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专题05 四边形的性质与判定（15题型+限时检测）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）
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这是一份专题05 四边形的性质与判定（15题型+限时检测）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用），文件包含专题05四边形的性质与判定原卷版docx、专题05四边形的性质与判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共171页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题05 四边形的性质与判定
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc161347949" 题型01 多边形的相关计算
\l "_Tc161347950" 题型02 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合问题
\l "_Tc161347951" 题型03 多边形内角和与外角和综合问题
\l "_Tc161347952" 题型04 平面镶嵌
\l "_Tc161347953" 题型05 根据平行四边形的性质与判定求解
\l "_Tc161347954" 题型06 构建三角形中位线解决问题
\l "_Tc161347955" 题型07 根据特殊四边形的性质与判定求解
\l "_Tc161347958" 题型08 与特殊四边形有关的折叠问题
\l "_Tc161347959" 题型09 利用特殊四边形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc161347960" 题型10 特殊四边形与函数综合
\l "_Tc161347961" 题型11 与特殊四边形有关的规律探究问题
\l "_Tc161347962" 题型12 与特殊四边形有关的新定义问题
\l "_Tc161347963" 题型13 梯形的相关计算
\l "_Tc161347964" 题型14 四边形的常见几何模型
\l "_Tc161347965" 题型15 与特殊四边形判定有关的综合问题
\l "_Tc161347966" （时间：60分钟）
题型01 多边形的相关计算
1．（2023·陕西榆林·三模）若从某个多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则这个多边形的内角和度数为 ．
2．（2022·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是 ，对角线共有 条．
3．（2022·陕西西安·模拟预测）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成 个三角形．
题型02 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合问题
1．（2021·山东烟台·二模）如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（ ）
A．144°B．126°C．120°D．108°
2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A1A2A3……An上，若∠1−∠2=60°，则n= ．
3．（2020·河南·二模）如图，在ΔABC中，∠B=25°，点D是BC边上一点，连接AD，且AD=BD，∠CAD=90°，CF平分∠ACB，分别交AD，AB于点E，F，则∠AEC的度数为 ．
题型03 多边形内角和与外角和综合问题
1．（2023·江西抚州·二模）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于220°，则∠BOD的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．45°
2．（2023·山西大同·模拟预测）等边三角形、正方形及正五边形各一个，按下图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．102°B．104°C．106°D．108°
3．（2023·河北秦皇岛·二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；
A．只有①对B．①和③对C．①、②、③都对D．①、②、③都不对
4．（2022·陕西西安·模拟预测）已知一个正多边形的内角和与外角和的和为1620°，则这个正多边形的边数是 ．
题型04 平面镶嵌
1．（2024·河北石家庄·一模）有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2．
（1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是 ；
（2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为 ．
2．（2023·河北沧州·二模）要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．
（1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案．
方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为 ；
方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为 ；
（2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为 ．
3．（2022·河北·二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 ．
题型05 根据平行四边形的性质与判定求解
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图， 菱形ABCD中， 对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD， 垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF=1：2，则DH：DB的值为（ ）
A．14B．15C．25D．16
2．（2023·河北承德·一模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于点O，E、F分别为OA和OC上的点（不与点A、O、C重合）．其中AE=OF．过点E作GH⊥AC，分别交AD、AB于点G、H；过点F作IJ⊥AC分别交CD、CB于点J、I；连接GJ、HI，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：
甲：随着AE长度的变化，GH+IJ=BD始终成立．
乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．
丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．
下列选项正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对B．甲、乙对，丙不对
C．甲、丙对，乙不对D．甲不对，乙、丙对
3．（2023·江苏泰州·二模）证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，求证：DE∥BC，DE=12BC．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法1：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF；
方法2：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F；
方法3：过E作EF∥AB交BC于F，过A作AG∥BC交FE的延长线于点G．
应用：如图2，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线BP（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）．
4（2023·河南周口·三模）综合与实践
问题提出
(1)如图①，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE=CD，连接BD，CE．判断BD与CE长度的大小关系，并证明；
问题探究
(2)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，若AE=EF，AC=8，则BF=______；
问题解决
(3)今年全国两会上，不少来自农村、关注“三农”工作的代表委员期待电力在全面推进乡村振兴中发挥越来越重要的作用．某地区规划出如图③所示的四边形ABCD地块，计划开发出一个生态宜居，绿色人文的农业观光区，其中AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAD=120°，AE是现有的地下电缆，CE=AB．为满足农业用电，B点和C点分别设置了风力发电机，现要埋电缆线路BP与线路AC，点P是AE的中点．已知埋每米电缆的费用是a元，请问埋电缆线路AC的费用是线路BP费用的几倍？并说明理由．
题型06 构建三角形中位线解决问题
1．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，四边形EFGH顶点是四边形ABCD各边中点，若把EFGH涂满红油漆需要10桶，那么要把其余部分涂满黑颜色，需要 桶
2．（2023·安徽·二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=6，延长BC到点D，CD=4，点E是AD的中点，BE交AC于点F，则△AEF的面积为 ．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD垂直相交于点E，点F，G分别为AB，CD的中点，求证：EF=OG．
4．（2023·福建泉州·模拟预测）在△ABC中，F为边AB上一点．
(1)如图1，若AC2=AF⋅AB，求证：△ACF∽△ABC．
(2)若G为CF的中点，AC=4，
①如图2，若∠FBG=∠ACF，AB=5，求BF的长；
②如图3，若∠ABC=30°，∠A=∠BGF=45°，直接写出BF的长．
题型07 根据特殊四边形的性质与判定求解
1．（2024·山西朔州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,M为对角线BD上的一点（不与点B,D重合），连接AM，过点M作MN⊥AM交边CD于点N，连接AN．若BM:BD=2:5，则DN的长为 ．
2．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边△ABC中，AB=6，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE=2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则PF−PE的最大值为 ．
3．（2023·湖南娄底·三模）已知四边形ABCD是矩形，连接BD．
(1)如图1，∠ADB的平分线交AB于E，交CB的延长线于点F．∠DBF的平分线交DF于点H，交DA的延长线于点G，连接FG．
①求证：BD=BF；
②求证：四边形GFBD为菱形；
(2)在（1）的条件下，如图2，连接AC交DF于点P，交BD于点O，若DP=HP，求ABAD的值．
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与我们所学过的全等三角形等等数学知识相结合来解决问题，有时我们还能从中探索学习一些新知．小苗在研究三角形旋转过程中，进行如下探究：如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG．
观察猜想：
（1）在图1中，点E，F，G分别在边AB，AC，AD上，直接写出GDFC= ；
实践发现：
（2）将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图2所示位置，连接DG，FC，请问（1）中的结论是否发生变化？并加以证明：
联系旧知：
（3）如果正方形ABCD的边长为5，正方形AEFG的边长为3．将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图3所示位置，连接EG交AB于点M，交AC于点N，若NG=22，直接写出EM的长 ；
探求新知：
（4）在（3）的条件下，当正方形AEFG绕点A顺时针旋转至点E，F，B三点共线时，直接写出CG的长 ．
题型08 与特殊四边形有关的折叠问题
1．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图1，在五边形纸片ABCDE中，∠A=120°，将五边形纸片沿BD折叠，点C落在点P处，在AE上取一点Q，将△ABQ和△EDQ分别沿BQ、DQ折叠，点A、E恰好落在点P处．
（1）∠C+∠E= ；
（2）如图2，若四边形BCDP是菱形，且Q、P、C三点共线时，则BQAB= ．
2．（2022·湖北荆州·三模）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是AB边上的动点．折叠纸片使点D与点E重合，折痕为FG，DC的对应边EC'交BC于点H．
(1)如图1，当点E是AB的中点时，则AF的长______．
(2)如图2，设AE的长为x，四边形CDFG面积为S．
①求DF的长度（用含x的代数式表示）；
②求S关于x的函数关系式，并求S的最小值．
(3)如图3，过点D作EC'的垂线，垂足为M，DM交FG于点N．
①求△BHE的周长．
②当△BHE与△MNE的周长之差为2时，请直接写出sin∠EHB的值．
3．（2023·河南驻马店·二模）综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为EF，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为BM．
(1)如图（1）若AB=BC，则当点N落在EF上时，BF和BN的数量关系是________，∠NBF的度数为________．
思考探究：
(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M'．当点M'落在CD上时，如图（2），设BN，BM'分别交EF于点J，K．若DM'=4，请求出三角形BJK的面积．
开放拓展：
(3)如图（3），在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M'，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2−3，12+1=2−1)
题型09 利用特殊四边形的性质与判定解决多结论问题
1．（2022·安徽滁州·二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，点M在AD上，连接ME并延长交BC于点N，连接DN交MC于点F．则下列四个结论：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，则BM=CM；③若MD=2AM，则S△MNC=S△BNE；④若AB=MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在正方形纸片ABCD中，点E为正方形CD边上的一点（不与点C，点D重合），将正方形纸片折叠，使点A落在点E处，点B落在点F处，EF交BC于点H，折痕为GM，连接AE、AH，AH交GM于点K下列结论：①△AME是等腰三角形；②AE=MG；③AE平分∠DEF；④AE=AH；⑤∠EAH=45°，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·山东泰安·二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接BD交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连接MN、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
4．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，将一张菱形纸片ABCD∠ADC>90°沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠ADB，得到如图2所示的△DB'C，连接AC，BB'，∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB'；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④BB'=3AB．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
题型10 特殊四边形与函数综合
1．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数y=−2x+6的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为4时，点P的坐标为( )
A．(2，2)B．12，5C．(1，4)或12，5D．(1，4)或(2，2)
2．（2022·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−43x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，BC∥x轴，则菱形ABCD的周长是 ．
3．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，ABCD是一矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点是F，以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴，则过点F、点C的一次函数解析式为： ．
4．（2023·山东济南·二模）如图，一次函数y=−x+3的图像与反比例函数y=kxk≠0在第一象限的图像交于A1,a和B两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点M在y轴上，且△BMC的面积为4，求点M的坐标；
(3)将线段AB在平面内平移，当AB一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023·广西贵港·三模）抛物线y=−12x2+32x+c与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D3，2为抛物线上一点，且直线CD∥x轴，点M是抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．
(2)若点E的纵坐标为0，且以A，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．
(3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N'，则是否存在点M，使点N'则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究
如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若线段OC上有一点Q，则AQ+1717CQ的最小值为 ．
(4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型11 与特殊四边形有关的规律探究问题
1．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2……；按如图的方式放置，点A1、A2、A3……An在直线y=−x−1，点C1、C2、C3……Cn在x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y=−x−1上，抛物线L2过点A2、B2 ，且顶点在直线y=−x−1上，……按此规律，抛物线Ln过点An、Bn，且顶点也在直线y=−x−1上，抛物线Ln的顶点坐标为( )
A．3×2n−1−1,−3×2n−1B．3×2n−1−1,−3×2n−2
C．3×2n−2−1,−3×2n−1D．3×2n−2−1,−3×2n−2
2．（2023·黑龙江鸡西·三模）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，点P1、Q1、H1分别在边AB、AC、BC上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1:P1B=2:3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2:P2H1=2:3，……按此规律操作下去，则线段CQ2023的长度为 ．
3．（2022·广东广州·二模）如图，将4个边长都为2的正方形按如图所示摆放，A1、A2、A3、A4分别是正方形的中心，若按此规律摆放n个这样的正方形，则这n个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是 ．
4．（2022·河北唐山·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kxx>0的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
（1）点P2的坐标为
（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 ．
题型12 与特殊四边形有关的新定义问题
1．（2022·湖南长沙·一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作完美四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=BC，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），则四边形ABCD叫作完美四边形．
(1)概念理解：在以下四种图形中：①平行四边形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是“完美四边形”的是______；（填写序号）
(2)性质探究：如图2，完美四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，请用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明，
(3)拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是完美四边形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，BC≠CD，当1≤BC≤3时，求四边形ABCD面积的最大值．
2．（2023·江苏无锡·二模）定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACCB=2，那么点C为线段AB的“白银分割点”．
(1)应用：如图2，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的“白银分割点”．
(2)已知线段AB（如图3），作线段AB的一个“白银分割点”，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
3．（2023·广东广州·一模）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．
①若CD=3，AC⊥CD于点C，求AD的长；
②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的长；
(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
4．（2023·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；
(2)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE，CE．求证：四边形ABCE是筝形：
(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD，BC=DC，发现它是一个筝形，还得到AB=18cm，BC=40cm，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．
题型13 梯形的相关计算
1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形ABDC中，∠ABC=∠BCD=90°，∠ACD=2∠D，AC+1=BC+CD，AB=3，则线段BD的长 ．
2．（2023·上海虹口·二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为BC延长线上一点，∠ADB=∠CDE，点F在BD上，联结CF．
(1)求证：AD⋅DE=AC⋅DC；
(2)如果AD⋅CE=DF⋅DB，求证：四边形DFCE为梯形．
3．（2023·上海浦东新·一模）某地一段长为50米的混凝土堤坝，堤坝的横断面ABCD是等腰梯形（如图所示），坝顶AD宽为8米，坝高为4米，斜坡AB的坡度为1:1.5．
(1)求横断面ABCD的面积；
(2)为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混凝土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）
4．（2022·辽宁铁岭·三模）如图1是一个直四棱柱，如图2是它的三视图，其俯视图是等腰梯形．
(1)根据图2中给出的数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______，腰长为______；
(2)主视图和左视图中a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；
(3)请你根据图1和问题（1）中的结果，计算这个直四棱柱的侧面积．（结果可保留根号）
题型14 四边形的常见几何模型
1．（2022·江苏无锡·一模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=2BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG=S△APG．以上结论正确的有（ ）
A．①②③B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
2．（2022·安徽安庆·二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目：
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）．
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，则GE长为 ．(直接写出结果，不需要写出求解过程)
3．（2023·陕西宝鸡·一模）问题提出
如图1，在△ABC中，AB=12,AC=9,DE∥BC．若AD=4，则AE的值为__________．
问题探究
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、FG、GH、HE．若AC=14,BD=16,∠AOB=60°，求四边形EFGH的面积．
问题解决
如图3，某市有一块五边形空地ABCDE，其中∠BAE=∠ABC=∠BCD=90°,AB=600米，BC=800米，AE=650米，DC=400米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园MNGH，使点M、N、G、H分别在边AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN,AM=CG,tan∠BNM=34,请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园MNGH？若存在，求四边形MNGH面积的最大值；若不存在，请说明理由．
4．（2023·江苏苏州·三模）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若AB=6，BC=8，求DFAE的值．
(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°， ABAC=34，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求AFBD的值．
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，ABAD=34，AB=BC，AD=CD，点E，F分别在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，则CFDE=______．
5．（2019·河南南阳·二模）问题背景
如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF=12α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．
（1）特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．
（2）类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD=2，请直接写出DE的长．
6．（2020·天津北辰·二模）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标系上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．
(1)如图1，当OP=22时，求点Q的坐标；
(2)如图2，设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；
(3)当BP+BQ=82时，直接写出点Q的坐标．
题型15 与特殊四边形判定有关的综合问题
1．（2023·江西南昌·二模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'C'D'，分别连接AB'，DC'（如图2所示），下列有关四边形AB'C'D的说法正确的是（ ）
A．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形
B．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移23个单位长度后是菱形
C．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移33个单位长度后是正方形
D．在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形
2．（2023·浙江绍兴·三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AB=6，AD=4，E、F是BC上的两动点，且EF=4，点E从点B出发，当点F移动到点C时，两点停止运动．在四边形AEFD形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是（ ）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→菱形D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
3．（2023·浙江绍兴·三模）如图，已知直线l1：y=43x+2与x轴，y轴分别相交于点A，M，与直线y=4相交于点C，直线l2：y=kx+2与直线y=4相交于点B，与x轴相交于点D．已知E0.5,0，F3,0，当点D从点E运动到点F的过程中，四边形ABCD的形状变化依次为（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形
4．（2023·福建莆田·二模）如图，在△ABD中，AD
A．菱形→矩形→正方形B．矩形→菱形→正方形
C．菱形→平行四边形→矩形D．矩形→平行四边形→菱形
5．（2023·河北石家庄·一模）如图是用尺规过点P作直线l垂线的两种方法，其中a，b，m，n分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若a=b，方法Ⅰ中的四边形为正方形B．若a⊥b，方法Ⅰ中的四边形为矩形
C．若m=n，方法Ⅱ中的四边形为菱形D．若m⊥n，方法Ⅱ中的四边形为正方形
6．（2022·江苏南京·二模）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法：①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形，正确的是（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2023·河北秦皇岛·三模）题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了n=5外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：n=6，乙答：n=8，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整D．甲、乙答案合在一起也不完整
2．（2023·河南信阳·三模）如图，在数学实践课上，某数学兴趣小组将两张矩形纸片重叠放置，重叠部分（阴影部分）为四边形ABCD．下列说法正确的是（ ）
A．四边形ABCD一定为矩形B．四边形ABCD一定为菱形
C．四边形ABCD一定为正方形D．四边形ABCD一定为平行四边形
3．（2022·河南濮阳·一模）课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB=2，则折痕BG的长等于（ ）
A．233B．433C．23D．43
4．（2023·云南昆明·二模）如果矩形ABCD满足ABBC=5−12，那么矩形ABCD叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC=2，则关于黄金矩形ABCD，下列结论不正确的是（ ）
A．AC=BDB．S△AOB=5−12
C．AC=8−25D．矩形ABCD的周长C=25+2
5．（2022·浙江舟山·三模）如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G 在△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF=S△HGE，BC=a，BD=b，CF=c，则a，b，c 满足的关系式为（ ）
A．a+c=2bB．b2+c2=a2C．b+c=aD．a=2bc
6．（2023·浙江温州·二模）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设△ABM，△EFH，△CMQ的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3=42，S1+S2−S3=36，则大正方形AMNE的面积为（ ）
A．114B．117C．120D．126
二、填空题
7．（2022·浙江杭州·一模）如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为 ．
8．（2023·福建宁德·模拟预测）已知抛物线y=−x2+2bx+nb>0的顶点为A，交y轴于点B；抛物线y=x2+2bx+m的顶点为C，交y轴于点D．若m−n=6，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形为矩形，则b= ．
9．（2022·广东江门·一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是6cm和8cm，那么中间的矩形的面积是 ．
10．（2022·辽宁锦州·二模）如图，∠MON=45°，OP平分∠MON，OA1=1+2，过点A1作A1B1⊥ON交OP于点B1，在ON上截取A1A2，使A1A2=A1B1，过点A2作A2B2⊥ON交OP于点B2，过点B1作B1C1⊥A2B2垂足为C1，得正方形A1B1C1A2；在ON上继续截取A2A3，使A2A3=A2B2，过点A3作A3B3⊥ON交OP于点B3，过点B2作B2C2⊥A3B3，垂足N为C2，得正方形A2B2C2A3；……以此类推，在ON上继续截取AnAn+1，使AnAn+1=AnBn，过点An+1作An+1Bn+1⊥ON交OP于点Bn+1，过点Bn作BnCn⊥An+1Bn+1，垂足为Cn，得正方形AnBnCnAn+1．则正方形AnBnCnAn+1的面积为 ．
11．（2023·福建莆田·三模）直线y=k1xk1>0与双曲线y=k2x交于点A和点C，点B在x轴的正半轴上，作点B关于AC的对称点D，现有结论：①BD一定垂直平分AC；②S△ABC=S△ADC=12AO⋅BD；③B、C、D三点可能共线；④四边形OBCD不可能是正方形，其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）
12．（2023·广东广州·一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD边上动点（不与A、D重合），连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△EBH，延长EH交CD于点F，连接BF，交AC于点N，连接CH．则下列结论：①∠EBF=45°；②△DEF的周长是定值2；③当点E是AD中点时，CN=23；④点D到EF距离的最大值为2−1，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题
13．（2022·北京朝阳·二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且MN⊥DE，垂足为点F．
(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：MN=DE；
(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，
①依题意补全图2；
②用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明．
14．（2023·陕西西安·二模）现有一块矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，点E为边BC上一点，连接AE，过点E在矩形板材上作EF⊥AE，且EF=AE．
(1)如图1，若点F恰好落在边CD上，则线段CF的长为_____；
(2)如图2，连接CF，求线段CF长度的最小值；
(3)如图3，连接DF，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD？若能，请求出四边形AEFD面积的最小值；若不能，请说明理由．
15．（2023·山东青岛·一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A−1,0，C3,0两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GE⊥OC，交CB于点F，交抛物线y=ax2+bx+3于点G，连接BG，DF，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒t≥0，在运动过程中，若四边形BDFG为正方形，求t的值；
(3)将（2）中的正方形BDFG沿y轴翻折180°，得到正方形BDF'G'，然后将正方形BDFG'沿直线BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF'G'与△BOC重合部分的面积为S，平移的距离为m0≤m≤32，请直接写出S与m之间的函数关系式．
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题05 四边形的性质与判定
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc161347949" 题型01 多边形的相关计算
\l "_Tc161347950" 题型02 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合问题
\l "_Tc161347951" 题型03 多边形内角和与外角和综合问题
\l "_Tc161347952" 题型04 平面镶嵌
\l "_Tc161347953" 题型05 根据平行四边形的性质与判定求解
\l "_Tc161347954" 题型06 构建三角形中位线解决问题
\l "_Tc161347955" 题型07 根据特殊四边形的性质与判定求解
\l "_Tc161347958" 题型08 与特殊四边形有关的折叠问题
\l "_Tc161347959" 题型09 利用特殊四边形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc161347960" 题型10 特殊四边形与函数综合
\l "_Tc161347961" 题型11 与特殊四边形有关的规律探究问题
\l "_Tc161347962" 题型12 与特殊四边形有关的新定义问题
\l "_Tc161347963" 题型13 梯形的相关计算
\l "_Tc161347964" 题型14 四边形的常见几何模型
\l "_Tc161347965" 题型15 与特殊四边形判定有关的综合问题
\l "_Tc161347966" （时间：60分钟）
题型01 多边形的相关计算
1．（2023·陕西榆林·三模）若从某个多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则这个多边形的内角和度数为 ．
2．（2022·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是 ，对角线共有 条．
3．（2022·陕西西安·模拟预测）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成 个三角形．
题型02 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合问题
1．（2021·山东烟台·二模）如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（ ）
A．144°B．126°C．120°D．108°
2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A1A2A3……An上，若∠1−∠2=60°，则n= ．
3．（2020·河南·二模）如图，在ΔABC中，∠B=25°，点D是BC边上一点，连接AD，且AD=BD，∠CAD=90°，CF平分∠ACB，分别交AD，AB于点E，F，则∠AEC的度数为 ．
题型03 多边形内角和与外角和综合问题
1．（2023·江西抚州·二模）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于220°，则∠BOD的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．45°
2．（2023·山西大同·模拟预测）等边三角形、正方形及正五边形各一个，按下图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．102°B．104°C．106°D．108°
3．（2023·河北秦皇岛·二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；
A．只有①对B．①和③对C．①、②、③都对D．①、②、③都不对
4．（2022·陕西西安·模拟预测）已知一个正多边形的内角和与外角和的和为1620°，则这个正多边形的边数是 ．
题型04 平面镶嵌
1．（2024·河北石家庄·一模）有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2．
（1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是 ；
（2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为 ．
2．（2023·河北沧州·二模）要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．
（1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案．
方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为 ；
方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为 ；
（2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为 ．
3．（2022·河北·二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 ．
题型05 根据平行四边形的性质与判定求解
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图， 菱形ABCD中， 对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD， 垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF=1：2，则DH：DB的值为（ ）
A．14B．15C．25D．16
2．（2023·河北承德·一模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于点O，E、F分别为OA和OC上的点（不与点A、O、C重合）．其中AE=OF．过点E作GH⊥AC，分别交AD、AB于点G、H；过点F作IJ⊥AC分别交CD、CB于点J、I；连接GJ、HI，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：
甲：随着AE长度的变化，GH+IJ=BD始终成立．
乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．
丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．
下列选项正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对B．甲、乙对，丙不对
C．甲、丙对，乙不对D．甲不对，乙、丙对
3．（2023·江苏泰州·二模）证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，求证：DE∥BC，DE=12BC．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法1：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF；
方法2：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F；
方法3：过E作EF∥AB交BC于F，过A作AG∥BC交FE的延长线于点G．
应用：如图2，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线BP（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）．
4（2023·河南周口·三模）综合与实践
问题提出
(1)如图①，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE=CD，连接BD，CE．判断BD与CE长度的大小关系，并证明；
问题探究
(2)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，若AE=EF，AC=8，则BF=______；
问题解决
(3)今年全国两会上，不少来自农村、关注“三农”工作的代表委员期待电力在全面推进乡村振兴中发挥越来越重要的作用．某地区规划出如图③所示的四边形ABCD地块，计划开发出一个生态宜居，绿色人文的农业观光区，其中AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAD=120°，AE是现有的地下电缆，CE=AB．为满足农业用电，B点和C点分别设置了风力发电机，现要埋电缆线路BP与线路AC，点P是AE的中点．已知埋每米电缆的费用是a元，请问埋电缆线路AC的费用是线路BP费用的几倍？并说明理由．
题型06 构建三角形中位线解决问题
1．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，四边形EFGH顶点是四边形ABCD各边中点，若把EFGH涂满红油漆需要10桶，那么要把其余部分涂满黑颜色，需要 桶
2．（2023·安徽·二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=6，延长BC到点D，CD=4，点E是AD的中点，BE交AC于点F，则△AEF的面积为 ．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD垂直相交于点E，点F，G分别为AB，CD的中点，求证：EF=OG．
4．（2023·福建泉州·模拟预测）在△ABC中，F为边AB上一点．
(1)如图1，若AC2=AF⋅AB，求证：△ACF∽△ABC．
(2)若G为CF的中点，AC=4，
①如图2，若∠FBG=∠ACF，AB=5，求BF的长；
②如图3，若∠ABC=30°，∠A=∠BGF=45°，直接写出BF的长．
题型07 根据特殊四边形的性质与判定求解
1．（2024·山西朔州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,M为对角线BD上的一点（不与点B,D重合），连接AM，过点M作MN⊥AM交边CD于点N，连接AN．若BM:BD=2:5，则DN的长为 ．
2．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边△ABC中，AB=6，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE=2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则PF−PE的最大值为 ．
3．（2023·湖南娄底·三模）已知四边形ABCD是矩形，连接BD．
(1)如图1，∠ADB的平分线交AB于E，交CB的延长线于点F．∠DBF的平分线交DF于点H，交DA的延长线于点G，连接FG．
①求证：BD=BF；
②求证：四边形GFBD为菱形；
(2)在（1）的条件下，如图2，连接AC交DF于点P，交BD于点O，若DP=HP，求ABAD的值．
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与我们所学过的全等三角形等等数学知识相结合来解决问题，有时我们还能从中探索学习一些新知．小苗在研究三角形旋转过程中，进行如下探究：如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG．
观察猜想：
（1）在图1中，点E，F，G分别在边AB，AC，AD上，直接写出GDFC= ；
实践发现：
（2）将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图2所示位置，连接DG，FC，请问（1）中的结论是否发生变化？并加以证明：
联系旧知：
（3）如果正方形ABCD的边长为5，正方形AEFG的边长为3．将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图3所示位置，连接EG交AB于点M，交AC于点N，若NG=22，直接写出EM的长 ；
探求新知：
（4）在（3）的条件下，当正方形AEFG绕点A顺时针旋转至点E，F，B三点共线时，直接写出CG的长 ．
题型08 与特殊四边形有关的折叠问题
1．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图1，在五边形纸片ABCDE中，∠A=120°，将五边形纸片沿BD折叠，点C落在点P处，在AE上取一点Q，将△ABQ和△EDQ分别沿BQ、DQ折叠，点A、E恰好落在点P处．
（1）∠C+∠E= ；
（2）如图2，若四边形BCDP是菱形，且Q、P、C三点共线时，则BQAB= ．
2．（2022·湖北荆州·三模）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是AB边上的动点．折叠纸片使点D与点E重合，折痕为FG，DC的对应边EC'交BC于点H．
(1)如图1，当点E是AB的中点时，则AF的长______．
(2)如图2，设AE的长为x，四边形CDFG面积为S．
①求DF的长度（用含x的代数式表示）；
②求S关于x的函数关系式，并求S的最小值．
(3)如图3，过点D作EC'的垂线，垂足为M，DM交FG于点N．
①求△BHE的周长．
②当△BHE与△MNE的周长之差为2时，请直接写出sin∠EHB的值．
3．（2023·河南驻马店·二模）综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为EF，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为BM．
(1)如图（1）若AB=BC，则当点N落在EF上时，BF和BN的数量关系是________，∠NBF的度数为________．
思考探究：
(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M'．当点M'落在CD上时，如图（2），设BN，BM'分别交EF于点J，K．若DM'=4，请求出三角形BJK的面积．
开放拓展：
(3)如图（3），在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M'，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2−3，12+1=2−1)
题型09 利用特殊四边形的性质与判定解决多结论问题
1．（2022·安徽滁州·二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，点M在AD上，连接ME并延长交BC于点N，连接DN交MC于点F．则下列四个结论：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，则BM=CM；③若MD=2AM，则S△MNC=S△BNE；④若AB=MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在正方形纸片ABCD中，点E为正方形CD边上的一点（不与点C，点D重合），将正方形纸片折叠，使点A落在点E处，点B落在点F处，EF交BC于点H，折痕为GM，连接AE、AH，AH交GM于点K下列结论：①△AME是等腰三角形；②AE=MG；③AE平分∠DEF；④AE=AH；⑤∠EAH=45°，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·山东泰安·二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接BD交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连接MN、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
4．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，将一张菱形纸片ABCD∠ADC>90°沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠ADB，得到如图2所示的△DB'C，连接AC，BB'，∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB'；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④BB'=3AB．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
题型10 特殊四边形与函数综合
1．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数y=−2x+6的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为4时，点P的坐标为( )
A．(2，2)B．12，5C．(1，4)或12，5D．(1，4)或(2，2)
2．（2022·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−43x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，BC∥x轴，则菱形ABCD的周长是 ．
3．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，ABCD是一矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点是F，以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴，则过点F、点C的一次函数解析式为： ．
4．（2023·山东济南·二模）如图，一次函数y=−x+3的图像与反比例函数y=kxk≠0在第一象限的图像交于A1,a和B两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点M在y轴上，且△BMC的面积为4，求点M的坐标；
(3)将线段AB在平面内平移，当AB一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023·广西贵港·三模）抛物线y=−12x2+32x+c与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D3，2为抛物线上一点，且直线CD∥x轴，点M是抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．
(2)若点E的纵坐标为0，且以A，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．
(3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N'，则是否存在点M，使点N'则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究
如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若线段OC上有一点Q，则AQ+1717CQ的最小值为 ．
(4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型11 与特殊四边形有关的规律探究问题
1．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2……；按如图的方式放置，点A1、A2、A3……An在直线y=−x−1，点C1、C2、C3……Cn在x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y=−x−1上，抛物线L2过点A2、B2 ，且顶点在直线y=−x−1上，……按此规律，抛物线Ln过点An、Bn，且顶点也在直线y=−x−1上，抛物线Ln的顶点坐标为( )
A．3×2n−1−1,−3×2n−1B．3×2n−1−1,−3×2n−2
C．3×2n−2−1,−3×2n−1D．3×2n−2−1,−3×2n−2
2．（2023·黑龙江鸡西·三模）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，点P1、Q1、H1分别在边AB、AC、BC上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1:P1B=2:3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2:P2H1=2:3，……按此规律操作下去，则线段CQ2023的长度为 ．
3．（2022·广东广州·二模）如图，将4个边长都为2的正方形按如图所示摆放，A1、A2、A3、A4分别是正方形的中心，若按此规律摆放n个这样的正方形，则这n个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是 ．
4．（2022·河北唐山·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kxx>0的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
（1）点P2的坐标为
（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 ．
题型12 与特殊四边形有关的新定义问题
1．（2022·湖南长沙·一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作完美四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=BC，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），则四边形ABCD叫作完美四边形．
(1)概念理解：在以下四种图形中：①平行四边形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是“完美四边形”的是______；（填写序号）
(2)性质探究：如图2，完美四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，请用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明，
(3)拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是完美四边形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，BC≠CD，当1≤BC≤3时，求四边形ABCD面积的最大值．
2．（2023·江苏无锡·二模）定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACCB=2，那么点C为线段AB的“白银分割点”．
(1)应用：如图2，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的“白银分割点”．
(2)已知线段AB（如图3），作线段AB的一个“白银分割点”，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
3．（2023·广东广州·一模）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．
①若CD=3，AC⊥CD于点C，求AD的长；
②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的长；
(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
4．（2023·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；
(2)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE，CE．求证：四边形ABCE是筝形：
(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD，BC=DC，发现它是一个筝形，还得到AB=18cm，BC=40cm，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．
题型13 梯形的相关计算
1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形ABDC中，∠ABC=∠BCD=90°，∠ACD=2∠D，AC+1=BC+CD，AB=3，则线段BD的长 ．
2．（2023·上海虹口·二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为BC延长线上一点，∠ADB=∠CDE，点F在BD上，联结CF．
(1)求证：AD⋅DE=AC⋅DC；
(2)如果AD⋅CE=DF⋅DB，求证：四边形DFCE为梯形．
3．（2023·上海浦东新·一模）某地一段长为50米的混凝土堤坝，堤坝的横断面ABCD是等腰梯形（如图所示），坝顶AD宽为8米，坝高为4米，斜坡AB的坡度为1:1.5．
(1)求横断面ABCD的面积；
(2)为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混凝土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）
4．（2022·辽宁铁岭·三模）如图1是一个直四棱柱，如图2是它的三视图，其俯视图是等腰梯形．
(1)根据图2中给出的数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______，腰长为______；
(2)主视图和左视图中a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；
(3)请你根据图1和问题（1）中的结果，计算这个直四棱柱的侧面积．（结果可保留根号）
题型14 四边形的常见几何模型
1．（2022·江苏无锡·一模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=2BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG=S△APG．以上结论正确的有（ ）
A．①②③B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
2．（2022·安徽安庆·二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目：
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）．
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，则GE长为 ．(直接写出结果，不需要写出求解过程)
3．（2023·陕西宝鸡·一模）问题提出
如图1，在△ABC中，AB=12,AC=9,DE∥BC．若AD=4，则AE的值为__________．
问题探究
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、FG、GH、HE．若AC=14,BD=16,∠AOB=60°，求四边形EFGH的面积．
问题解决
如图3，某市有一块五边形空地ABCDE，其中∠BAE=∠ABC=∠BCD=90°,AB=600米，BC=800米，AE=650米，DC=400米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园MNGH，使点M、N、G、H分别在边AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN,AM=CG,tan∠BNM=34,请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园MNGH？若存在，求四边形MNGH面积的最大值；若不存在，请说明理由．
4．（2023·江苏苏州·三模）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若AB=6，BC=8，求DFAE的值．
(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°， ABAC=34，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求AFBD的值．
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，ABAD=34，AB=BC，AD=CD，点E，F分别在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，则CFDE=______．
5．（2019·河南南阳·二模）问题背景
如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF=12α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．
（1）特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．
（2）类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD=2，请直接写出DE的长．
6．（2020·天津北辰·二模）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标系上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．
(1)如图1，当OP=22时，求点Q的坐标；
(2)如图2，设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；
(3)当BP+BQ=82时，直接写出点Q的坐标．
题型15 与特殊四边形判定有关的综合问题
1．（2023·江西南昌·二模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'C'D'，分别连接AB'，DC'（如图2所示），下列有关四边形AB'C'D的说法正确的是（ ）
A．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形
B．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移23个单位长度后是菱形
C．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移33个单位长度后是正方形
D．在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形
2．（2023·浙江绍兴·三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AB=6，AD=4，E、F是BC上的两动点，且EF=4，点E从点B出发，当点F移动到点C时，两点停止运动．在四边形AEFD形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是（ ）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→菱形D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
3．（2023·浙江绍兴·三模）如图，已知直线l1：y=43x+2与x轴，y轴分别相交于点A，M，与直线y=4相交于点C，直线l2：y=kx+2与直线y=4相交于点B，与x轴相交于点D．已知E0.5,0，F3,0，当点D从点E运动到点F的过程中，四边形ABCD的形状变化依次为（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形
4．（2023·福建莆田·二模）如图，在△ABD中，AD
A．菱形→矩形→正方形B．矩形→菱形→正方形
C．菱形→平行四边形→矩形D．矩形→平行四边形→菱形
5．（2023·河北石家庄·一模）如图是用尺规过点P作直线l垂线的两种方法，其中a，b，m，n分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若a=b，方法Ⅰ中的四边形为正方形B．若a⊥b，方法Ⅰ中的四边形为矩形
C．若m=n，方法Ⅱ中的四边形为菱形D．若m⊥n，方法Ⅱ中的四边形为正方形
6．（2022·江苏南京·二模）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法：①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形，正确的是（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2023·河北秦皇岛·三模）题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了n=5外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：n=6，乙答：n=8，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整D．甲、乙答案合在一起也不完整
2．（2023·河南信阳·三模）如图，在数学实践课上，某数学兴趣小组将两张矩形纸片重叠放置，重叠部分（阴影部分）为四边形ABCD．下列说法正确的是（ ）
A．四边形ABCD一定为矩形B．四边形ABCD一定为菱形
C．四边形ABCD一定为正方形D．四边形ABCD一定为平行四边形
3．（2022·河南濮阳·一模）课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB=2，则折痕BG的长等于（ ）
A．233B．433C．23D．43
4．（2023·云南昆明·二模）如果矩形ABCD满足ABBC=5−12，那么矩形ABCD叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC=2，则关于黄金矩形ABCD，下列结论不正确的是（ ）
A．AC=BDB．S△AOB=5−12
C．AC=8−25D．矩形ABCD的周长C=25+2
5．（2022·浙江舟山·三模）如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G 在△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF=S△HGE，BC=a，BD=b，CF=c，则a，b，c 满足的关系式为（ ）
A．a+c=2bB．b2+c2=a2C．b+c=aD．a=2bc
6．（2023·浙江温州·二模）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设△ABM，△EFH，△CMQ的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3=42，S1+S2−S3=36，则大正方形AMNE的面积为（ ）
A．114B．117C．120D．126
二、填空题
7．（2022·浙江杭州·一模）如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为 ．
8．（2023·福建宁德·模拟预测）已知抛物线y=−x2+2bx+nb>0的顶点为A，交y轴于点B；抛物线y=x2+2bx+m的顶点为C，交y轴于点D．若m−n=6，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形为矩形，则b= ．
9．（2022·广东江门·一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是6cm和8cm，那么中间的矩形的面积是 ．
10．（2022·辽宁锦州·二模）如图，∠MON=45°，OP平分∠MON，OA1=1+2，过点A1作A1B1⊥ON交OP于点B1，在ON上截取A1A2，使A1A2=A1B1，过点A2作A2B2⊥ON交OP于点B2，过点B1作B1C1⊥A2B2垂足为C1，得正方形A1B1C1A2；在ON上继续截取A2A3，使A2A3=A2B2，过点A3作A3B3⊥ON交OP于点B3，过点B2作B2C2⊥A3B3，垂足N为C2，得正方形A2B2C2A3；……以此类推，在ON上继续截取AnAn+1，使AnAn+1=AnBn，过点An+1作An+1Bn+1⊥ON交OP于点Bn+1，过点Bn作BnCn⊥An+1Bn+1，垂足为Cn，得正方形AnBnCnAn+1．则正方形AnBnCnAn+1的面积为 ．
11．（2023·福建莆田·三模）直线y=k1xk1>0与双曲线y=k2x交于点A和点C，点B在x轴的正半轴上，作点B关于AC的对称点D，现有结论：①BD一定垂直平分AC；②S△ABC=S△ADC=12AO⋅BD；③B、C、D三点可能共线；④四边形OBCD不可能是正方形，其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）
12．（2023·广东广州·一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD边上动点（不与A、D重合），连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△EBH，延长EH交CD于点F，连接BF，交AC于点N，连接CH．则下列结论：①∠EBF=45°；②△DEF的周长是定值2；③当点E是AD中点时，CN=23；④点D到EF距离的最大值为2−1，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题
13．（2022·北京朝阳·二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且MN⊥DE，垂足为点F．
(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：MN=DE；
(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，
①依题意补全图2；
②用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明．
14．（2023·陕西西安·二模）现有一块矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，点E为边BC上一点，连接AE，过点E在矩形板材上作EF⊥AE，且EF=AE．
(1)如图1，若点F恰好落在边CD上，则线段CF的长为_____；
(2)如图2，连接CF，求线段CF长度的最小值；
(3)如图3，连接DF，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD？若能，请求出四边形AEFD面积的最小值；若不能，请说明理由．
15．（2023·山东青岛·一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A−1,0，C3,0两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GE⊥OC，交CB于点F，交抛物线y=ax2+bx+3于点G，连接BG，DF，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒t≥0，在运动过程中，若四边形BDFG为正方形，求t的值；
(3)将（2）中的正方形BDFG沿y轴翻折180°，得到正方形BDF'G'，然后将正方形BDFG'沿直线BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF'G'与△BOC重合部分的面积为S，平移的距离为m0≤m≤32，请直接写出S与m之间的函数关系式．
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