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2024桂林、来宾、北海高三下学期三模试题数学含解析
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这是一份2024桂林、来宾、北海高三下学期三模试题数学含解析，共13页。试卷主要包含了1）；等内容，欢迎下载使用。
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．18B．-18C．12D．-12
4．具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，，2，…，5），其经验回归方程为，则（ ）
A．40B．32C．8D．12.8
5．某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（ ）
A．45种B．90种C．180种D．270种
6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面ABC，，且，M为PA的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在△ABC中，，，，则（ ）
A．B．
C．△ABC的面积为D．△ABC外接圆的直径是
10．小明计划高考结束后，从广西自然生态类的3处景点、历史文化类的4处景点中随机选择一处开始旅游，要求所有景点全部游玩且不重复，记“第k站游玩自然生态类的景点”为事件，，2，…，7，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，已知圆锥PO的底面半径为，高为，AB为底面圆的直径，点C为底面圆周上的动点，则（ ）
A．当C为弧AB的三等分点时，△PAC的面积等于或
B．该圆锥可以放入表面积为的球内
C．边长为的正方体可以放入到该圆锥内
D．该圆锥可以放入边长为的正方体中
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为________．
13．在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美，若直线l与圆C相切，直线l在两坐标轴上的截距均为9，圆C的半径为9，点C到x轴的距离为9，则圆C的一个方程为________．
14．若对任意的恒成立，则k的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（本小题满分13分）
年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
（1）根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数（精确到0.1）；
（2）根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率．
参考数据：若，则，．
16．（本小题满分15分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．
17．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，三棱锥的体积为，点D为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线CD与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为60°的直线为，过且倾斜角为60℃的直线为，已知，之间的距离为．
（1）求C的方程；
（2）若过点的直线l与C的左、右两支分别交于M、N两点（点M、N不在x轴上），判断是否存在实数k使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若且有2个极值点，，求证：．
2024年高考第三次联合模拟考试·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
1．B
因为，，所以，故选B．
2．A
因为，所以，故选A．
3．C
，故选C．
4．A
，由点在回归直线上得，所以．
5．B
．
6．C
取PC的中点N，连接MN、BN，如图所示：
∵M、N分别为PA、PC的中点，则且，
∴异面直线BM与AC所成的角为∠BMN或其补角．
∵平面ABC，平面ABC，∴，，
∴，同理可得，∴，
∴，则．故选C．
7．D
由题意得，设，，由得，，，所以，由点A在x轴上方，，即，解得，故选D．
8．D
，当时，，若在上有最小值没有最大值，则，所以，故选D．
9．ABD
对于A，，故A正确；
对于B，由A选项知，由余弦定理得．故，故B正确；
对于C，由于在△ABC中，，故，所以，，故C错误；对于D，设△ABC外接圆半径为R，，故D正确．故选ABD．
10．AB
由题意可得，A正确；，，，故B正确；由于，C错误；，所以D错误．故选AB．
11．ABD
对于A，取AC的中点D，连接OD，PD，OC，则，，如图1，当C为弧AB的三等分点时，或，当时，，，，，所以△PAC的面积为，当时，，，，所以△PAC的面积为，故A正确；
对于B，因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为R，过点A的轴截面如图2，为外接球球心，则，解得，外接球的表面积为，，故B正确；
对于C，设放入圆锥内最大的正方体边长为a，沿着正方体对角面的轴截面如图3，因为圆锥的底面半径为，高为，所以，所以，所以，，因为，所以C不正确；
对于D，过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图4，此平面到顶点P的距离为体对角线的一半，即为，平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的内切圆的半径为，以该圆作为圆锥的底面，点P为顶点即可得到圆锥．故D正确．故选ABD．
图1 图2 图3 图4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2
把代入得，C的焦点为，．
13．（答案不唯一）
由题意可得直线l的方程为，设，由直线l与圆C相切，得，所以或，所以圆C的一个方程可以为．
14．
由得，即，设，则，设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，又时，所以，即，，，设，则，，，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．解：（1）根据频率分布直方图，可得，
，
所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是．……6分
（2）由，……9分
所以，
所以，
故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16．……13分
16．解：（1）因为，
当时可得，即，①，……2分
当时，②，……3分
由①-②得，，又也满足，……5分
所以．……6分
（2）因为，……7分
所以，……9分，……10分
两式相减得，，
即，则，
故．……12分
由，得，即，……13分
依题意，不等式恒成立，
因为随着n增大而减小，……14分
所以，即的取值范围为．……15分
17．（1）证明：在直三棱柱中，，
因为，，
所以平面，
因为平面，所以，……2分
由，得．……3分
在矩形中，，，
所以，
因为，所以，
所以，……5分
因为，所以平面ACD．
因为平面，
所以平面平面．……7分
（2）解：因为AB，AC，两两垂直，以点A为坐标原点，以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
所以，，．……9分
设平面的法向量为，则有，
得，
取，得，……12分
设直线CD与平面所成角为，
则，
所以直线CD与平面所成角的正弦值为．……15分
18．解：（1）设，
因为，之间的距离为，所以，，……2分
则，
所以C的方程为．……4分
（2）由（1）知，设直线l：，，，
联立方程组，消去x，得，
所以，……7分
因为，
所以，同理．……9分
因为直线l过点且与C的左、右两支分别交于M，N两点，
所以M，N两点在x轴同侧，∴，此时，即．
所以
，……14分
所以．
所以存在，使得．……17分
19．解：（1）的定义域为，
由题可得，……1分
设，则在上单调递增，且，……2分
若，则，时，，单调递减，时，，单调递增；……3分
若，则时，，单调递减，或时，，单调递增；……4分
若，则，在上单调递增；……5分
若，则时，，单调递减，或时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增．……6分
（2）由（1）知时，恒有2个极值点，，且，，
所以，……8分
设，则，
设，则，
在上单调递减，，
所以在上单调递减，……12分
又，，
所以存在，使得，即，……13分
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以
，
所以．……17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
A
B
C
D
D
题号
9
10
11
答案
ABD
AB
ABD
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．18B．-18C．12D．-12
4．具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，，2，…，5），其经验回归方程为，则（ ）
A．40B．32C．8D．12.8
5．某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（ ）
A．45种B．90种C．180种D．270种
6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面ABC，，且，M为PA的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在△ABC中，，，，则（ ）
A．B．
C．△ABC的面积为D．△ABC外接圆的直径是
10．小明计划高考结束后，从广西自然生态类的3处景点、历史文化类的4处景点中随机选择一处开始旅游，要求所有景点全部游玩且不重复，记“第k站游玩自然生态类的景点”为事件，，2，…，7，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，已知圆锥PO的底面半径为，高为，AB为底面圆的直径，点C为底面圆周上的动点，则（ ）
A．当C为弧AB的三等分点时，△PAC的面积等于或
B．该圆锥可以放入表面积为的球内
C．边长为的正方体可以放入到该圆锥内
D．该圆锥可以放入边长为的正方体中
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为________．
13．在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美，若直线l与圆C相切，直线l在两坐标轴上的截距均为9，圆C的半径为9，点C到x轴的距离为9，则圆C的一个方程为________．
14．若对任意的恒成立，则k的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（本小题满分13分）
年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
（1）根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数（精确到0.1）；
（2）根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率．
参考数据：若，则，．
16．（本小题满分15分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．
17．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，三棱锥的体积为，点D为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线CD与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为60°的直线为，过且倾斜角为60℃的直线为，已知，之间的距离为．
（1）求C的方程；
（2）若过点的直线l与C的左、右两支分别交于M、N两点（点M、N不在x轴上），判断是否存在实数k使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若且有2个极值点，，求证：．
2024年高考第三次联合模拟考试·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
1．B
因为，，所以，故选B．
2．A
因为，所以，故选A．
3．C
，故选C．
4．A
，由点在回归直线上得，所以．
5．B
．
6．C
取PC的中点N，连接MN、BN，如图所示：
∵M、N分别为PA、PC的中点，则且，
∴异面直线BM与AC所成的角为∠BMN或其补角．
∵平面ABC，平面ABC，∴，，
∴，同理可得，∴，
∴，则．故选C．
7．D
由题意得，设，，由得，，，所以，由点A在x轴上方，，即，解得，故选D．
8．D
，当时，，若在上有最小值没有最大值，则，所以，故选D．
9．ABD
对于A，，故A正确；
对于B，由A选项知，由余弦定理得．故，故B正确；
对于C，由于在△ABC中，，故，所以，，故C错误；对于D，设△ABC外接圆半径为R，，故D正确．故选ABD．
10．AB
由题意可得，A正确；，，，故B正确；由于，C错误；，所以D错误．故选AB．
11．ABD
对于A，取AC的中点D，连接OD，PD，OC，则，，如图1，当C为弧AB的三等分点时，或，当时，，，，，所以△PAC的面积为，当时，，，，所以△PAC的面积为，故A正确；
对于B，因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为R，过点A的轴截面如图2，为外接球球心，则，解得，外接球的表面积为，，故B正确；
对于C，设放入圆锥内最大的正方体边长为a，沿着正方体对角面的轴截面如图3，因为圆锥的底面半径为，高为，所以，所以，所以，，因为，所以C不正确；
对于D，过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图4，此平面到顶点P的距离为体对角线的一半，即为，平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的内切圆的半径为，以该圆作为圆锥的底面，点P为顶点即可得到圆锥．故D正确．故选ABD．
图1 图2 图3 图4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2
把代入得，C的焦点为，．
13．（答案不唯一）
由题意可得直线l的方程为，设，由直线l与圆C相切，得，所以或，所以圆C的一个方程可以为．
14．
由得，即，设，则，设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，又时，所以，即，，，设，则，，，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．解：（1）根据频率分布直方图，可得，
，
所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是．……6分
（2）由，……9分
所以，
所以，
故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16．……13分
16．解：（1）因为，
当时可得，即，①，……2分
当时，②，……3分
由①-②得，，又也满足，……5分
所以．……6分
（2）因为，……7分
所以，……9分，……10分
两式相减得，，
即，则，
故．……12分
由，得，即，……13分
依题意，不等式恒成立，
因为随着n增大而减小，……14分
所以，即的取值范围为．……15分
17．（1）证明：在直三棱柱中，，
因为，，
所以平面，
因为平面，所以，……2分
由，得．……3分
在矩形中，，，
所以，
因为，所以，
所以，……5分
因为，所以平面ACD．
因为平面，
所以平面平面．……7分
（2）解：因为AB，AC，两两垂直，以点A为坐标原点，以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
所以，，．……9分
设平面的法向量为，则有，
得，
取，得，……12分
设直线CD与平面所成角为，
则，
所以直线CD与平面所成角的正弦值为．……15分
18．解：（1）设，
因为，之间的距离为，所以，，……2分
则，
所以C的方程为．……4分
（2）由（1）知，设直线l：，，，
联立方程组，消去x，得，
所以，……7分
因为，
所以，同理．……9分
因为直线l过点且与C的左、右两支分别交于M，N两点，
所以M，N两点在x轴同侧，∴，此时，即．
所以
，……14分
所以．
所以存在，使得．……17分
19．解：（1）的定义域为，
由题可得，……1分
设，则在上单调递增，且，……2分
若，则，时，，单调递减，时，，单调递增；……3分
若，则时，，单调递减，或时，，单调递增；……4分
若，则，在上单调递增；……5分
若，则时，，单调递减，或时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增．……6分
（2）由（1）知时，恒有2个极值点，，且，，
所以，……8分
设，则，
设，则，
在上单调递减，，
所以在上单调递减，……12分
又，，
所以存在，使得，即，……13分
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以
，
所以．……17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
A
B
C
D
D
题号
9
10
11
答案
ABD
AB
ABD
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