四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知首项为1的数列中，则（）
A. B. C. D. 2
2. 已知等差数列中，，公差，如果，，成等比数列，那么等于（）
A. 2或B. C. 2D. 3
3. 已知，若，则等于（）
A. 0B. 1C. eD. 2e
4. 函数的单调递减区间是（）
A. B. C. D.
5. 若数列满足，则数列通项公式为（）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 已知函数，，若，且关于x不等式在上恒成立，其中e是自然对数底数，则m的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 数列满足，则等于（）
A. 2565B. 2575C. 2585D. 2595
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）
A. 数列是等比数列
B. 若，，则
C. 若，则数列是递增数列
D. 若数列的前和，则
10. 已知在处取得极大值1，则下列结论正确的是（）
A. B. 对称中心为
C. D.
11. 下列判断正确的是（）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共77分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等差数列中，，则________.
13. 已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为______．
14. 已知，关于x的方程有三个不同实数根，则m的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．
（1）求的表达式和数列的通项公式；
（2）证明：
16. 设数列满足：，，且，对成立.
（1）证明：是等比数列；
（2）求和通项公式.
17. 已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在闭区间上最大值为，求a的范围．
18. 雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：
将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；
将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；
……
按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Kch snwflake）．
现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设a1＝1，并作了如下探究：
根据小明的假设与思路，解答下列问题．
（1）填写表格最后一列，并写出与的关系式；
（2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；
（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．
参考数据（，）
19. 已知函数
（1）当时，求在处的切线方程．
（2）设分别为的极大值点和极小值点，记，；
①证明：直线与曲线交于另一个点C；
②在①的条件下，判断是否存在常数，使得，若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，
P1
P2
P3
P4
…
Pn
边数
3
12
48
192
…
从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数
3
12
48
…
从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积
…