广东省珠海市六校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省珠海市六校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了 在数列中，若，，则， 已知函数，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字造的钢笔或签字笔将自已的址名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用B铅笔将时应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答寒无效.
2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位里上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 设为等差数列前项和，已知，则的值为（ ）
A. 5B. 7C. 9D. 10
3. 在数列中，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
4. 函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减B. 函数在区间上单调递增
C. 为函数的极小值点D. 为函数的极大值点
5. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列前n项和为，若，则（ ）
A. －36或36B. －36C. 36D. 18
6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A. B. C. 2D.
7. 已知函数，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（ ）
A. B. 50C. 49D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 可能是奇函数B. 在区间上单调递减
C. 当的极大值为17时，D. 当时，函数的值域是
10. 已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A. B. 数列的通项公式为：
C. 数列的前n项和为：D. 数列为递减数列
11. 已知函数的导函数为，则（ ）
A. 若奇函数，则为偶函数B. 若，则为奇函数
C. 若的最小值为0，则D. 若为偶函数，则为奇函数
12. （多选）已知n∈N*，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则该数列的通项公式为an＝2n＋1
B. 设Tn 是数列{an}的前n项的乘积，且Tn＝n2，则该数列的通项公式an＝
C. 数列2，5，11，20，x，47，…中的x可以等于32
D. 若Sn是等比数列{an}的前n项和，则S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列
三､填空题
13. 在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d=_______．
14. 函数导函数为，满足关系式，则的值为_______．
15. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为________.
16. 定义在上的偶函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
18. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前21项和.
19. 记为数列前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
20. 某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）

（1）求函数的解析式；
（2）在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由．
21. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．2023-2024学年第二学期高二年级期中学业质量监测试题
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字造的钢笔或签字笔将自已的址名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用B铅笔将时应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答寒无效.
2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位里上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据常用函数的求导公式和复合函数的求导法则即可判断.
【详解】对A，，正确；
对B，，错误；
对C，，错误；
对D，，错误.
故选：A.
2. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A. 5B. 7C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式，求出和，然后利用通项公式即可求出.
【详解】设在等差数列的公差为，，
解得，故，
故选B．
3. 在数列中，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得.
【详解】在数列中，由，，得，，，
因此数列周期性数列，周期为3，
所以.
故选：A
4. 函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减B. 函数在区间上单调递增
C. 为函数的极小值点D. 为函数的极大值点
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数图象确定原函数的单调性，逐项分析即可求得结论．
【详解】由图象知，不妨设导函数与x轴负半轴的交点横坐标为，
当或时，，当或时，，
故函数在单调递减，在单调递增，
故为极小值点，2为极大值点，对照选项，故A,B,C错误,D正确.
故选：D．
5. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. －36或36B. －36C. 36D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可.
【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，
则，则，
则，
则，
故选：C.
6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解.
【详解】∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
7. 已知函数，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
【详解】作出函数的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
8. 函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（ ）
A. B. 50C. 49D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解.
【详解】由，，
，，
依此类推，，
所以.
故选：A
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 可能是奇函数B. 在区间上单调递减
C. 当的极大值为17时，D. 当时，函数的值域是
【答案】ABC
【解析】
【分析】由奇函数的定义可判断A，利用导数求出函数的单调性可判断BCD.
【详解】因对，，显然当时，为奇函数，即A正确；
因为，则函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；
由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，所以，故C正确；
由B可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，所以无最大值，无最小值，故D错误.
故选:ABC.
10. 已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A. B. 数列的通项公式为：
C. 数列的前n项和为：D. 数列为递减数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选:ACD.
11. 已知函数的导函数为，则（ ）
A. 若为奇函数，则为偶函数B. 若，则为奇函数
C. 若的最小值为0，则D. 若为偶函数，则为奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导函数的性质和函数奇偶性进行逐项判断.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：若为奇函数，，则，故，又， 是偶函数，故A正确；
对于选项B：若，又，则，故，，当时，，是奇函数，当时，，不是奇函数，所以不一定是奇函数，故B错误；
对于选项C：若的最小值为0，，，则，故C正确；
对于选项D：若为偶函数，，，，解得，故，，所以为奇函数，故D正确.
故选：ACD
12. （多选）已知n∈N*，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则该数列的通项公式为an＝2n＋1
B. 设Tn 是数列{an}的前n项的乘积，且Tn＝n2，则该数列的通项公式an＝
C. 数列2，5，11，20，x，47，…中的x可以等于32
D. 若Sn是等比数列{an}的前n项和，则S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列
【答案】BC
【解析】
【详解】解析：A选项的结果为an＝所以A选项不正确；B选项用退位作商法an＝C选项满足n≥2时，an－an－1＝3（n－1），然后用累加法得结果；D选项，首项为1，公比为－1的等比数列就不满足，所以D选项不正确．故选BC.
三､填空题
13. 在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d=_______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用等差数列通项公式基本量计算和等比中项的性质得到方程，求出公差，检验后得到答案.
【详解】等差数列中，，公差为d，且成等比数列，
可得，
即为，化为，解得或，
若，即有4，6，9成等比数列，满足要求；
若，即有1，0，0不成等比数列．则成立．
故答案为：2
14. 函数的导函数为，满足关系式，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】对函数进行求导，代入计算即可.
【详解】由进行求导得：，
可得：，解得．
故答案为：
15. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为________.
【答案】240
【解析】
【分析】根据数列的通项公式，采用并项求和的方法，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
故数列的前30项和为
，
故答案为：240
16. 定义在上的偶函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件证明为周期函数，结合条件及函数的奇偶性可求得，因为不等式可化为，故考虑构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】因为，
所以
所以，
所以函数为周期函数，周期为4，
因为，
所以，
因为是定义在上的偶函数，
所以.
不等式，可化为，
令，
则，又，
所以，即在上单调递减，
因为，
，
不等式的解集为；
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，
具体步骤是：（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数的奇偶性在化简过程中的差异.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）；
（2）最大值为4，,最小值为0.
【解析】
【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.
【小问1详解】
，由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
18. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前21项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式；
（2）由，应用等差数列前n项和公式求和即可.
【小问1详解】
设公差为，由题设有，解得，，
所以.
【小问2详解】
由题设，
.
所以数列的前21项和为211.
19. 记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【小问1详解】
因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
【小问2详解】
[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
20. 某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）

（1）求函数的解析式；
（2）在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，（百米）．
【解析】
【分析】（1）根据函数图象即可得出解析式；
（2）写出面积表达式，利用导数求函数单调性，即可得出点的位置.
【小问1详解】
由题意，因为在曲线上，即，，
所以，．
又因为，，所以线段方程为，
所以，．
所以函数的解析式为：．
【小问2详解】
由题意及（1）得，
在中，
设点坐标为，则．
又，，点坐标为，
所以直角梯形的面积，
即，
所以．
令，解得．
当时，；
当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以时，函数取得最大值．
故在线段上存在点，使体育馆平面图形面积最大，且到距离（百米）．
21. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【小问1详解】
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
【小问2详解】

∴
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【小问1详解】
因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.