贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至第四册占20%，选择性必修第一册占30%，第二册占50%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
4. 已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（ ）
A. 6B. C. 8D.
5. 若是不等式成立的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则的展开式中x的系数为（ ）
A B. C. 28D. 56
7. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（ ）
A 60种B. 74种C. 88种D. 120种
8. 已知函数，若，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9. 下列选项中正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（ ）
A. 的外接圆半径为B.
C. D. 为锐角三角形
11. “新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ）
A. B与C相互独立B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，是右焦点，则的周长为________.
13. 杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为____________．
14. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为____________，____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点.
（1）证明:平面.
（2）求二面角的正弦值.
16. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表．
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．
（1）测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；
（2）现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望．
17. 某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表．
（1）请用相关系数说明与的线性相关程度；
（2）求关于的回归直线方程，并预测2025年该地新能源汽车保有量．
附：相关系数．
在回归直线方程中，．取．
18. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船把三名航天员送入太空．空间站开展的公益活动是与大众比较接近的．为了解学生对空间站开展的公益活动是否感兴趣，某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，得到如下列联表中的部分数据．
已知从这300名学生中随机抽取男生和女生各1人，抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为．
（1）将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为学生对此项活动感兴趣与性别有关；
（2）该学校对参与问卷调查的学生按性别采用分层随机抽样的方法，从对空间站开展的公益活动感兴趣的学生中抽取8人，组成一个宣传小组，从这8人中任选3人担任宣传小组的主讲人，设随机变量X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．
附表及公式：．
19. 已知双曲线的离心率为，虚轴长为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值．
回答正确
回答错误
问题中存语法错误
100
300
问题中没有语法错误
500
100
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份编号
1
2
3
4
5
保有量(万辆)
18
20
23
25
29
对空间站开展的公益活动感兴趣
对空间站开展的公益活动不感兴趣
合计
男生
150
女生
50
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828