精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2024届高三上学期模拟（一）理科数学试题

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一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 设集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 若复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
4. 在中，点为边上一点，，若，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
5. 已知，，则（ ）
A. B. 1C. D.
6. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
7. 通常人们用震级来描述地震大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用表示，强制性国家标准GB17740-1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值进行测定，计算公式如下（其中为震中距），已知某次某地发生了级地震，测得地震面波质点运动最大值为，则震中距大约为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
9. 若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A. 0B. C. 0或D. 或
12. 若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①的一个周期为2 ②
③的一条对称轴为 ④
A. 1B. 2C. 3D. 4
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13. 已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．
14. 已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为______．
15. 已知，则______．
16. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为______．
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分.
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积S．
18. 2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.
（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附：.
19. 如图，在四面体中，均为等边三角形，，点为的中点，．
（1）证明：直线平面；
（2）设点在上，，求二面角的余弦值．
20. 已知椭圆C：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.
21. 已知函数，当时，．
（1）求的取值范围；
（2）求证：（）．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中t为参数，，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）若，曲线，交于M，N两点，求的值．
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）若正数，，满足，求证：.有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
80
合计
0.100
0.050
0.025
0010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828