2024年中考数学一轮（全国通用版）专题06 二次根式易错必刷题型专训（54题18个考点）（原卷版+解析版）

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1．当时，二次根式的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可．
【详解】解：当时，
故选：B．
2．当时，二次根式的值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可．
【详解】解：当时，，
故答案为：2．
3．若，，求的值．
【答案】
【分析】由题意对利用提取公因式法分解因式，并代入利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握利用提取公因式法分解因式以及平方差公式是解题的关键．
【易错必刷二 求二次根式中的参数】
1．若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简，根据题意逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵是整数，
A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当时，，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．若，则的立方根是 ．
【答案】2
【分析】根据平方、二次根式的非负性可得，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
即，，
∴，
∴的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到，是解题的关键．
3．若，则的平方根．
【答案】
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不为零，根据条件求出的值．
【详解】解：若，其中，
则，
即，
由，解得：（舍去）
由，解得：，
，
的平方根为，
故答案是：．
【点睛】本题考查零分式值为零的条件及平方根的性质，解题的关键是：分母不为零的条件不能少．
【易错必刷三 二次根式有意义的条件】
1．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．且
【答案】D
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，且
解得：且
故选D．
2．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于0是解题关键．
利用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得且，
解得且．
故答案为：且．
3．若，求的值．
【答案】
【分析】首先根据二次根式有意义的条件可以确定x的值，进而求出y的值，再将x、y的值代入要求的式子即可.
【详解】解：由题意得：，，
，，
，
∴.
【易错必刷四 利用二次根式的性质化简】
1．若，则代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义以及乘方运算，先根据得出，算出的值，再代入进行运算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
解得，
则，
故选：C．
2．当时，化简的结果是
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，先根据题意得到，据此化简二次根式后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
3．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…．
(1)根据以上规律，请直接写出第5个等式：______；
(2)观察、归纳，请写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示，为正整数），并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字类的规律探索：
（1）仿照题意写出第5个等式即可；
（2）观察式子，可得第n个等式为，然后利用二次根式的性质进行证明即可．
【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为；
故答案为：；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……，
以此类推，可知，第n个等式为，
证明如下：
．
【易错必刷五 复合二次根式的化简】
1．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝ ．
【答案】﹣．
【分析】将12拆成，再利用完全平方差公式：即可得．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式化简二次根式，熟记公式是解题关键．另一个重要的公式是平方差公式：，这是常考知识点，需重点掌握．
3．阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；
（3），据此即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
∴，
由（1）中结论可知：，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴或，
当时，；
当时，；
∴a的值为或．
（3）解：，
∴．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
【易错必刷六 二次根式的乘除法】
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：C．
2．计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式．
（1）先运算乘除，再运算减法，即可作答．
（2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类二次根式，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【易错必刷七 最简二次根式的判断】
1．下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．
直接利用最简二次根式需要满足的两个条件逐项分析即可．
【详解】A．，原二次根式含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；
B．，原二次根式含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；
C．是最简二次根式，符合题意；
D．，原二次根式含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
2．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可．
【详解】∵二次根式 有意义，
∴，
解得，
当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意；
当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意；
当时，二次根式的值为，是最简二次根式，
综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是2．
故答案为：2
3．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（5）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【易错必刷八 化为最简二次根式】
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A. ，原二次根式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B. ，原二次根式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C. ，原二次根式是最简二次根式，故此选项符合题意；
D. ，原二次根式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．若（为正整数）是最简二次根式，则的取值可以是 .
【答案】1
【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】解：当时，，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
3．化简下列各式：
(1)（a>0）；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键
（1）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，进行约分；
（2）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，将分母中的根号化去；
【详解】（1）原式．
（2）原式．
【易错必刷九 已知最简二次根式求参数】
1．若的值是一个整数，则正整数的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】D
【分析】
本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值．
【详解】解：是一个整数，
是一个整数，
正整数的最小值为，
故选D．
2．两个最简二次根式与可以合并，则 ．
【答案】5
【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
∴，
∴，
但当时，，不是最简二次根式，应舍去，
∴；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．
3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值
【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式
解得：
∴符合题意
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．
【易错必刷十 同类二次根式】
1．下列二次根式中，化简后能与进行合并的二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简、同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．直接化简二次根式，再利用同类二次根式的定义得出答案．
【详解】解：A．，故与无法合并，故此选项不合题意；
B．与无法合并，故此选项不合题意；
C．与可以合并，故此选项符合题意；
D．与无法合并，故此选项不合题意．
故选：C．
2．若最简二次根式能进行合并，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查根据同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式能够合并，得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
；
故答案为：4
3．若最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类二次根式，解二元一次方程组，求解代数式的值，根据同类二次根式的定义得到是解题的关键．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
∴，解得，
∴．
【易错必刷十一 二次根式的加减运算】
1．若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的加法运算，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握二次根式的加法运算，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
由，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
故选：D．
2．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，利用二次根式的加减混合运算法则即可求解；
【详解】解：原式，
故答案为：
3．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则．
先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可．
【详解】
．
【易错必刷十二 二次根式的混合运算】
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算和除法法则对B、D选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
【详解】A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项符合题意；
D．，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．已知，则代数式的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．把的值代入原式，根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
3．阅读材料，回答下列问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______．
这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
①，
②，
③，
④，…，
（2）用上述方法判断：若，，则，的关系是______．
（3）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，二次根式的分母有理化是解题的关键．
（1）根据有理化因式求解；
（2）利用分母有理化把进行化简可得到与的关系；
（3）先分母有理化，然后利用平方差公式计算．
【详解】解：（1）的有理化因式为；
（2）与互为相反数．
理由如下：，
，
故答案为：；
（3）
．
【易错必刷十三 分母有理化】
1． =（ ）
A．9B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的运算，先进行分母有理化，再进行二次根式的混合运算即可求出答案．
【详解】解：原式
故选：C．
2．计算： ， ， .
【答案】 /
【分析】此题考查了二次根式的化简求值， 根据二次根式的性质和分母有理化法则分别计算即可.
【详解】解：，，
故答案为：，，
3．【阅读理解】
爱思考的小铭在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
∵，即，
∴，∴，
∴，
∴．
请你根据小铭的分析过程，解决下列问题：
(1)计算：______；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键；
（1）仿照题的方法化简即可；
（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；
（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）原式
．
（3）∵，
∴，
∴．即．
∴，
∴．
【易错必刷十四 已知字母的值化简求值】
1．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式；
乙的解答为：原式，在两人的解法中（ ）
A．甲正确B．乙正确C．都不正确D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次根式运算，先判断的正负，再根据化简，最后将代入计算即可．
【详解】解：当时，，
∴
，
∴乙计算正确．
观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确，
故选B．
2．（2024上·山东淄博·九年级校联考期末）若，则代数式的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则求出，根据减法法则求出，把原式利用提公因式法因式分解，代入计算即可．
【详解】解：，
，，
则
，
故答案为：1
3．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为：
∵
∴，，∴原式
(1)若 求： 的值；
(2)若 求： 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，
（1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可；
（2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可；
【详解】（1）原式，
（2）∵，
∴原式
【易错必刷十五 已知条件式化简求值】
1．（2024下·全国·八年级假期作业）若，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
2．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知，那么 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，即，
∴是负数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键．
3．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)49
【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
则．
（2）解：∵，，
∴，，
则．
【易错必刷十六 比较二次根式的大小】
1．（2021上·八年级课时练习）的值一定是（ ）
A．正数B．非正数C．非负数D．负数
【答案】B
【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可．
【详解】解:
=
∵有意义，
∴,，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键．
2．（2023上·广东云浮·八年级校考期中）比较大小： ．（填“>”“