间站，变轨图如图所示．设近地点为，远地点为B，飞船在此椭圆轨道运动的周期为，空间站绕地球运动的周期为，因此从近地点到远地点的过程飞船和空间站飞行的时间都为；由题意可知空间站绕地球运动的轨道半径，近地点到地心的距离为，则椭圆轨道的半长轴
根据开普勒第三定律可得因此有
故选B。
8．如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则（ ）
A．水星的公转角速度比金星的小
B．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
C．水星、金星与太阳的万有引力之比sin2βm∶sin2αm
D．水星与金星的线速度之比为
【答案】BD
【详解】A．设太阳的质量为，环绕天体的质量为，则根据万有引力充当向心力有
解得由于水星的轨道半径小于金星的轨道半径，则可知水星的公转角速度比金星的大，故A错误；
B．设地球到太阳中心之间的距离为，根据几何关系可得水星与金星各自的轨道半径分别为
，则可得水星与金星的公转轨道半径之比为故B正确；
C．根据万有引力公式可知，要求得水星、金星与太阳的万有引力之比则必须知道水星与金星得质量关系，故C错误；
D．根据万有引力充当向心力可得即水星与金星的线速度之比为
故D正确。故选BD。
拉格朗日点
9．2019年“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面。如图，为给“嫦娥四号”探测器登陆月球背面提供通信支持，“鹊桥号”卫星绕地月拉格朗日L2点做圆周运动。已知在地月拉格朗日点L1或L2，卫星受地球和月球引力的合力作用，能随月球同步绕地球做圆周运动。则（ ）
A．卫星在L1点的线速度比在L2点的小
B．卫星在L1点的角速度比在L2点的大
C．同一卫星L1、L2点受地球和月球引力的合力相等
D．若技术允许，使“鹊桥号”刚好位于L2点，能量消耗最小，能更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持
【答案】A
【详解】B．地月拉格朗日点L1或L2与月球保持相对静止，卫星在L1、L2点的角速度相等，故B错误；
A．根据可得，卫星在L1点的线速度比在L2点的小，故A正确；
C．根据可得，同一卫星L1、L2点受地球和月球引力的合力不相等，故C错误；
D．若“鹊桥号”刚好位于L2点，几乎不消耗能量，但由几何关系可知，通讯范围较小，并不能更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持，故D错误。故选A。
10．2019年1月3日，我国“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆并通过中继星“鹊桥”发回大量月背影像。“鹊桥”号是世界首颗运行于地月拉格朗日L2点附近的中继通信卫星。拉格朗日点L1和L2位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。已知地球质量为M，月球质量为m，月球的轨道半径为r，公转周期为T，引力常数为G；如图，当卫星处于地月拉格朗日点L1或L2时，以下说法正确的是
A．“鹊桥”号仅受月球引力作用
B．在L2点工作的卫星比在L1点工作的卫星的线速度小
C．在拉格朗日L1点工作的卫星，受到地球引力一定大于月球引力
D．拉格朗日L2点与地心的距离为
【答案】C
【详解】A．“鹊桥”号在地球和月球共同的作用下运动，故A错误；
B．在L2点工作的卫星和在L1点工作的卫星周期相同，角速度相同，根据：可知L2点轨道半径大，线速度大，故B错误；
C．在拉格朗日L1点工作的卫星向心加速度指向地球，所以受到地球引力一定大于月球引力，故C正确；
D．在拉格朗日L2点的卫星受到地球和月球共同的万有引力作用，表达式应该具有地球和月球的质量M和m，选项中只有地球的质量，故D错误。故选C．
11．天文学上，“拉格朗日点”的定义是：“受两大物体引力作用下，能使小物体稳定的点。”在数学上共有五个解，如下图中的、、、、点。2018年5月21日，我国用长征四号丙运载火箭，成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继卫星发射升空。“鹊桥”是世界首颗运行于拉格朗日点的卫星，当“鹊桥”处于“拉格朗日点”时，会在月球与地球共同的引力作用下，以与月球相同的周期绕地球运行。则以下判断正确的是（ ）
A．“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
B．“鹊桥”的角速度大于月球的角速度
C．“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
D．“鹊桥”的向心力大于地球对它的引力
【答案】AD
【详解】A．依题意，“鹊桥”与月球的周期相同，且其轨道半径大于月球的轨道半径，根据线速度与周期关系式可得所以“鹊桥”的线速度大于月球的线速度。故A正确；
B．同理，根据角速度与周期关系式可得则“鹊桥”的角速度等于月球的角速度。故B错误；
C．根据向心加速度表达式，可得则“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度。故C错误；
D．依题意，可知“鹊桥”的向心力由地球引力和月球引力的合力提供，则“鹊桥”的向心力大于地球对它的引力。故D正确。故选AD。
12．如图所示，已知地球可当作质量均匀分布分球体，地球半径为r，一个同步卫星的轨道高度为h，月球的轨道半径为R，地月连线上一个点的小质量人造卫星可在地球和月球共同引力的作用下和月球以相同周期绕地球公转，该点称为第一拉格朗日点L1，则地表赤道地面上的的物体线速度为v1，同步卫星线速度为v2，第一拉格朗日点上的卫星线速度为v3，月球公转线速度为v4，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】AB．地表赤道地面上的物体与同步卫星具有相同的角速度，根据则地表赤道地面上的物体与同步卫星的线速度之比为故A错误，B正确；
CD．人造卫星和月球以相同周期绕地球公转，则角速度相同，根据可知故C正确，D错误。故选BC。
黑洞潮汐现象
13．2020年诺贝尔物理学奖授予了在黑洞研究方面做出成就的三名科学家，银河系中心为一超大质量的黑洞，发现了与该黑洞中心的距离为的星体，正以速度围绕黑洞中心旋转。若该黑洞表面的物体速度达到光速时恰好围绕其表面做匀速圆周运动，则该黑洞的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设黑洞的质量为，黑洞的半径为，该黑洞中心的距离为的星体，正以速度围绕黑洞中心旋转，根据万有引力提供向心力可得该黑洞表面的物体速度达到光速时恰好围绕其表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得联立解得，A正确，BCD错误。故选A。
14．2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片在全球六地的视界望远镜发布会上同步发布。该黑洞半径为R，质量M和半径R的关系满足：= (其中c为光速，G为引力常量)。若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动，则（ ）
A．该黑洞的质量为
B．该黑洞的质量为
C．该黑洞的半径为
D．该黑洞的半径为
【答案】C
【详解】AB．天体受到黑洞的万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力，则有得
故AB错误；
CD．设黑洞的半径为R，质量M和半径R的关系满足=联立解得故C正确，D错误。
故选C。
15．“月亮正加速远离地球!后代没月亮看了。”一项新的研究表明，月球的引力在地球上产生了周期性的潮汐现象，潮汐力耗散地球的自转能量，降低地球的旋转速度，同时也导致月球正在以每年3.8cm的速度远离地球。不考虑其他变化，则很多年后与现在相比，下列说法正确的是（ ）
A．月球绕地球做圆周运动的周期将增大
B．月球绕地球做圆周运动的线速度增大
C．地球同步定点卫星的高度减小
D．地球同步定点卫星的角速度增大
【答案】A
【详解】A．月球绕着地球做匀速圆周运动，故解得随着地月间距增加，月球绕地球做圆周运动的周期将变大，故A正确；
B．月球绕着地球做匀速圆周运动，故解得随着地月间距增加，月球绕地球做圆周运动的线速度变小，故B错误；
CD．地球自转周期增加，故自转角速度变小，故同步卫星的角速度变小；同步卫星的周期变大，根据，轨道半径变大，故高度增大，故CD错误。故选A。
16．潮汐现象是指在月球和太阳引力作用下形成的海水周期性涨落现象。某同学查阅资料发现月球绕地球转动的轨道半径约为地球半径的60倍，地球质量约为月球质量的80倍，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球的自转影响，由以上数据可估算出（ ）
A．月球绕地球做圆周运动的加速度为
B．月球绕地球做圆周运动的线速度为地球第一宇宙速度的
C．月球表面的重力加速度为
D．月球对地球海水引力产生加速度的最大值为
【答案】AD
【详解】A．由可得地球表面的重力加速度由，可得，月球绕地球做圆周运动的加速度故A正确；
B．由可得，月球绕地球做圆周运动的线速度为地球第一宇宙速度的倍，故B错误；
C．月球的半径未知，无法计算出月球表面的重力加速度，故C错误；
D．海水与月球最小距离为，月球对地球海水引力产生的加速度最大
故D正确。故选AD。
特训目标
特训内容
目标1
双星多星问题（1T—4T）
目标2
张角问题（5T—8T）
目标3
拉格朗日点（9T—12T）
目标4
黑洞潮汐现象（13T—16T）
1、有准备的去听，也就是说听课前要先预习，找出不懂的知识、发现问题，带着知识点和问题去听课会有解惑的快乐，也更听得进去，容易掌握;
2、参与交流和互动，不要只是把自己摆在“听”的旁观者，而是“听”的参与者。
3、听要结合写和思考。
4、如果你因为种种原因，出现了那些似懂非懂、不懂的知识，课上或者课后一定要花时间去弄懂。
其次，要学会记忆：
1、要学会整合知识点。把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡片，会让你的大脑、思维条理清醒，方便记忆、温习、掌握。
2、合理用脑。
3、借助高效工具。学习思维导图，思维导图是一种将放射性思考具体化的方法，也是高效整理，促进理解和记忆的方法。最后，要学会总结：
一是要总结考试成绩，通过总结学会正确地看待分数。
1.摸透主干知识 2.能力驾驭高考 3.科技领跑生活
2024年高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升
专题31 双星多星问题、张角问题、拉格朗日点和黑洞潮汐现象
【特训典例】
双星多星问题
1．遥远的外太空存在两颗孤立的星球A、B的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动，如图所示。星球A和星球B均可看成球体，天文学家测得OA>OB，且星球A的半径大于星球B的半径但远小于A、B之间的距离，下列说法正确的是（ ）
A．M1>M2
B．星球A的第一宇宙速度更大
C．星球B表面附近的重力加速度更大
D．若两星球A、B间的距离不变，把星球A上的物质转移到星球B上，则它们运行的周期均不变
【答案】CD
【详解】A．两星球绕O点转动的角速度相等，有又
则故A错误；
B．第一宇宙速度即最大环绕速度，由解得可得故B错误；
C．由解得可得故C正确；
D．由解得可知周期不变，故D正确。故选CD。
2．双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线上的某一点在二者之间万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的角速度为ω，P、Q两颗星体之间的距离为L，Q、P两颗星体的轨道半径之差为Δr（P星的质量大于Q星的质量），引力常量为G，则（ ）
A．P、Q两颗星体的向心力大小相等
B．P、Q两颗星体的向心加速度大小相等
C．P、Q两颗星体的线速度大小之差为
D．P、Q两颗星体的质量之比为
【答案】AC
【详解】A．P、Q两颗星的向心力都等于两者之间的万有引力，因此P、Q两星的向心力大小相等，故A正确；
B．根据万有引力提供向心力可知，因为向心力大小相等，而两星的质量不相等，因此两星的向心加速度不相等，故B错误；
C．由于两星的角速度相等，根据圆周运动公式，可知故C正确；
D．对于两星存在所以又因为，所以根据题意
解得故D错误。故选AC。
3．离其他恒星较远的四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道做匀速圆周运动，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为，引力常量为，则（ ）
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与无关
B．三星的总动能为
C．若距离不变，四颗星体的质量均变为，则角速度变为原来的2倍
D．若四颗星体的质量均不变，距离均变为，则周期变为原来的倍
【答案】D
【详解】A．依题意，根据万有引力定律及几何知识，可求得位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的合外力为根据牛顿第二定律可得，每颗卫星的的向心加速度大小为故A错误；
B．三星的总动能为根据由几何知识得联立求得故B错误；
C．结合选项A分析可知，每颗卫星受到的合外力若距离不变，四颗星体的质量均变为，则每颗卫星受到的合力将变为原来的4倍，根据可知每颗卫星的角速度将变为原来的倍，故C错误；
D．若四颗星体的质量均不变，距离均变为，根据结合选项A，可得每颗卫星做匀速圆周运动的周期则周期变为原来的倍，故D正确。故选D。
4．宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，若四星系统中每个星体的质量均为、半径均为，四颗星稳定分布在边长为的正方形的四个顶点上，如图所示。已知引力常量为，忽略其他星体对它们的引力作用，则下列说法正确的是（ ）
A．四颗星的轨道半径均为
B．四颗星表面的重力加速度大小均为
C．每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的合力等于对角星对其的万有引力
D．四颗星的周期均为
【答案】AD
【详解】A．四星系统的圆心在正方形中心，根据几何关系可得轨道半径为，A正确；
B．在星球表面根据得，B错误。
C．每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的合力对角星对星球的万有引力可知，C错误；
D．向心力由合力提供，故解得
D正确；故选AD。
张角问题
5．2019年11月11日出现了难得一见的“水星凌日”现象。水星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、水星、太阳会在一条直线上，这时从地球上可以看到水星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，天文学称之为“水星凌日”。在地球上每经过年就会看到“水星凌日”现象。通过位于贵州的“中国天眼”FAST（目前世界上口径最大的单天线射电望远镜）观测水星与太阳的视角（观察者分别与水星、太阳的连线所夹的角）为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于水星每隔N年就会处于地球、太阳之间，且三者共线，那就意味着每经过N年水星会比地球多转一圈，则而且地球的周期为1年，所以再由万有引力提供向心力，有
所以视角最大的时候应该是水星与地球连线与水星轨道相切的时候，此时故BCD错误，A正确。故选A。
6．如图，轨道在同一平面内的两颗卫星a和b某时刻运动到地球的同一侧，且三者在同一条直线上，经时间两颗卫星与地心的连线转过的角度分别为和。下列说法正确的是（ ）
A．a卫星的动能大于b卫星的动能
B．a卫星的角速度与b卫星的角速度之比为
C．a卫星的线速度与b卫星的线速度之比为
D．a、b卫星到下次与行星共线，还需经过的时间为
【答案】D
【详解】A．由于两颗卫星的质量大小关系不确定，则无法判断a、b卫星的动能大小关系，故A错误；
B．根据角速度定义式可得，则a卫星的角速度与b卫星的角速度之比为故B错误；
C．根据开普勒第三定律可得又则a卫星的半径与b卫星的半径之比为
根据万有引力提供向心力可得可得则a卫星的线速度与b卫星的线速度之比为故C错误；
D．a、b卫星到下次与行星共线，还需经过的时间为，则有可得
故D正确。故选D。
7．如图所示，用飞船将航天员送入中国空间站，首先使飞船在近地圆轨道（轨道半径等于地球半径）上无动力飞行，然后飞船先后通过两次瞬间加速变轨，成功转移到空间站所在轨道并与空间站对接．图中角为该飞船第一次加速时，空间站和飞船分别与地球球心连线形成的夹角，若两次加速变轨时飞船分别在一椭圆轨道的近地点和远地点．已知地球半径为，空间站距地面高度约为，飞船和空间站都沿逆时针方向飞行，为了使飞船以最短的时间到达空间站，角约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】若飞船以最短的时间到达空间站，则飞船第一次加速变轨至椭圆轨道，并在椭圆轨道远地点到达空间站，变轨图如图所示．设近地点为，远地点为B，飞船在此椭圆轨道运动的周期为，空间站绕地球运动的周期为，因此从近地点到远地点的过程飞船和空间站飞行的时间都为；由题意可知空间站绕地球运动的轨道半径，近地点到地心的距离为，则椭圆轨道的半长轴
根据开普勒第三定律可得因此有
故选B。
8．如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则（ ）
A．水星的公转角速度比金星的小
B．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
C．水星、金星与太阳的万有引力之比sin2βm∶sin2αm
D．水星与金星的线速度之比为
【答案】BD
【详解】A．设太阳的质量为，环绕天体的质量为，则根据万有引力充当向心力有
解得由于水星的轨道半径小于金星的轨道半径，则可知水星的公转角速度比金星的大，故A错误；
B．设地球到太阳中心之间的距离为，根据几何关系可得水星与金星各自的轨道半径分别为
，则可得水星与金星的公转轨道半径之比为故B正确；
C．根据万有引力公式可知，要求得水星、金星与太阳的万有引力之比则必须知道水星与金星得质量关系，故C错误；
D．根据万有引力充当向心力可得即水星与金星的线速度之比为
故D正确。故选BD。
拉格朗日点
9．2019年“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面。如图，为给“嫦娥四号”探测器登陆月球背面提供通信支持，“鹊桥号”卫星绕地月拉格朗日L2点做圆周运动。已知在地月拉格朗日点L1或L2，卫星受地球和月球引力的合力作用，能随月球同步绕地球做圆周运动。则（ ）
A．卫星在L1点的线速度比在L2点的小
B．卫星在L1点的角速度比在L2点的大
C．同一卫星L1、L2点受地球和月球引力的合力相等
D．若技术允许，使“鹊桥号”刚好位于L2点，能量消耗最小，能更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持
【答案】A
【详解】B．地月拉格朗日点L1或L2与月球保持相对静止，卫星在L1、L2点的角速度相等，故B错误；
A．根据可得，卫星在L1点的线速度比在L2点的小，故A正确；
C．根据可得，同一卫星L1、L2点受地球和月球引力的合力不相等，故C错误；
D．若“鹊桥号”刚好位于L2点，几乎不消耗能量，但由几何关系可知，通讯范围较小，并不能更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持，故D错误。故选A。
10．2019年1月3日，我国“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆并通过中继星“鹊桥”发回大量月背影像。“鹊桥”号是世界首颗运行于地月拉格朗日L2点附近的中继通信卫星。拉格朗日点L1和L2位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。已知地球质量为M，月球质量为m，月球的轨道半径为r，公转周期为T，引力常数为G；如图，当卫星处于地月拉格朗日点L1或L2时，以下说法正确的是
A．“鹊桥”号仅受月球引力作用
B．在L2点工作的卫星比在L1点工作的卫星的线速度小
C．在拉格朗日L1点工作的卫星，受到地球引力一定大于月球引力
D．拉格朗日L2点与地心的距离为
【答案】C
【详解】A．“鹊桥”号在地球和月球共同的作用下运动，故A错误；
B．在L2点工作的卫星和在L1点工作的卫星周期相同，角速度相同，根据：可知L2点轨道半径大，线速度大，故B错误；
C．在拉格朗日L1点工作的卫星向心加速度指向地球，所以受到地球引力一定大于月球引力，故C正确；
D．在拉格朗日L2点的卫星受到地球和月球共同的万有引力作用，表达式应该具有地球和月球的质量M和m，选项中只有地球的质量，故D错误。故选C．
11．天文学上，“拉格朗日点”的定义是：“受两大物体引力作用下，能使小物体稳定的点。”在数学上共有五个解，如下图中的、、、、点。2018年5月21日，我国用长征四号丙运载火箭，成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继卫星发射升空。“鹊桥”是世界首颗运行于拉格朗日点的卫星，当“鹊桥”处于“拉格朗日点”时，会在月球与地球共同的引力作用下，以与月球相同的周期绕地球运行。则以下判断正确的是（ ）
A．“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
B．“鹊桥”的角速度大于月球的角速度
C．“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
D．“鹊桥”的向心力大于地球对它的引力
【答案】AD
【详解】A．依题意，“鹊桥”与月球的周期相同，且其轨道半径大于月球的轨道半径，根据线速度与周期关系式可得所以“鹊桥”的线速度大于月球的线速度。故A正确；
B．同理，根据角速度与周期关系式可得则“鹊桥”的角速度等于月球的角速度。故B错误；
C．根据向心加速度表达式，可得则“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度。故C错误；
D．依题意，可知“鹊桥”的向心力由地球引力和月球引力的合力提供，则“鹊桥”的向心力大于地球对它的引力。故D正确。故选AD。
12．如图所示，已知地球可当作质量均匀分布分球体，地球半径为r，一个同步卫星的轨道高度为h，月球的轨道半径为R，地月连线上一个点的小质量人造卫星可在地球和月球共同引力的作用下和月球以相同周期绕地球公转，该点称为第一拉格朗日点L1，则地表赤道地面上的的物体线速度为v1，同步卫星线速度为v2，第一拉格朗日点上的卫星线速度为v3，月球公转线速度为v4，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】AB．地表赤道地面上的物体与同步卫星具有相同的角速度，根据则地表赤道地面上的物体与同步卫星的线速度之比为故A错误，B正确；
CD．人造卫星和月球以相同周期绕地球公转，则角速度相同，根据可知故C正确，D错误。故选BC。
黑洞潮汐现象
13．2020年诺贝尔物理学奖授予了在黑洞研究方面做出成就的三名科学家，银河系中心为一超大质量的黑洞，发现了与该黑洞中心的距离为的星体，正以速度围绕黑洞中心旋转。若该黑洞表面的物体速度达到光速时恰好围绕其表面做匀速圆周运动，则该黑洞的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设黑洞的质量为，黑洞的半径为，该黑洞中心的距离为的星体，正以速度围绕黑洞中心旋转，根据万有引力提供向心力可得该黑洞表面的物体速度达到光速时恰好围绕其表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得联立解得，A正确，BCD错误。故选A。
14．2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片在全球六地的视界望远镜发布会上同步发布。该黑洞半径为R，质量M和半径R的关系满足：= (其中c为光速，G为引力常量)。若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动，则（ ）
A．该黑洞的质量为
B．该黑洞的质量为
C．该黑洞的半径为
D．该黑洞的半径为
【答案】C
【详解】AB．天体受到黑洞的万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力，则有得
故AB错误；
CD．设黑洞的半径为R，质量M和半径R的关系满足=联立解得故C正确，D错误。
故选C。
15．“月亮正加速远离地球!后代没月亮看了。”一项新的研究表明，月球的引力在地球上产生了周期性的潮汐现象，潮汐力耗散地球的自转能量，降低地球的旋转速度，同时也导致月球正在以每年3.8cm的速度远离地球。不考虑其他变化，则很多年后与现在相比，下列说法正确的是（ ）
A．月球绕地球做圆周运动的周期将增大
B．月球绕地球做圆周运动的线速度增大
C．地球同步定点卫星的高度减小
D．地球同步定点卫星的角速度增大
【答案】A
【详解】A．月球绕着地球做匀速圆周运动，故解得随着地月间距增加，月球绕地球做圆周运动的周期将变大，故A正确；
B．月球绕着地球做匀速圆周运动，故解得随着地月间距增加，月球绕地球做圆周运动的线速度变小，故B错误；
CD．地球自转周期增加，故自转角速度变小，故同步卫星的角速度变小；同步卫星的周期变大，根据，轨道半径变大，故高度增大，故CD错误。故选A。
16．潮汐现象是指在月球和太阳引力作用下形成的海水周期性涨落现象。某同学查阅资料发现月球绕地球转动的轨道半径约为地球半径的60倍，地球质量约为月球质量的80倍，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球的自转影响，由以上数据可估算出（ ）
A．月球绕地球做圆周运动的加速度为
B．月球绕地球做圆周运动的线速度为地球第一宇宙速度的
C．月球表面的重力加速度为
D．月球对地球海水引力产生加速度的最大值为
【答案】AD
【详解】A．由可得地球表面的重力加速度由，可得，月球绕地球做圆周运动的加速度故A正确；
B．由可得，月球绕地球做圆周运动的线速度为地球第一宇宙速度的倍，故B错误；
C．月球的半径未知，无法计算出月球表面的重力加速度，故C错误；
D．海水与月球最小距离为，月球对地球海水引力产生的加速度最大
故D正确。故选AD。
特训目标
特训内容
目标1
双星多星问题（1T—4T）
目标2
张角问题（5T—8T）
目标3
拉格朗日点（9T—12T）
目标4
黑洞潮汐现象（13T—16T）
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