2024北京三十五中高一（下）期中数学试题及答案

这是一份2024北京三十五中高一（下）期中数学试题及答案，共13页。

1．（4分）下列各角中，与27°角终边相同的是（ ）
A．63°B．153°C．207°D．387°
2．（4分）向量，与的夹角为，则等于（ ）
A．B．C．﹣2D．4
3．（4分）已知，且sinα＜0，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）下列函数中，周期为的偶函数为（ ）
A．y＝sin4xB．y＝cs2xC．y＝tan4xD．y＝sin22x
5．（4分）设向量＝（1，0），＝（，），则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．与垂直D．
6．（4分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，那么tan（α+）等于（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图像关于直线对称
C．的一个零点为
D．f（x）的图像可以由图像左移得到
8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在第三象限．则（ ）
A．sinα﹣csα≤tanαB．sinα﹣csα≥tanα
C．sinα•csα＜tanαD．sinα•csα＞tanα
9．（4分）如图所示，某风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m）．则h与t满足的函数关系为（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则的取值范围是（ ）
A．B．C．（0，2）D．（0，3）
二．填空题（共5个小题，每题5分，共25分.请将正确答案填在答题卡相应的题号处）
11．（5分）＝ ．
12．（5分）已知，均为单位向量，且＝﹣，那么|+2|＝ ．
13．（5分）已知f（x）＝2cs2x﹣sinx，则＝ ，f（x）的最小值为 ．
14．（5分）在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用．纯音的数学模型是三角函数．如音叉发出的纯音振动可表示为y＝Asinωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移．我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与y＝f（x）的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．
（1）当n＝1时，函数f（x）的对称中心坐标为 ；
（2）当n＝50时，合音f（x）的音调比纯音 （填写“高”或“低”）．
15．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，），，恒成立，且f（x）在区间上单调，给出下列命题：
①f（x）是偶函数；
②；
③ω是奇数；
④ω的最大值为3．
其中正确的命题有 ．
三．解答题（共6个小题，共85分。请将解题过程和答案写在答题卡相应的题号处）
16．（13分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．
（Ⅰ）求sin（α+π）与cs2α的值；
（Ⅱ）若角β满足，且角β为第三象限角，求cs（α+β）的值．
17．（12分）已知函数f（x）＝+cs2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
18．（15分）某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若x∈（0，π），且f（x）＞﹣1，求x的取值范围．
19．（15分）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f（x）的解析式的两个作为已知．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数f（x）的最小正周期为π；
条件②：函数f（x）的图象经过点；
条件③：函数f（x）的最大值为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求得条件分别解答，按第一组解答计分．
20．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，点B，D，F为f（x）与x轴的交点，点C，E分别为f（x）的最高点和最低点，而函数f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在处取得最小值．
（1）求参数ω和φ的值；
（2）若A＝1，求向量与向量夹角的余弦值；
（3）若点P为函数f（x）图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，•≥1恒成立，求A的取值范围．
21．（15分）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{|＝（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意∈Y，存在∈Y，使得•＝0，则称X具有性质P．
（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；
（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1
参考答案
一．选择题（共10个小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）
1．【解答】解：与27°角终边相同的角的集合为{α|α＝27°+k•360°，k∈Z}，
取k＝1，可得α＝387°．
∴与27°角终边相同的是387°．
故选：D．
2．【解答】解：∵，与的夹角为，
∴．
故选：A．
3．【解答】解：因为，且sinα＜0，
所以sinα＝﹣＝﹣，
则tanα＝＝．
故选：A．
4．【解答】解：对于A，，由题意可知，y＝sin4x的定义域为R，f（﹣x）＝sin4（﹣x）＝﹣sin4x＝﹣f（x），
所以y＝sin4x为奇函数，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，，
由题意可知，的定义域为R，
f（﹣x）＝sin22（﹣x）＝sin22x＝f（x），所以y＝sin22x为偶函数，故D正确．
故选：D．
5．【解答】解：∵，∴＝1，＝，故不正确，即A错误
∵•＝≠，故B错误；
∵﹣＝（，﹣），∴（﹣）•＝0，∴与垂直，故C正确；
∵，易得不成立，故D错误．
故选：C．
6．【解答】解：∵已知，
∴＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝＝，
故选：C．
7．【解答】解：对于函数，由于它的最小正周期为＝π，故A错误．
令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）的图像关于点（，0）对称，故B错误．
令x＝﹣，求得f（x）＝1，为最大值，可得f（x）的图像关于直线x＝﹣对称，故C错误．
把由图像左移个单位，可得y＝sin（2x++）＝cs（2x+）＝f（x）的图象，故D正确．
故选：D．
8．【解答】解：对于A，当α＝181°时，sinα﹣csα的值趋近于1，tanα的值趋近于0，故A错误；
当α＝240°时，，＞0，故B错误；
sinα•csα﹣tanα＝＝，
则sinα•csα＜tanα，故C正确，D错误．
故选：C．
9．【解答】解：设h与t满足的函数关系为h＝Asin（ωt+φ）+b（ω＞0），
由题意最大值为4.5m，最小值为0.5m，
所以A＝＝2，b＝＝2.5，
由题意知，某风车每12s旋转一周，
所以T＝12，
所以，
又风车从最低点开始运动，
所以函数过点，
则，
不妨设，
所以h与t满足的函数关系为．
故选：C．
10．【解答】解：作出示意图形，如下图所示，根据题意，可得，
在点F从D到C的运动过程中，与变大，且它们的夹角变小，可知变大，
若F与C重合，则，，
可得＝，
由于点F在C、D之间，且不与C，D重合，所以∠AGD为锐角，
当F与D无限接近时，趋近于0；当F与C无限接近时，趋近于，
因此可得0＜＜，即的取值范围是．
故选：B．
二．填空题（共5个小题，每题5分，共25分.请将正确答案填在答题卡相应的题号处）
11．【解答】解：cs＝cs（π+）＝﹣cs＝﹣，
故答案为﹣．
12．【解答】解：向量均为单位向量，且＝﹣，
那么．
故答案为：．
13．【解答】解：f（x）＝2cs2x﹣sinx，
则＝×2﹣＝1；
又﹣1≤sinx≤1，
∴f（x）＝﹣2sin2x﹣sinx+2＝﹣2（sinx+）2+，
当sinx＝1时，f（x）取得最小值，为﹣1．
故答案为：1；﹣1．
14．【解答】解：（1）n＝1时，函数f（x）＝sinx，对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z；
（2）当n＝50时，f（x）＝sinnx＝sinx+sin2x+sin3x+...+sin50x，
因为sinx的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期为π，sin3x的最小正周期为，…，sin50x的最小正周期为，
所以f（x）的最小正周期为2π，频率为，的周期为，频率为，所以f（x）比φ（x）的频率低，故音调低．
故答案为：（1）（kπ，0），k∈Z；（2）低．
15．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，），，恒成立，
∴可得sin（﹣+φ）＝0，﹣+φ＝k1π，k1∈Z，
解得φ＝ω+k1π（k1∈Z）…（1）．
由题意，可得f（）＝±1，即sin（+φ）＝±1，∴可得φ＝﹣+k2π+ （k2∈Z）…（2）．
由（1）、（2）可得，ω＝1+2（k2﹣k1），即ω＝2n+1，n∈Z，∴ω＝1，3，5，7．
若ω＝1时，φ＝，f（x）＝sin（x+），满足条件．
若ω＝3时，φ＝，f（x）＝sin（3x+），满足条件．
若ω＝5时，φ＝﹣，f（x）＝sin（5x﹣），在区间（﹣，）上不单调，不满足条件．
当ω＝7时，φ＝﹣，且f（x）＝sin（7x﹣）区间（﹣，）上不单调，不满足条件．
综上，f（x）＝sin（x+）或f（x）＝sin（3x+）．
故选项①错误．
由于x＝为函数的对称轴，所以应有f（0）＝f（），故选项②正确．
根据ω＝2n+1，n∈Z，可得选项③正确．
由解答过程可得，ω＝1或ω＝3，故选项④正确．
故答案为：②③④．
三．解答题（共6个小题，共85分。请将解题过程和答案写在答题卡相应的题号处）
16．【解答】解：由题意得sinα＝，csα＝，
（I）所以sin（α+π）＝﹣sinα＝﹣，
cs2α＝2cs2α﹣1＝2×﹣1＝﹣；
（Ⅱ）若角β满足，且角β为第三象限角，
则sinβ＝﹣，
所以cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ
＝﹣＝．
17．【解答】解：函数f（x）＝+cs2x
＝sin2x+cs2x＝sin（2x），
（1）函数f（x）的最小正周期T＝＝π；
（2）令2k≤2x+≤2k，
解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
18．【解答】解：（1）由表格可知A＝2，T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
因为f（）＝2sin（+φ）＝2，所以+φ＝+2kπ，k∈Z，
由|φ|＜，得φ＝，
所以f（x）＝2sin（2x+）．
（2）当x∈上时，t＝2x+∈[，]，
因为y＝sint在[，]上单调递减，在[，]上递增，
所以f（x）的最大值为2×sin＝2，
又2sin＝，2sin＝﹣，
所以f（x）的最小值为2sin＝﹣．
（3）由x∈（0，π），得2x+∈（，），
由f（x）＝2sin（2x+）＞﹣1，得sin（2x+）＞，
所以2x+∈（，）∪（，），
解得：x∈（0，）∪（，π）．
19．【解答】解：（I）由题可知，f（x）＝＝，
选择①②：（1）因为，
所以ω＝1，
又因为，
所以，；
若选①③：因为，
所以ω＝1，
因为f（x）的最大值为m+＝，即m＝0，
所以f（x）＝sin（2x+）+；
若选②③：因为，
所以，
因为f（x）的最大值为m+＝，即m＝0，
此时m不存在；
（2）若选①②，令，则，
所以，k∈Z，
当k＝1，k＝2时，函数f（x）的零点为，
因为函数f（x）在区间[0，t]上有且仅有1个零点，
所以，
所以t的取值范围是；
选择①③：，
令，则，k∈Z，或，k∈Z，
所以，k∈Z，或，k∈Z，
当k＝0时，函数f（x）的零点分别为，
因为函数f（x）在区间[0，t]上有且仅有1个零点，
所以{t|}．
20．【解答】解：（1）因为f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为2，
所以T＝4∴，
∴，
又时，g（x）取最小值，
则，k∈Z，
∴，k∈Z，
又∵|φ|＜π，则，
即，φ＝；
（2）因为A＝1，所以，
则，，，
则，
则，
即向量与向量夹角的余弦值为；
（3）因为P是f（x）上动点，，，，
又∵恒成立，
设，
则，，
则＝，
易知在或处有最小值，在或处有最大值，
所以当或时，有最小值，
即当P在C或E时，有最小值，此时或，
当P为时，，，，得，
又A＞0，则，
当P为时，，，
∴，解得，
综上，，
即A的取值范围为．
21．【解答】解：（Ⅰ）{﹣1，1，2}具有性质P．
（Ⅱ）选取＝（x，2），Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b）．
所以x＝2b，从而x＝4；
（ III）证明：取＝（x1，x1）∈Y，设＝（s，t）∈∈Y满足•＝0．
由（s+t）x1＝0得s+t＝0，所以s、t异号．
因为﹣1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为﹣1，另一为1，
故1∈X．
假设xk＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．
选取＝（x1，xn），并设＝（p，q）满足•＝0，
即px1+qxn＝0，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为﹣1．
若p＝﹣1，则x1＝qxn，显然矛盾；
若q＝﹣1，则xn＝px1＜p≤xn，矛盾．
所以x1＝1．
x
ωx+φ
0
π
2π
Asin（ωx+φ）
0
0
﹣2