2024年甘肃省武威市凉州区凉州区金塔中学联片教研三模数学试题

这是一份2024年甘肃省武威市凉州区凉州区金塔中学联片教研三模数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共30分)
1．（3分）据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为（ ）
A．4.57×106B．45.7×106C．4.57×107D．0.457×107
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．6a-5a=1B．3a2+2a3=5a5C．a6⋅a2=a8D．(a2)3=a5
3．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2=（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
4．（3分）计算 xa+1⋅a2-12x 的结果正确的是（ ）
A．a-12B．a+12C．a-12xD．a+12a+2
5．（3分）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，双曲线y=kx与直线y=2x相交于A、B两点，点A坐标为(1，2)，则点B坐标为（ ）

A．(-1，-2)B．(1，2)C．(-1，2)D．(1，-2)
7．（3分）如图， AB 是 ⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D， 且 AB=6cm， OD=4cm. 则 DC 的长为（ ）.
A．5cmB．2.5cmC．2cmD．1cm
8．（3分）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数值： tan37°≈34 ， tan53°≈43 ）
A．7.6米B．7.8米C．8.6米D．8.8米
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（ ）
A．3B．10C．4D．23
10．（3分）如图，点A，B在反比例函数 y=1x(x>0) 的图象上，点C，D在反比例函数 y=kx(k>0) 的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为 32 ，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．32
二、填空题(共24分)
11．（3分）﹣5的相反数是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（-1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是 ．
13．（3分）如图，若△ABD≌△ACE，且∠1=45°，∠ADB=95°，则∠B= °.
14．（3分）分解因式：2x2﹣8=
15．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，Rt△EOF中，∠EOF=90°，将Rt△EOF绕点O旋转（边EF在正方形ABCD外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在Rt△EOF与正方形ABCD重叠部分的概率为 ．
17．（3分）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA=6cm，则△PDE的周长是 cm．
18．（3分） 如图，E是平行四边形ABCD边BC的延长线上一点，BC=2CE，则CF:DF= ．
三、计算题(共8分)
19．（8分）
（1）（4分）计算：38-|1-22|+4cs45°+(π-2022)0；
（2）（4分）解一元二次方程：6x2+19x+10=0.
四、作图题(共6分)
20．（6分）如图，已知ΔABC中，D为AB的中点．
（1）（3分）请用尺规作边AC的垂直平分线，交AC于点E，交BC于点F，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）（3分）在（1）的条件下，若ΔADE的周长为3，求ΔABC的周长．
五、解答题(共52分)
21．（6分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.
22．（6分）如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝3，CD＝5，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求EF的长.
23．（6分）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AH和过点C的切线互相垂直，垂足为H，AH交⊙O于点D．
（1）（3分）求证：AC平分∠HAB；
（2）（3分）若HC=8，DH=4，求⊙O的直径．
24．（8分）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为BC边上任意一点（与B、C不重合），以BD为直角边构造等腰直角三角形BDE，F为AD的中点．
（1）（4分）如图2，将△BDE绕点B旋转，当点E与F重合时，求证：∠BAE+∠BCD=45°；
（2）（4分）如图3，将△BDE绕点B旋转，当点F在BE上且AB=AD时，求证：2CD=BE．
25．（8分）凉州区各义务教育学校按照“一校一案”的要求，每学期坚持以校内教师提供项目为主，按需求从区级“白名单”二次遴选非学科校外培训机构和团体提供相关项目进入学校，拓宽课后服务渠道，满足学生兴趣特长发展需求．甲、乙两名同学准备报名参加学校课后服务活动，各自随机选择篮球、舞蹈、书法三种中的一种，记篮球为A，舞蹈为B，书法为C．假设这两名同学选择参加哪种课后服务活动不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y．
（1）（4分）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
（2）（4分）求甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率P．
26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，延长AB至点D，使得∠DCB＝∠CAB，点E为AB的中点，连接CE交AB于点F，连接BE．
（1）（4分）求证：DC为⊙O的切线；
（2）（4分）若CD＝4，tan∠CEB＝12，求CF•CE．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于点A、B（A左B右），与y轴交于点C，直线y=-x+4经过点B、C.
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）（3分）如图2，点P为第一象限内抛物线上一点，连接PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）（4分）在（2）的条件下，如图3，AP交y轴于点D，AD=DP，点F为x轴上点B右侧一点，∠PAB-∠BPF=45∘，将线段AB绕着点A逆时针旋转至AE，AE∥PF，连接OE交抛物线于点H，求点H的坐标.
答案
1-5 ACBAC 6-10 ADCBB
11．5 12．（2，2） 13．50 14．2（x+2）（x﹣2）
15．1.5 16．14 17．12 18．1:2
19．（1）4 （2）x1=-23，x2=-52.
20．（1）如图所示：EF,DE即为所求；
（2）∵EF是AC的垂直平分线，
∴E为AC的中点，
∵D为AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC,DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴CΔADE=12CΔABC，
∵CΔADE=3，
∴CΔABC=6，
21．∵点E，F在BC上，BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；
在△ABF和△DCE中，
∠A=∠D∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）.
22．∵平行四边形ABCD
∴AB // CD，AD = BC
∵ AF ，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线
∴∠DAF=∠FAB，∠CBE=∠EBA
∵AB∥CD
∴∠DFA=∠FAB，∠CEB=∠EBA
∴∠DAF=∠DFA，∠CEB=∠CBE
∴DF=AD=3，CE=BC=3
∴EF=DF+CE-CD=1
23．（1）连接OC
∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH，
∵AH⊥CH，∴OC//AH，
∴∠HAC=∠OCA．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，
∴∠HAC=∠OAC
∴AC平分∠HAB
（2）过点O作OE⊥AD于点E，
∵OE⊥AD，OCIHC，AH⊥HC，∴∠OEH-∠OCH=∠EHC-90∘，
∴四边形EOCH是矩形，∴OF-CH=8，EH=OC=OA，
∵OE⊥AD，∴AE=ED=EH-DH-OA-4
在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2，∴OA2=(OA-4)2+82，
解得04=10，∴AB=20A-20，∴圆O的直径是20．
24．（1）如图2中，
∵△BDE是等腰直角三角形，△BDE绕点B旋转，当点E与F重合，
∴△BFD是等腰直角三角形，∴∠DBF=∠BFD=45°，BD=DF，
∵F为AD的中点，∴AF=DF，∴BD=AF，
∵∠ABC=90°，∴∠ABF+∠DBC=∠ABF+∠BAF=45°，∴∠BAF=∠DBC，
∵AB=BC，∴△ABF≌△BCD（SAS），
∴∠ABF=∠BCD，∴∠BAE+∠BCD=45°；
（2）如图3中，作AN⊥BM于N交BE于G，CM⊥BD于M．
由（1）可知△CBM≌△BAN，∴BN=CM，AN=BM，
∵AB=AD，AN⊥BD，∴BN=DN，
∵ED⊥BD，∴AN∥DE，
∴∠GAF=∠FDE，BG=GE，∴DE=2GN，
在△AGF和△DEF中，∠GAF=∠FDE，∠AFG=∠DFE，AF=DF，
∴△AGF≌△DEF（AAS），∴AG=DE=BD，∴AN=3BN，BM=3CM，
∵BN=DN，∴DM=CM，∴△CDM是等腰直角三角形，∴CD=2CM
∵CM=BN=12BD，∴CD=22BD，
∵BE=2BD，∴BE=2CD．
25．（1）方法一，列表如下：
∴(x，y)所有可能出现的结果为：(A，A)，(B，A)，(C，A)，(A，B)，(B，B)，(C，B)，(A，C)，(B，C)，(C，C)，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：(x，y)所有可能出现的结果共有9种．
方法二，画树状图如图：
∴(x，y)所有可能出现的结果为：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：(x，y)所有可能出现的结果共有9种．
（2）由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等．其中甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的结果有3种：(A，A)，(B，B)，(C，C)，故P=39=13．
答：甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率P为13．
26．（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）∵∠DAC＝∠DCB，∠D＝∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴BDCD＝CDAD＝BCCA＝tan∠A＝tan∠CEB＝12，
∵CD＝4，
∴BD＝12CD＝2，AD＝2CD＝8，
∴AB＝AD﹣BD＝6，
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2BC，
∵AC2+CB2＝AB2，
即 （2CB）2+CB2＝62，
∴BC＝655，AC＝1255，
∵点E为 AB 的中点，
∴∠ACF＝∠ECB，
又∵∠CAF＝∠CEB，
∴△ACF∽△ECB，
∴ACEC=CFCB，
∴CE•CF＝AC•CB
＝1255×655
＝725．
27．（1）∵直线y=-x+4经过点B、C
∴当x=0时，y=4，∴C(0，4)
当y=0时，-x+4=0，∴x=4
∴B(4，0)
把B(4，0)，C(0，4)代入y=ax2+3x+c得
16a+12+c=0c=4，解得a=-1c=4
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4
（2）解：∵P在抛物线y=-x2+3x+4上，点P的横坐标为t
∴P(t，-t2+3t+4)
过点P作PK⊥AB于K
∴PK=-t2+3t+4
当y=0时，-x2+3x+4=0
解得x1=-1，x2=4
∴A(-1，0)，
∴AB=5，
∴s=12AB⋅PK
∴s=-52t2+152t+10
（3）解：过点P作PQ⊥y轴于点Q
∴∠PQD=∠AOD=90°
∵∠ADO=∠PDO，AD=PD
∴△PDQ≌△ADO
∴AO=PQ
由（2）得∵A(-1，0)
∴PQ=AO=1
∴PK=6
∴AK=2，BK=3
由勾股定理得，AP=AK2+PK2=210，PB=BK2+PK2=35
过点A作AG⊥PB于点G
由双勾股得，AP2-PG2=AB2-BG2
即(210)2-PG2=52-(35-PG)2，解得PG=25
AG=AP2-PG2=25
∴AG=PG
∴∠APB=45°
∵∠PAB-∠BPF=45°
∴∠PAB=∠BPF+∠APB=∠APF
∵AE∥PF，∴∠EAP=∠APF
∵AE=AB，AP=AP
连接PE，∴△PEA≌△PBA
∴∠EPA=∠BPA=45°，PE=PB
∴∠EPB=90∘
过点E作ET⊥PK于点T
∵∠EPT=∠PBK，∠ETP=∠PKB=90°，PE=PB，
∴△PET≌△BPK，∴PT=BK=3，ET=PK=6
过点E作ER⊥x轴，∴ER=3，OR=5
∴E(-5，3)
设直线OE解析式为y=kx，把点E(-5，3)代入得-5k=3
解得k=-35，∴OE的解析式为y=-35x
∴y=-35xy=-x2+3x+4，解得x=9±1815
∵点H在第二象限
∴H(9-1815，3181-2725)x
y
A
B
C
A
(A，A)
(B，A)
(C，A)
B
(A，B)
(B，B)
(C，B)
C
(A，C)
(B，C)
(C，C)