2024年陕西省永寿县部分学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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数学试卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果温度上升记作，那么温度下降记作（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则的余角大小是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
5. 杆秤是人类的一种伟大发明．如图是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点；当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡状态．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时，秤杆处于平衡状态．已知x与y之间满足一次函数关系．且测得x与y的几组对应数据如表所示：
当时，y的值是（ ）
A. 45B. 46C. 48D. 50
6. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则的值是（ ）
A. 2B. 1C. D.
7. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，E为圆上一点，，于点F，且米，则门洞的跨径的长为（ ）
A 0.5米B. 1米C. 1.2米D. 1.3米
8. 如图，正方形的顶点D在抛物线（b为常数）上，顶点B、C的坐标分别是、，则b的值是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 已知，为两个连续整数，且，则______．
10. 若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是______．
11. 我国古代数学家梅殷成在其数学著作《增删算法统宗》中有题如下：“群羊一百四十，剪毛不惮勤劳，群中有母有羊羔，先剪二羊比较：大羊剪毛斤二，一十二两羔毛，百五十斤是根苗，子母各该多少？”其大意是：“今有一群羊140只，大羊与羊羔都可以剪毛．首先剪两只羊的毛后知道：每只大羊可剪毛18两，每只羊羔可剪毛12两．现在总共剪得羊毛150斤（注：1斤16两）．试问大羊与羊羔各有多少？”若设大羊x只，羊羔y只，则依题意可列方程组为______．
12. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若加压后气体对汽缸壁所产生的压强为，则汽缸内气体的体积为______mL．
13. 如图，E为矩形边上的动点（不含端点），将沿折叠，使得点B落在矩形内的点F处（包括矩形的边），已知，，则的取值范围是______，连接，当时，的长是______．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 解方程：
16. 如图，矩形的顶点A、B的坐标分别为，，求顶点C的坐标．
17. 如图，已知四边形是矩形（），请用尺规作图法在矩形内部求作点E，连接、，使得是以为斜边的等腰直角三角形．
18. 如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形．
19. 2024年4月8日晚，感动中国2023年度获奖人物揭晓．极不平凡的2023年，他们或在危难中逆行，或在逆境中坚守，以凡人之力，书写中国人的年度精神史诗．为培养全校同学奉献、无私、爱国精神，某校拟举办以“增强家国情怀，感悟榜样精神”为主题的演讲比赛，每班选拔一人参加．九年级（1）班的李磊和张华表现都很优秀，班主任打算从这两位同学中任选1人参加学校演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．李磊和张华各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和为偶数，则李磊参加学校演讲比赛；否则，张华参加学校演讲比赛．
（1）“李磊掷一次骰子，掷得向上一面的点数为偶数”是______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）
（2）这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
20. 某校为提升学生身体素质，利用课后服务时间开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班在其中一场比赛中，共投中20个球（只有2分球和3分球），所得总分超过50分，问该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？
21. 某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项课题活动，具体要求是对校园内旗杆的高度进行测量与计算，他们准备了如下测量工具：①小平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5米的测量仪（能测量仰角和俯角的仪器），并形成了如下实践报告，请你帮他们完成下面的实践报告．
22. 如图，已知经过点的直线（k、b为常数，且）与直线交于点．
（1）分别求直线、的函数表达式；
（2）直线轴，设直线l与直线、分别交于A、B两点，且，直线l与x轴交点的横坐标为m，求m的值．
23. 2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息．
信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：．
信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图
信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为：
D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分；
（2）若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩；
（3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数．
24. 如图，内接于，为的直径，点E在上，连接、，且，延长到点D，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，，，求的长．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C坐标；
（2）连接，点P为抛物线第四象限上动点，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，交x轴于点E，连接、、、，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
26. 问题探究
（1）如图1，在中，，点D是中点，于点E．求证：；
（2）如图2，在中，连接，平分，交于E，平分，交于F．当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由；
问题解决
（3）某地为改进城市旅游景观面貌、提高市民生活幸福指数，城建部拟规划一个形如四边形的动植物园（如图3），沿对角线、分别修建观赏小径（宽度忽略不计），已知米，米，，根据设计要求，现要将三角形区域设为熊猫娱乐区，为了游客的安全起见，将熊猫娱乐区周围筑起护栏．求所需护栏的长度（的周长）以及该动植物园所占面积（四边形的面积）．
x/克
0
2
4
6
10
y/毫米
4
10
16
22
34
活动课题：校园内旗杆高度的测量与计算
活动目的；运用所学知识解决实际问题
活动工具：______（填出你所选用的工具序号）
测量示意图：（请在此处画出测量示意图）
测量数据：__________________（线段长度可用a、b、c…表示，角度用、、…表示，不要求写出测量过程）
活动成果：根据你测量的数据，计算旗杆的高度