中考大题02 一次函数与反比例函数、二次函数综合（7题型+必刷大题）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
大题02 一次函数与反比例函数、二次函数综合
一次函数和反比例函数、二次函数综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容,每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟等原因导致失分. 从考点频率看，一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质是考査的基础也是高频考点、必考点. 从题型角度看，一次函数与反比例函数、二次函数常结合特殊四边形综合，难度较高，解题时要全面考虑，避免遗漏可能出现的情况.
题型一： 比较大小（取值问题）
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(−1,0)，(2,0)．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当−2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y=(2−m)x+2−m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a0的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时（点M可与点D,E重合），
∴−3≤m≤0．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知：一次函数y1=x的图象与抛物线y2=x2+bx（b为常数）的一个交点为3,p．
(1)求p，b的值．
(2)直接写出当y1>y2时，x的取值范围．
(3)若将抛物线y2=x2+bx（b为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1=x上，求m关于n的函数表达式．
【答案】(1)p=3，b=−2
(2)当y1>y2时，00，
∴a=6，
∴点D6，26+2；
由2a+2−12a=−2得2a2+2a−12=−2a，
整理得a2+2a−6=0，
解得a=±7−1，
∵a>0，
∴a=7−1，
∴点D7−1，27；
综上，点D的坐标为6，26+2或7−1，27．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
2．（2021·山东济南·中考真题）如图，直线y=32x与双曲线y=kxk≠0交于A，B两点，点A的坐标为m,−3，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k=6，B(2，3)；（2）217；（3）P（132，0）或（0，133）.
【分析】（1）根据直线y=32x经过点Am,−3，可求出点A（-2，-3），因为点A在y=kxk≠0图象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；
（2）先根据BC=2CD利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连接B’C，即B’C的长度是GB+GC的最小值；
（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：因为直线y=32x经过点A m,−3，
所以−3=32×m，
所以m=-2，
所以点A（-2，-3），
因为点A在y=kxk≠0图象上，
所以k=−2×−3=6，
因为y=32x与双曲线y=kxk≠0交于A，B两点，
所以点A和点B关于原点对称，
所以点B(2，3)；
（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，
因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，
所以BE//CF，
所以△BED∼△CFD,
所以BECF=BDCD，
因为BC=2CD，
所以BECF=BDCD=31，
因为B（2，3），
所以BE=3，
所以CF=1，
所以C点纵坐标是1，
将yC=1代入y=6x可得：x=6，
所以点C（6，1），
又因为点B’是点B关于y轴对称的点，
所以点B’（-2，3），
所以B’C=−2−62+3−12=64+4=68=217，
即GB+GC的最小值是217；
（3）解：①当点P在x轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，
因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以△OHB∼△BHP，
所以OHBH=BHHP，
所以BH2=OH×HP,
所以32=2×HP，
所以HP=92，
所以OP=132，
所以点P（132，0）；
②当点P在y轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，
因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以△OHB∼△BHP，
所以OHBH=BHHP，
所以BH2=OH×HP,
所以22=3×HP，
所以HP=43，
所以OP=133，
所以点P（0，133）
综合可得：P（132，0）或（0，133）.
【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.
1．（2024·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于Aa,4和B4,2两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
(3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，在x轴上是否存在点P，使以点O、B、 D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为：y=8x，一次函数表达式为y=−x+6
(2)2≤x≤4
(3)P点坐标为3，0或−3，0．
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质．
（1）利用B4,2可得反比例函数为y=8x，再求解A2,4，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得答案；
（3）分四边形ODBP和OBDP为平行四边形，两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数y=kx过B4,2，
∴k=8，
∴反比例函数为：y=8x，
把Aa,4代入y=8x可得：a=84=2，
∴A2,4，
∴2m+n=44m+n=2，解得：m=−1n=6，
∴一次函数为y=−x+6；
（2）解：由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得
不等式mx+n≥kx的解集为：2≤x≤4；
（3）解：存在
∵A2,4，
∴直线OA的解析式为：y=2x，
∵过点B4,2作BD平行于x轴，交OA于点D，
∴D1，2，
∴BD=4−1=3，
当四边形ODBP为平行四边形时，
∴DB=OP=3，
∴P点坐标为3，0，
当四边形OBDP为平行四边形时，
∴DB=OP=3，
∴P点坐标为−3，0．
综上，P点坐标为3，0或−3，0．
2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的图象交于A，B两点，已知B2,3．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)一次函数y=x+b的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若S△OCD=3，求点D的坐标：
(3)若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：y=6x，y=x+1
(2)D−1,−6或D1,6
(3)存在，其坐标分别为M15,0，M20,5
【分析】（1）把点B的坐标代入y=kx，得出反比例函数解析式；把点B的坐标代入y=x+b，求出b的值，得到一次函数的解析式；
（2）求出点C(−1,0)，设D(m,n)，根据S△OCD=3可得n=±6，由点D是反比例函数图象上的一个动点，即可得点D的坐标；
（3）分两种情况：①当点M在x轴上时，②当点M在y轴上时，根据矩形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：∵点B(2,3)是反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的交点，
∴k=xy=6，b=y−x=1，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：y=6x，y=x+1；
（2）解：一次函数y=x+1中，当y=0 时，x=−1，
∴C(−1,0)，
设D(m,n)，
∵S△OCD=3，
∴12×|n|×1=3，
∴n=±6，
∵点D(m,n)在y=6x上，
∴m=−1或1，
∴D(−1,−6)或D(1,6)；
（3）解：存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，理由如下：
①当点M在x轴上时，如图，设点M的坐标为(a,0)，
过点B作BG⊥x轴于点G，
∵∠CGB=∠CBM=90°，∠BCG=∠MCB，
∴△CBG∽△CMB，
∴CBCM=CGCB，
∵B(2,3)，C(−1,0)，
∴CG=3，CM=a+1，
∴CB=32+32=32，
∴32a+1=332，
∴a=5，
∴点M的坐标为(5,0)；
②当点M在y轴上时，过点B作BH⊥y轴于点H，如图，
设点M的坐标为(0，b )，
∵y=x+1，
∴Q(0,1)，
∴HQ=3−1=2，
∴BQ=22+22=22，
∵∠QBM=∠BHQ=90°，∠BQM=∠HQB，
∴△BQM∽△HQB，
∴ BQHQ=MQBQ，
∴ 222=b−122，
∴b=5，
∴点M的坐标为(0,5)，
∴存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，点M的坐标分别为(5,0)或(0,5)．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法确定函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
3．（2023·山东济南·模拟预测）一次函数y=12x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，直线BC与反比例函数y=kx交于点A2,a．
(1)求出a，k的值；
(2)M为线段BC上的点，将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N，点N恰巧在反比例函数y=kx上，求出点N坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得四边形MAPQ为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；6
(2)N2,3
(3)x=−2±19或2±11
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和性质：
（1）把点A代入一次函数解析式，求出a的值，再把点A代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）求出点B的坐标为0,2，点C的坐标为−4,0，而M为线段BC上的点，设Mm,12m+2，得到Nm+4,12m+4，代入反比例函数解析式即可求解；
（3）设点Px,0，Qs,t，根据菱形的性质，分2种情况讨论求解即可．
【详解】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可得：a=12×2+2=3，
∴A2,3，
∵A点在反比例函数图象上，
∴k=2×3=6；
（2）当y=0时，y=12x+2=0，解得x=−4，
当x=0时，y=12×0+2=2，
∵一次函数y=12x+2的图象与x轴相交于点C，与y轴相交于点B，
∴点B的坐标为0,2，点C的坐标为−4,0，
∵M为线段BC上的点，
∴设Mm,12m+2，则Nm+4,12m+4，
则有(m+4)·(12m+4)=6，
解得，m=−2或−10(舍去)
∴m=−2；
∴N2,3；
（3）设点Px,0，Qs,t，
由（2）可知：点M−2,1，点A2,3，
∴AM2=20，
由题意知，MA为菱形的边，
则点M向右平移4个单位向上平移2个单位得到点A，
则点PQ向右平移4个单位向上平移2个单位得到点QP，
由平移规则和MA=MP(MA=AP)得：
x+4=s0+2=t20=(x+2)2+1或x−4=s0−2=t20=(x−2)2+32，
解得：x=−2±19或2±11，
即点P的坐标为：(−2+19，0)或(−2−19，0)或(2+11，0)或(2−11，0)．
题型七： 特殊角存在性问题
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y=2x+b与y轴交于点A0,6，与反比例函数y=mx的图象的交点为Ba,2，C两点．

(1)求点B的坐标及反比例函数的表达式；
(2)求△BCO的面积；
(3)当x0)图象上，
∴ a=412=8，
∴ B12,8，
将A(4,1)，B12,8代入y1=kx+b，得：
4k+b=112k+b=8，
解得k=−2b=9，
∴一次函数解析式为y1=−2x+9；
（2）解：设点P的横坐标为p，
将x=p代入y1=−2x+9，可得y1=−2p+9，
∴ Pp,−2p+9．
将x=p代入y2=4x(x>0)，可得y2=4p，
∴ Qp,4p．
∴ PQ=−2p+9−4p，
∴ S△POQ=12PQ⋅xP=12×−2p+9−4p⋅p=3，
整理得2p2−9p+10=0，
解得p1=2，p2=52，
当p=2时，−2p+9=−2×2+9=5，
当p=52时，−2p+9=−2×52+9=4，
∴点P的坐标为2,5或52,4．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
6．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x的图象l与函数y=kx（k>0，x>0）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB=1，点C在线段OB上（不含端点），且OC=t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Γ于点E．
(1)求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；
(2)连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U=S1−S2，求U的最大值．
【答案】(1)k=2；12t
(2)54
【分析】（1）将x=1代入y=2x，得y=2，得到点A的坐标，再将点A代入y=kx，得k即可；根据已知得点D的纵坐标为t，代入y=2x求出点D的坐标；
（2）将y=t代入y=2x得到点E的坐标，根据三角形的面积公式分别求出S1、S2，得到U与t的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最大值即可．
【详解】（1） ∵AB⊥y轴，且AB=1，
∴点A的横坐标为1，
∵点A在直线y=2x上，
∴y=2×1=2，
∴点A1，2，
∴B0，2，
∵点A在函数y=kx上，
∴k=1×2=2，
∵OC=t，
∴C0,t，
∵CE∥x轴，
∴点D的纵坐标为t，
∵点D在直线y=2x上，t=2x，
∴x=12t ，
∴点D的横坐标为12t
（2）由（1）知，k=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x，
由（1）知，CE∥x轴，
∴C0,t，
∴点E的纵坐标为t，
∵点E在反比例函数y=2x的图象上，
∴x=2t，
∴E2t,t，
∴CE=2t，
∵B(0,2)，
∴OB=2．
∴S1=S△OBE=12OB⋅CE=12×2×2t=2t.
由（1）知，A1，2，D12t,t，
∴DE=2t−12t，
∵CE∥x轴，
∴S2=S△ADE=12DEyA−yD
=122t−12t2−t
=14t2−12t+2t−1，
∴U=S1−S2=2t−14t2−12t+2t−1
=−14t2+12t+1
=−14t−12+54，
∵点C在线段OB上（不含端点），
∴0