14，2024年河南省中考模拟预测数学试卷

这是一份14，2024年河南省中考模拟预测数学试卷，共30页。
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 2023的相反数是（ ）
A. 2023B. C. D. －2023
2. 如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 2022年河南省凭借6.13万亿元的经济总量占据全国各省份第五位，占全国的，将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线，点B，C分别在直线和上，则下列结论不一定成立的是（ ）

B. C. D.
6. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，书中有一个数学问题：今有数人共同买琎（一种像玉的美石），每人出两钱，多出4两钱；每人出两钱，少3两钱，问人数、琎的价格分别是多少？若设人数为x人，根据题意，可以列出方程（ ）
B. C. D. 该试卷源自 每日更新，享更低价下载。7. 已知抛物线（为常数）与轴交于点，点，为抛物线上的两点，则下列说法不正确的是（ ）
A. 有最小值为B. 线段的长为
C. 当时，随的增大而减小D.
8. 如图，已知点在反比例函数的图像上，过点作轴，垂足为，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的图像上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图1，已知扇形，点P从点O出发，沿以的速度运动，设点P的运动时间为，，y随x变化的图象如图2所示，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（ ）
A. 24cmB. 25cmC. 25.5cmD. 26cm
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 _____．
12. 不等式组最小整数解是______．
13. 如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则灯泡发光的概率为______．
如图，在矩形中，，以为直径的圆恰好与相切于点F，将点F绕点C逆时针旋转，其旋转路径与交于点E．图中阴影部分的面积为______．

15. 如图，15. 如图，在中，，，∠B=90°，正方形的边长为1，将正方形绕点C旋转一周，点G为的中点，连接，则线段的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8个小题，满分70分）
16（8分）.计算：．化简：．
17（8分）. 郑州是一座将少林文化、黄帝文化、商都文化、黄河文化融为一体“中原绿城”，域内留存了丰富的文化遗产．为弘扬郑州地域文化，某校七、八年级开展了“知郑州 爱郑州 兴郑州”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各名学生的成绩（百分制），学生的成绩用来表示，分四个等级：，，，，并绘制了如下统计图表．
信息1：抽样调查的名八年级学生成绩的频数直方图为：
信息2：抽样调查的名八年级学生的成绩在组中的数据是：
信息3：七、八年级抽取的学生竞赛成绩相关统计结果
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ___________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对郑州地域文化知识掌握较好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）两个年级成绩在分以上名同学中有男生名，女生名，学校准备从中任意抽取名同学交流活动感受，求抽取的名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
18（9分）. 如图，的边在x轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点，D是边的中点．
（1）求反比例函数的解析式及点D的坐标．
（2）尺规作图：过点D作的平行线，交的边于点M，交反比例函数的图象于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（2）条件下，连接，求的面积．
19（9分）. 一天小明和小亮一起到湖边游玩，他们发现小湖对岸有一座美丽的古塔，为了测量塔的高度，他们选择了一座建筑物（建筑物的底部D与古塔的底部F在同一水平线上），在建筑物顶端C处测得古塔顶端A的仰角为，测得塔顶A在水中的倒影点B的俯角为，已知建筑物的高度为，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）

20（9分）. 如图①，中国古代马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接、．

（1）宛宛猜想，宛宛猜想正确吗？请说明理由；
（2）若，米，求车轮的直径的长．
21（9分）. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
22（9分）. 如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，抛物线的顶点为C，点B关于对称轴直线的对称点为点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当时，求函数值y的取值范围；
（3）将抛物线在点D下方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值.
23（9分）. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平；根据以上操作，直接写出图1中的度数：______；
（2）拓展应用
小华在以上操作基础上，继续探究，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由；
（3）迁移探究
如图3，已知正方形的边长为6cm，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题
1. 2023的相反数是（ ）
A. 2023B. C. D. －2023
【答案】D
【解析】
【分析】利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断．
【详解】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2. 如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：这个几何体的左视图为，
故选： A．
【点睛】本题考查简单几何体三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3. 2022年河南省凭借6.13万亿元的经济总量占据全国各省份第五位，占全国的，将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为．
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，直线，点B，C分别在直线和上，则下列结论不一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质即可判断．
【详解】解：∵直线，
∴，，，
只有当时，，
故选项A、B、D说法正确，但不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，原计算不正确，不符合题意；
D. ，原计算不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的运算和合并同类项，解题关键是熟练掌握幂的运算法则和同类项定义．
6. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，书中有一个数学问题：今有数人共同买琎（一种像玉的美石），每人出两钱，多出4两钱；每人出两钱，少3两钱，问人数、琎的价格分别是多少？若设人数为x人，根据题意，可以列出方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设人数为x人，根据题意列出一元一次方程即可．
【详解】解：设人数为x人，根据题意得，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
7. 已知抛物线（为常数）与轴交于点，点，为抛物线上的两点，则下列说法不正确的是（ ）
A. 有最小值为B. 线段的长为
C. 当时，随的增大而减小D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式可得图像开口向上，函数有最小值，函数的对称轴为，再根据函数与轴的交点，可求交点间的线段长度，根据对称性，增减性确定函数值的大小，由此即可求解．
【详解】解：已知抛物线（为常数），则，
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为，
当时，抛物线，
令，则，解得，，
∴，，
∴选项，有最小值为，故选项错误，符合题意；
选项，，，即，故选项正确，不符合题意；
选项，∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，对称轴左边的图像，随的增大而减小，故选项正确，不符合题意；
选项，∵抛物线的对称轴为，
∴与的值相等，且抛物线在对称轴左边随的增大而减小，，
∴，故选项正确，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，理解并掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
8. 如图，已知点在反比例函数的图像上，过点作轴，垂足为，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的图像上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把点在反比例函数即可求出的长，根据翻折的性质，可求出的坐标，再运用待定系数法即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，即，，
∴，，
∵将沿翻折，
∴，即，，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，翻折的性质，直角三角形的勾股定求边长，图形与坐标等知识是解题的关键．
9. 如图1，已知扇形，点P从点O出发，沿以的速度运动，设点P的运动时间为，，y随x变化的图象如图2所示，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据图象确定弧长和半径，然后再利用弧长公式求扇形圆心角，最后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：由图象可知：点P从点B运动到点O的时间为，
∴，即扇形的半径为，
由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为，
∴的长为，即弧长为，
设扇形的圆心角为，根据弧长公式可得：，
解得，
由扇形的面积公式可得：扇形的面积为．
故选D．
【点睛】本题属于动点函数图象问题，主要考查了扇形的弧长、扇形的面积公式等知识点，根据图象确定扇形的半径和弧长是解答本题的关键．
10. 物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（ ）
A. 24cmB. 25cmC. 25.5cmD. 26cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得：拉力每增加1N， 弹簧的长度增加2cm，弹簧的长度与受到的拉力之间是一次函数的关系，利用待定系数解答，即可求解．
【详解】解：根据题意得：拉力每增加1N， 弹簧的长度增加2cm，
设弹簧的长度为y，受到的拉力为x，
则，
当时，，
即拉力为7.5N，则弹簧长度为25cm．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意得到弹簧的长度与受到的拉力之间是一次函数的关系是解题的关键．
二、填空题
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12. 不等式组的最小整数解是______．
【答案】2
【解析】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，确定不等式组的解集，再确定最小整数解即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的最小整数解为：2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解问题，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题的关键．
13. 如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则灯泡发光的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：随机闭合开关、、中的两个出现的情况列表得：
共三种等可能结果，其中符合题意的有两种
所以能让灯泡发光的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
14. 如图，在矩形中，，以为直径的圆恰好与相切于点F，将点F绕点C逆时针旋转，其旋转路径与交于点E．图中阴影部分的面积为______．

【答案】2
【解析】
【分析】如图，记圆心为，连接，，证明四边形，四边形是正方形，可得，，，，，，，可得，再利用面积差可得答案．
【详解】解：如图，记圆心为，连接，，

∵以为直径的圆恰好与相切于点F，矩形，
∴，
∴四边形，四边形是矩形，而，
∴四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故答案：2
【点睛】本题考查的是矩形的性质与判定，正方形的判定与性质，切线的性质，扇形面积的计算，弓形面积的计算，理解题意，熟记扇形面积公式是解本题的关键．
15. 如图，在中，，，，正方形的边长为1，将正方形绕点C旋转一周，点G为的中点，连接，则线段的取值范围是______．

【答案】
【解析】
【分析】如图所示，连接，先根据正方形的性质和勾股定理求出，再根据题意可知点G在以点C为圆心，半径为的圆上运动，故当点G在线段上时，最小，此时点G与点重合，当点C在线段上时，最大，此时点G与重合，利用勾股定理求出，则，即可得到．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是边长为1的正方形，点G为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴在正方形绕点C旋转一周的过程中，点G在以点C为圆心，半径为的圆上运动，
∴当点G在线段上时，最小，此时点G与点重合，当点C在线段上时，最大，此时点G与重合，在中，，，∠B=90°，
∴，
∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，正方形的性质，勾股定理，正确确定点G的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题
16. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先将立方根和0次幂化简，再进行计算即可；
（2）先将各项分子分母进行因式分解，再按照分式混合运算的运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算以及分式的化简，解题的关键是掌握实数的混合运算以及分式混合运算的运算法则和运算顺序．
17. 郑州是一座将少林文化、黄帝文化、商都文化、黄河文化融为一体的“中原绿城”，域内留存了丰富的文化遗产．为弘扬郑州地域文化，某校七、八年级开展了“知郑州 爱郑州 兴郑州”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各名学生的成绩（百分制），学生的成绩用来表示，分四个等级：，，，，并绘制了如下统计图表．
信息1：抽样调查的名八年级学生成绩的频数直方图为：
信息2：抽样调查的名八年级学生的成绩在组中的数据是：
信息3：七、八年级抽取学生竞赛成绩相关统计结果
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ___________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对郑州地域文化知识掌握较好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）两个年级成绩在分以上的名同学中有男生名，女生名，学校准备从中任意抽取名同学交流活动感受，求抽取的名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）
（2）见解析 （3），列表见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数的概念，计算方法即可求解；
（2）根据平均数，中位数，众数，方差表示的意义进行阐述即可；
（3）运用列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：八年级有名同学，中位数落在第位同学的分数上，在组，将组的数据排序如下，
，
∴中位数是，即，
故答案为：．
【小问2详解】
解：我认为八年级学生对郑州地域文化知识掌握较好．因为八年级学生竞赛成绩的平均数比七年级的高，而且方差比七年级的小．（答案不唯一，只要合理即可）
【小问3详解】
解：将3名男生分别记为男1，男2，男3，3名女生分别记为女1，女2，女3，然后列表如下：
总共有种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有种，所以，一名男生一名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查调查统计中相关概念，列表法或树状图法求概率的综合，掌握平均数、中位数，众数、方差的概念，计算及意义，概率的计算方法等知识是解题的关键．
18. 如图，的边在x轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点，D是边的中点．
（1）求反比例函数的解析式及点D的坐标．
（2）尺规作图：过点D作的平行线，交的边于点M，交反比例函数的图象于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（2）的条件下，连接，求的面积．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）3
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式，平行四边形的性质求出点的坐标，中点坐标公式，求出点的坐标；
（2）作线段的垂直平分线交于点M，作直线，直线即为所求，且交反比例函数图象于点．
（3）先求出的坐标，利用进行求解即可．
【小问1详解】
解：把点代入得．
∴反比例函数的解析式为．
∵的边在x轴正半轴上，点C的坐标为，
∴，轴．
又∵，
∴．
∵D是边的中点，
∴．
【小问2详解】
解：作线段垂直平分线交于点M，作直线，直线即为所求，且交反比例函数图象于点，如图所示：
∵的边在x轴正半轴上，为的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
【小问3详解】
∵点，点为的中点，
∴点，
∴点的纵坐标为2，
把代入，得．
∴点．
∴．
∴．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，用待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的性质，尺规作图，三角形的面积公式．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
19. 一天小明和小亮一起到湖边游玩，他们发现小湖对岸有一座美丽的古塔，为了测量塔的高度，他们选择了一座建筑物（建筑物的底部D与古塔的底部F在同一水平线上），在建筑物顶端C处测得古塔顶端A的仰角为，测得塔顶A在水中的倒影点B的俯角为，已知建筑物的高度为，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）

【答案】古塔的高度约为69米．
【解析】
【分析】作于G，设古塔的高度为x．在和中，利用正切函数建立方程即可求解．
【详解】解：作于G，则四边形是矩形，
设古塔的高度为x．
由题意得，，，

在中，，
在中，，
∴，
解得，
古塔的高度约为69米．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．
20. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接、．

（1）宛宛猜想，宛宛的猜想正确吗？请说明理由；
（2）若，米，求车轮的直径的长．
【答案】（1）宛宛的猜想正确，见解析 （2）1米
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，，进而证明出结论；
（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【小问1详解】
解：宛宛的猜想正确，理由如下：
如图，连接，∵与相切，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，∴；

【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，即，解得：，．
答：车轮的直径的长1米．
【点睛】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
21. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元
（2）45副 （3）购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元
【解析】
【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；
（3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
【小问1详解】
解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
【小问2详解】
设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得，
解得，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
【小问3详解】
设总利润为w元，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
22. 如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，抛物线的顶点为C，点B关于对称轴直线的对称点为点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当时，求函数值y的取值范围；
（3）将抛物线在点D下方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把对称轴直线和代入即可；
（2）对称轴直线在中，考虑最大值在对称轴直线中取得，再把和分别代入计算，最后比较大小即可得出y的取值范围；
（3）在时，二次函数是无线延长的，与在情况下的必然存在一个公共点，那么只需要考虑①当直线过点D时和②当直线与抛物线相切两种情况进行讨论即可．
【小问1详解】
将代入中得，
∵对称轴，即，∴，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
当时，，
当时，，
因为对称轴直线在中，考虑最大值在对称轴直线，
当时，，
∴当时，y的取值范围为；
【小问3详解】
①当直线过点D时：
∵B，D两点关于对称轴直线对称，，
∴点D的坐标为.
将点代入直线中得，
∴；
②当直线与抛物线相切时，
令，即，
当，解得；
综上：或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合内容等，注意数形结合思想以及分类讨论思想的运用，正确得到二次函数解析式是解题的前提．
23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平；
根据以上操作，直接写出图1中的度数：______；
（2）拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由；
（3）迁移探究
如图3，已知正方形的边长为6cm，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）是等边三角形，见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据翻折可得：， 得到，即可求解；
（2）先证明，得到，再根据平行证明，即可求解；
（3）分两种情况讨论：或．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
由翻折性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
由翻折性质可得：，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：是等边三角形；
由题意可得：∠B=90°，
由翻折性质可得：，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【小问3详解】
解：①连接，如图所示，

∵正方形的边长为6cm，点H是边的三等分点，
∴，，，
由翻折性质可得：，，，
∴，，
∵，∴，
∴设，则，
由勾股定理得：，
解得： ，即；
②如图所示，
∵正方形的边长为6cm，点H是边的三等分点，
∴，，，
由翻折性质可得：，，，
∴，，
∵，
∴，
∴设，则，
由勾股定理得：，
解得： ，
即；
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到正方形的性质和翻折的性质、全等三角形的判定和性质，难度较大，正确理解题意和灵活运用所学的知识是解题的关键．拉力/N
0
1
2
3
4
5
6
弹簧长度/cm
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
20.0
22.0
年级
七年级
八年级
平均数
中位数
众数
方差
拉力/N
0
1
2
3
4
5
6
弹簧长度/cm
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
20.0
22.0
开关
结果
不亮
亮
亮
年级
七年级
八年级
平均数
中位数
众数
方差
一
二
男
男
男
女
女
女
男
男
男
女
女
女