上海市延安中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试

这是一份上海市延安中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试，共11页。试卷主要包含了03，2和0，1； 2，C； 14等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）
1．已知函数，则________．
2．某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的
频率为________．
3．函数的驻点为________．
4．函数在上的最大值为________．
5．若事件与互斥，且，，则________．
6．若直线与曲线（参数）有唯一的公共点，
则实数________．
7．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是________．
8．一名信息员维护甲、乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为_______．
9．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是________．
10．在平面直角坐标系中，动点和点、满足，则动点的轨迹方程为________．
11．若对于任意的，都有，则实数的最大值为________．
12．已知、是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于、两点，且，，则下列结论中，正确结论的序号为________．
①双曲线的离心率为2； ②双曲线的一条渐近线的斜率为；
③线段的长为； ④的面积为．
二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）
13．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型、型、型和型血的学生依次有300，200，180，120人．需从中抽取一个容量为40的样本，研究血型与色弱的关系．完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰好有一个白球”与“都是红球”
B．“至多有一个白球”与“都是红球”
C．“至多有一个白球”与“都是白球”
D．“至多有一个白球”与“至多有一个红球”
15．已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在上严格增 B．函数在上严格减
C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点
16．已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B. C． D．
三、解答题（本大题共5题，满分46分）
17．（本题满分6分：第（1）小题3分，第（2）小题3分）
一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．
（1）若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
18．（本题满分8分：第（1）小题4分，第（2）小题4分）
已知抛物线，定点．
（1）过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求；
（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程．
19．（本题满分8分：第（1）小题4分，第（2）小题4分）
某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．
20．（本题满分12分：第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
已知函数，，其中，．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由；
（3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
21．（本题满分12分：第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）
已知椭圆，、、、这四点中恰有三点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线交椭圆于、两点，设直线的斜率，在轴上是否存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.1； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.①④；
11.若对于任意的，都有，则实数的最大值为___．
【答案】1
【解析】因为,
所以,即,
设函数，依题设,在上单调递增,
又,令,解得
所以的增区间为所以,所以
所以的最大值为1.故答案为:1.
二、选择题
13.C； 14.A； 15.A； 16.B
15.已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在上严格增B．函数在上严格减
C．函数在处取得极大值D．函数共有两个极小值点
【答案】A
【解析】当时,,当时,,
所以函数在上先减后增,故错误;
当时,,所以函数在上单调递减,故正确;
因为在左侧附近导数为正,右侧附近导数为负,
所以函数在处取得极大值,故正确;
因为在左侧附近导数为负,右侧附近导数为正,
所以函数在处取得极小值,
因为在左侧附近导数为负,右侧附近导数为正,
所以函数在处取得极小值,则函数共有两个极小值点,故正确.故选A.
三、解答题
17.（1）（2）
18.（1） （2）
19.（1），平均数为69.5（2）
20.已知函数，，其中，．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由；
（3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)因为,
所以在点的切线方程为,即;
(2)设,定义域
当时,恒成立,所以在严格增,所以不存在极值点;当时,令,
当时,,当时,,
所以在严格减,在严格增,
所以函数存在一个极小值点,无极大值点;
(3)原不等式
当时,恒成立;当时,,即,
由(2)知时,
在有最小值,所以
实数的取值范围为.
21.已知椭圆，、、、这四点中恰有三点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线交椭圆于、两点，设直线的斜率，在轴上是否存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)由两点关于轴对称，因此两点必然在椭圆上,
,若点在椭圆上,则,得出,矛盾,
因此点不在椭圆上,点在椭圆上,,解得,
椭圆的方程为:
直线的方程为:.设与椭圆相切的直线方程为:
代入椭圆方程可得:
化为:,令,解得
取,此时与椭圆相切的直线方程为:,
与直线的距离
面积的最大值
(3)设，
假设在轴上存在一点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.
直线的方程为:代入椭圆方程可得:
线段的中点,
线段的垂直平分线的方程为:
令,则
当且仅当时取等号.又,则,.
因此在轴上存在一点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形,
其中