广东省佛山市顺德区容桂实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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说明：本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时长 120 分钟．
注意事项：
1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩．
2．作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如 2B 铅笔），要求痕迹清晰．
一、选择题（10 个题，每题 3 分，共 30 分）
1. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”表示即可得．
【详解】解：将表示在数轴上如下：
故选：B．
2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”、“中国七巧板”、“中国的青朱出入图”、“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3. 在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，下列车高中， 不能通过桥洞的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．根据不等式的定义解决此题．
【详解】解：设桥洞的高，
由题意可得，．
故选：D．
4. 已知，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
直接利用不等式的性质分别分析得出答案．
【详解】解：A．，
∴，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．∵，
∴，原变形正确，故此选项符合题意；
D．∵，
∴，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
5. 如图，在中，，，若，则的长是（ ）
A. 2B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】
详解】解：∵，，
∴为等腰三角形，为底边上的高，
∴平分，为边上的中线.
∵，
∴，
故选：B.
6. 如图，将沿向右平移得到，若，，则平移的距离是（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查图形的平移，理解平移前后图形间的对应关系是解题的关键．如图，由与之间位置关系，可知的长度即平移的距离．
【详解】解：如图，∵，
∴平移距离是2．
故选A．
7. 如图，某学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了直角三角形的性质，先利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴．
故选B．
8. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得到，若点在上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得，，，得，根据，即可得到得的度数．
【详解】解：∵，
∴．
∵将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等B. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、全等三角形的判定，实数及不等式的性质，难度不大．
利用平行线的性质、全等三角形的判定、实数及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，不符合题意；
C、若，则，正确，是真命题，不符合题意；
D、当时，错误，假命题，符合题意，
故选：D．
10. 如图，已知点， ()，将线段绕点A逆时针旋转，则点B的对应点C的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，作轴，轴，证明，得到，即可解题．
【详解】解：作轴，轴，
由题知，，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，，
横坐标为，
故选：C ．
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)
11. 不等式x﹣2＞0的解集是______．
【答案】x＞2
【解析】
【分析】本题可对不等式直接进行移项，即可得出x的取值．
【详解】解：对不等式x﹣2＞0移项得：
x＞2．
故答案为：x＞2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的方法．
12. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，，则的大小为_________°．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先由等边对等角得到，再根据三角形的内角和进行求解即可．
【详解】，
，
，，
，
故答案为：30．
13. 如果点在第二象限，那么的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点的坐标所在象限的特征进行求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴ ，解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查点的坐标所在象限，熟练掌握点的坐标所在象限的特征是解题的关键．
14. 某种商品进价为200元，标价为300元出售，要使利润率不低于，则这种商品最多能按_______折销售．
【答案】七##7
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设这种商品按折销售，根据利润率不低于建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：设这种商品按折销售，
由题意得：，
解得，
则这种商品最多能按七折销售，
故答案为：七．
15. 如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论__________．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【解析】
【分析】连接OP，证明Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），△APM≌△PBN（ASA），再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM与Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM与△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
三、解答题(本大题共 9 小题，共 75分)
16. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即可求解；本题考查了解不等式组，解题的关键是：熟练掌握不等式的基本性质．
【详解】解：
由①，得：，
由②，得：，
∴不等式组的解集为：．
17. 已知：在平面直角坐标系中，线段如图所示．
（1）将线段进行平移，使得点A平移到点，作出平移后的线段．（温馨提示：请把图画在答题卡相对应的图上）；
（2）若上有一点，平移后的对应点为，则的坐标是（用含a，b的代数式表示）．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此作出变换后的对应点．
（1）由点及其对应点可得平移的方向和距离，再依据平移的定义作出点A、的对应点，继而连接即可得；
（2）由（1）中所得平移方式，利用平移的性质可得答案．
【小问1详解】
由点平移到点，可得平移方式为“先向左平移4个单位，再向下平移3个单位”，
根据平移方式画图如下，即为所求；
【小问2详解】
由（1）知“先向左平移4个单位，再向下平移3个单位”，
∴点的对应点的坐标为，
故答案为：．
18. 已知关于的方程的根是正数，求实数的取值范围．
【答案】a＜－7
【解析】
【分析】
【详解】解：

根据题意得＞0，
即＞0
解得：＜－7
即a＜－7的所有实数．
19. 如图，在中，点D、E分别在上，与相交于点O．给出下列三个信息：①；②；③．请选择其中两个作为条件，第三个作为结论构成一个真命题，并证明．
【答案】条件①②，结论③，证明见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用三角形全等得出角相等，线段相等进而证出结论是常用的方法．
组合出（1）条件①②，结论③．（2）条件②③，结论①．再分别根据全等三角形证明即可
【详解】解：（1）条件①②，结论③．
证明：，
，
，
，
又，
，
；
（2）条件②③，结论①．
证明：，
，
又，，
，
，
．
20. 某校组织“学习二十大精神，争做好少年”知识竞赛，准备购进A，B两种文具共40件作为奖品．已知A种文具每件15元，B种文具每件比A种文具多5元，如果要求A种文具的数量不超过B种文具数量的2倍，那么购买A种文具多少件时，可以使得总费用最少？
【答案】购买种文具26件时，可以使得总费用最少
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，设购买种文具件，总费用为元，根据A种文具的数量不超过B种文具数量的2倍，列出不等式求出x的取值范围，再列出y关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】解：设购买种文具件，总费用为元
∵A种文具的数量不超过B种文具数量的2倍，
∴，
解得
由题意得，，
∵
∴随的增大而减小
，且x为整数，
当时，有最小值670元
答：购买种文具26件时，可以使得总费用最少．
21. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是BC上的一点，且BD＝CD．
（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，交AB于点F；
（2）连接AD，求证：AD是△ABC的角平分线．

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】(1)以D点为圆心，线段BD的长度为半径交AB于点E，分别以E,B为圆心，大于 的长度为半径作圆，交于一点，连接D和该交点的直线，交AB于F，则直线DF为所求.
(2) 设CD＝a，则BD＝a，求出AB，再由面积相等求出DF的长度，得到DF=CD，从而可证明结论.
【详解】解：（1）如右图所示；

（2）证明：设CD＝a，则BD＝a，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
∴AC＝a+＝（1+）a，
∴AB＝（）a，
∵，
解得，DF＝a，
∴DC＝DF＝a，
∵DC⊥AC，DF⊥AB，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点睛】本题第一问主要考查中垂线的画法，第二问主要考查角平分线的证明
22. 综合与实践
根据以下素材，解决问题．
【问题解决】：
（1）小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
（2）小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值．
【答案】（1）他的说法对，理由见解析
（2）长度的最大值为0．25米
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一元一次不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键．
（1）过点B作于点G，可证得，据此即可判定；
（2）设，可得，的高为米，列不等式，即可求解．
【小问1详解】
他的说法对，理由如下：
如图：过点作于点，
．
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
，
．
最高点到地面的距离就是线段长．
【小问2详解】
该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形，
设，则．
又的高为1.2米，
三角形的面积．
又长方形的面积为：（平方米），
总费用：．
解得，
故长度的最大值为0.25米．
23. 综合应用
如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与一次函数的图象于点C．
（1）A点的坐标是 ，B点的坐标是 ．
（2）若不等式的解集是．
①连接，求的面积；
②若一次函数的图象与x轴交于点D，当是以为腰的等腰三角形时，求直线的表达式．
【答案】（1），
（2）①；②或或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数综合知识，难度适中，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用．
（1）由一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，可求A、B两点的坐标；
（2）①由不等式的解集是，可得点的横坐标为1，再根据点在得点的坐标为，即可求解；
②分两种情况讨论：当时，当时，分别求解．
【小问1详解】
∵一次函数的图象与轴交于点B，
∴令时，，
∴，
∴令时，，解得：．
∴，
故答案为：，．
【小问2详解】
①由不等式的解集是，
可得当时，函数的函数值大于函数的函数值；
∴点的横坐标为1，
把点的横坐标为1代入得，
点的坐标为，
∴的面积．
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵一次函数的图象经过点与，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∵一次函数的图象经过点与，
∴解得，
∴一次函数的表达式为；
一次函数的图象经过点与，
∴解得，
∴一次函数的表达式为；
综上所述直线表达式为或或．
24. 综合探究
【问题情境】在学习《图形的平移和旋转》时，某兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．
【初步探究】（1）小明是这样画图的：如图2，过点C画的平行线l，在l上取，连接，则即为旋转后的图形，你能说说小明这样做的道理吗？
【类比迁移】（2）如图3，点D为等边内一点，绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．连接，若B、D、E三点共线，求证：平分；
【拓展应用】（3）如图4，中，，，若于点D， ，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）先利用平行线的性质得到，再证明得到,所以，然后利用旋转的定义即可判断结果；
（2）证明,可得，故，从而得出结论；
（3）延长至点，使，证得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理分两种情况求出结果即可．
【详解】（1）为等边三角形，
，
．
，
，
，
，
，
绕点逆时针旋转得到．
（2）证明：将线段绕点逆时针旋转得到，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
平分；
（3）如图，延长至点，使，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，
同理可得，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
设计拍照打卡板
素材一
小聪为学校设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且点B，F，G，C四点在一条直线上．其中，点A到距离为1.2米，米，米．

素材二
因考虑牢固耐用，小聪计划选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．