2024年吉林省中考数学模拟卷（二）

这是一份2024年吉林省中考数学模拟卷（二），共28页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．常言道：失之毫厘，谬以千里.当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据.1"的角真的很小.把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是1°.1°=60'=3600".若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是1".太阳到地球的平均距离大约为1.5×108千米.若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1"的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米B．72.72千米C．242.4千米D．727.2千米
2．下列各数：3，0，-5，0.48，-(-7)，-|-8|，(-4)2中，负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，下列条件中，能判定AB∥EF的是（ ）
①∠B+∠BFE=180°；
②∠1=∠2；
③∠3=∠4；
④∠B=∠5.
A．②B．①③C．①③④D．②③④
4．如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图所示，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k的值为（ ）
A．92B．274C．245D．12
6．如图，AB为⊙O的直径，将BC沿BC翻折，翻折后的弧交AB于D．若BC=45，sin∠ABC=55，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．256π-2B．253π-2C．8D．10
二、填空题
7．不等式 12x-3>-14-52x 的最小负整数解 .
8．分解因式： ab2-a = ．
9．已知△ABC与△A'B'C'相似，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应顶点，其中∠A＝80°∠B'＝60°，则∠C＝ 度．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=10cm，则AB的长为 cm．
11．如图，半圆O中，C为半圆O上一点，AB为直径，∠ABC＝60°，以OA为直径作半圆D，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
12．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 .
13．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
14．如图1，E是正方形ABCD的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作正方形AEFG，连接CF．已知△CEF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示，若该抛物线顶点P的纵坐标为8，则正方形ABCD的边长为 ．
三、解答题
15．先化简，再求值：(2+a)(2-a)+(a-2)2，其中a=2-3．
16．甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球．从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍．
（1）求乙盒中蓝球的个数．
（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，利用列表或画树状图法求这两球均为蓝球的概率．
17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．若∠A=70°，∠ABC=30°，连接BE，求∠CBE的度数．
18．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不大于A类摊位数量的3倍，建造这90个摊位的总费用不超过10850元．则共有哪几种建造方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案的总费用最少？最少费用是多少？
19．某校开展了“文明城市”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“D”主题对应扇形的圆心角为 度；
（3）若该校共有3600名学生，试估计该校参与“生态环境”主题的学生人数．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD=DE；
（2）若∠ABC=60°，AB=2，求阴影部分弓形的面积．
21．如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
（1）如图1，判断圆心O （填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
（2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）；
（3）在图2中画出BC的中点E；
22．如图，在△ABC中，D是边AB上一点.
（1）当∠ACD=∠B时，
①求证：△ABC∽△ACD；
②若AD=1，BD=3，求AC的长；
（2）已知AB=2AC=2AD，若CD=2，求BC的长.
23．兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家.哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分.图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系.
（1）求哥哥步行的速度.
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧.
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由.
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．已知反比例函数y＝mx的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点（﹣a，y1）、（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（3）若一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数y＝mx的图象交于E（p，﹣3）、F（q，4）两点，请直接写出kx+b﹣mx≤0成立时，对应x的取值范围．
25．根据以下素材，探索完成任务
问题解决
（1）任务1 确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）任务3 探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
26．综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片ABCD，AB=12，BC=8．
（1）操作发现
操作一：如图1，将矩形ABCD纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
（2）实践探究
操作二：如图3，在矩形纸片ABCD中，点G为AB的中点，将纸片沿CG折叠，使点B落在点B'处，连接AB'．
①判断AB'与折痕CG的位置关系，并说明理由；
②求AB'的长．
（3）拓展应用
将矩形纸片ABCD裁剪为AB=8，BC=6，在图3的情形下，若G为AB上任意一点，其他条件不变，当点A与点B'距离最小时，直接写出BG的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：设等腰三角形底边长为x 毫米，由题意得，
14.848=1.5×108x，
解得：x=727.2×108毫米=727.2千米.
故答案为：D.
【分析】根据题意列出方程求解即可，注意单位的换算.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵3是正数，
0既不是正数，也不是负数，
-5是负数，
0.48是正数，
-(-7)=7，是正数，
-|-8|=-8，是负数，
(-4)2=16，是正数，
∴这些数中，负数有2个.
故答案为：B.
【分析】先根据相反数、绝对值及有理数乘方运算法则将需要化简的数进行化简，进而根据负数小于零进行判断得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵ ∠B+∠BFE=180°，∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），故①符合题意；
②∵∠1=∠2，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），故②不符合题意；
③∵∠3=∠4，∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），故③符合题意；
④∵∠B=∠5，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），故④符合题意，
综上能判定出AB∥EF的是①③④.
故答案为：C.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可判断①；由内错角相等，两直线平行可判断②③；由同位角相等，两直线平行可判断④.
4．【答案】A
【解析】【解答】解： 图⑤几何体的俯视图为 ；
故答案为：A.
【分析】俯视图：从物体上面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】在矩形OCBA中，AB=OC，BC=OA，
设点B（a，b），
∵BD=3AD，
∴D(a4，b)，
∵点D、E在反比例函数图象上，
∴ab4=k，
∴E(a，ka)，
∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=ab-12·ab4-12k-12·3a4·（b-ka）=9，
解得k=245，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可得AB=OC，BC=OA，设点B（a，b），由BD=3AD，可得点D的坐标为D(a4，b)，由反比例函数图象上的点与函数的关系求得点E的坐标，再根据S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE代入数据计算即可求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵sin∠ABC=ACAB=xAB=55，
∴AB=5x，
根据勾股定理得
BC2+AC2=AB2，
即x2+(45)2=(5x)2，
解得x=25，AB=10，
∴12AC⋅BC=12CE⋅AB，
∴CE=AC⋅BCAB=25×4510=4，
∴AE=AC2-CE2=2，
∵BC为折痕，点D与点D'对称，
∴∠CBA=∠CBD'，CD=D'C，
∴DC=D'C=AC，
∴CD=AC，
∵CE⊥AD，
∴DE=AE=2，AD=4，
∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=12CE⋅AD=12×4×4=8．
故答案为：C．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，根据直径时圆周角性质可知∠BCA=90°，运用锐角三角函数的定义结合勾股定理可求得x=25，AB=10，然后运用面积桥计算求得CE与AE，从而根据折叠的性质得到∠CBA=∠CBD'， DC=D'C=AC，可得AC=CD，结合等腰三角形的性质求得AE=DE=2，最后运用弓形AC=弓形DC进行面积转化即可求解。
7．【答案】-3
【解析】【解答】解：12x-3>-14-52x，
3x＞-11，
解之：x＞-113
∴此不等式的最小负整数解为-3.
故答案为：-3.
【分析】先移项，合并同类项，再将x的系数化为1，可得到不等式的解集；然后求出此不等式的最小负整数解.
8．【答案】a（b+1）（b﹣1）
【解析】【解答】解：原式= a(b2-1) =a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）．
【分析】先用提公因式法、再用公式法因式分解。
9．【答案】40
【解析】【解答】解：∵△ABC~△A'B'C'，
∴∠B=∠B'=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=40°，
故答案为：40.
【分析】根据相似三角形的性质：对应角相等，即可得到：∠B=∠B'=60°，最后利用三角形内角和定理即可求解.
10．【答案】5
【解析】【解答】∵AE垂直且平分线段BO，
∴AB=AO，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，BD=10cm，
∴AO=12AC=12BD=12×10=5cm，
∴AB=AO=5cm，
故答案为：5.
【分析】利用垂直平分线的性质可得AB=AO，再利用矩形的性质可得AO=12AC=12BD=12×10=5cm，再求出AB=AO=5cm即可.
11．【答案】5π6+3​​​​​​​
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵AB=4，
∴OA=OB=OC=2，OD=AD=1，
∵∠ABC=60°，
∴∠BOC=60°，
∵S阴影=S半圆ABO-S半圆ADO-S弓BC
12π×22-12π×12-60π×22360-12×2×3=56π+3，即：
故答案为：56π+3.
【分析】连接OC，将阴影部分的面积利用割补法变成S半圆ABO-S半圆ADO-S弓BC，进而计算即可.
12．【答案】5×8+3x+13y=100，x+y+8=100
【解析】【解答】解：设母鸡有x只，小鸡有y只，
根据题意得：5×8+3x+13y=100，x+y+8=100.
故答案为：5×8+3x+13y=100，x+y+8=100.
【分析】设母鸡有x只，小鸡有y只，根据题意列出方程组，即可得出答案.
13．【答案】5
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∴∠ACD=∠GCF=45°
∴∠ACF=90°
∵H为AF的中点
∴CH=12AF
∵AF=AM2+FM2=25
∴CH=5
故答案为：5
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
14．【答案】8
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，
由题意得：∠H=∠AEF=∠B=90°，AE=EF，
∴△ABE≌△EHF
∴HF=BE=x，
设正方形ABCD的边长为a，则EC=BC-BE=a-x，
△CEF的面积S=12EC⋅FH=12⋅(a-x)⋅x=-12(x-a2)2+a28
根据二次函数的性质可得当x=a2时，函数有最大值，最大值为S=a28，
由图象顶点P的纵坐标为8，
∴a28=8，
解得a1=8，a2=-8（舍去），
∴正方形ABCD的边长为8．
故答案为：8.
【分析】过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，通过“”一线三等角“模型证得△ABE≌△EHF，从而HF=BE=x，设正方形ABCD的边长为a，根据三角形的面积公式得S△ECF=12EC⋅FH=-12(x-a2)2+a28，根据二次函数的性质得S的最大值为a28，再根据图象，抛物线顶点P的纵坐标为8，可得a28=8，计算求解即可．
15．【答案】解：原式=4-a2+a2-4a+4=8-4a=8-4(2-3)=43
【解析】【分析】根据整式的混合运算进行化简，进而即可求解。
16．【答案】（1）解：∵从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率为12+1+1=14，
∴从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率为14×2=12．
设乙盒中蓝球的个数为x个，则x1+2+x=12，解得x=3，
经检验，x=3是原方程的解，且符合题意．
答：乙盒中蓝球的个数为3个．
（2）解：从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，这两球均为蓝球的概率为18．
【解析】【解答】解：（2）列表法可得：
∴共有24种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有3种，
∴P（ 两球均为蓝球 ）=18，
故答案为：18.
【分析】（1）设乙盒中蓝球的个数为x个，再根据“从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率为14×2=12”列出方程x1+2+x=12，再求出x=3即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．【答案】解：∵∠A=70°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=80°．
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠DCE=∠ACB=80°，CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB=12×(180°-80°)=50°．
【解析】【分析】在三角形ABC中，用三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，由旋转的性质可得∠DCE=∠ACB，CB=CE，然后由等边对等角和三角形内角和定理可求出∠CBE的度数.
18．【答案】（1）解：设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，
依题意得：60x+2=35×60x，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝5．
答：每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米．
（2）解：设建造m个A类摊位，则建造（90﹣m）个B类摊位，
依题意得：90-m⩽3m40×5m+30×3(90-m)⩽10850，
解得：452≤m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种建造方案，
方案1：建造23个A类摊位，67个B类摊位；
方案2：建造24个A类摊位，66个B类摊位；
方案1：建造25个A类摊位，65个B类摊位．
（3）解：方案1所需总费用为40×5×23+30×3×67＝10630（元），
方案2所需总费用为40×5×24+30×3×66＝10740（元），
方案3所需总费用为40×5×25+30×3×65＝10850（元）．
∵10630＜10740＜10850，
∴方案1的总费用最少，最少费用是10630元．
【解析】【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，根据"用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35"，据此列出方程：60x+2=35×60x，解此方程即可求解；
（2）设建造m个A类摊位，则建造（90﹣m）个B类摊位，根据题意即可求出m的取值范围，结合m要为整数，则m可以取23，24，25，进而即可求解；
（3）分别计算出三种方案所需花的钱，进而即可求解.
19．【答案】（1）解：参加本次调查的学生总人数为：15÷25%=60(人)
∴选择C的学生人数为：60-15-8-9=18(人)，
∴补全条形统计图如下，
（2）54
（3）解：15÷25%=60（人） ， 3600×1860=1080（人）．
答：该校参与“生态环境”主题的学生人数1080人．
【解析】【解答】解：（2）“D”主题对应扇形的圆心角为：960×360°=54°，
故答案为：54；
【分析】（1）先用选择A的学生人数除以其所占的比例得到参加本次调查的学生总人数，进而用总人数减去选择A、B、D的学生人数即可得到选择C的学生人数，进而即可补全条形统计图；
（2）用选择D的学生人数除以总人数再乘以360°，即可求解；
（3）用3600乘以本次调查中参与“生态环境”主题的学生人数所占的比例即可求解.
20．【答案】（1）解：解：如图，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠DAC，
∴弧BD=弧DE，
∴BD=DE；
（2）解：如图，连接OE，过点O作OF⊥AC于点F，
∵AB=2，
∴OA=OB=1，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OE，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，OA=AE=1，OF=32，
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=60×π×12360-12×1×32=π6-34．
【解析】【分析】（1）在圆中，直径所对的圆周角为直角，连接AD，则AD⊥BC，由AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”可知，AD是∠BAC的平分线，故∠BAD=∠CAD，BD⏜=DE⏜，BD=DE.
(2)S弓形=S扇形-S△，要求弓形的面积，先求扇形和三角形的面积；连接OE，由已知可得△AOE是等边三角形，扇形OAE是60°的扇形，根据题中所给数据，求出即可，
21．【答案】（1）是
（2）解：如图：
CG即为所求；
（3）解：如图：
由方格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，
点E即为所求．
【解析】【解答】解：（1）如图，
圆心O在弦AB、CD的垂直平分线上，
∴圆心O是在格点上，
故答案为：是.
【分析】（1）画出弦AB、CD的垂直平分线即可判断圆心是否在格点上；
（2）连接OC，取格点G，使CG⊥OC即可；
（3）由方格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，取BC⏜的中点.
22．【答案】（1）.解：①证明：∵∠ABC=∠ACD，∠BAC=∠CAD，∴△ABC∽△ACD；
②∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=ABAC，即AC2=AD⋅AB=1×(1+3)=4，∴AC=2；
（2）解：由题意，∵AB=2AC=2AD，∴ABAC=ACAD=2.∵∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，∴ABAC=BCCD=2.∵CD=2，∴BC=22.
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟悉三角形判定的方法和性质是解题关键。
（1）根据∠ABC=∠ACD和∠BAC=∠CAD可知△ABC∽△ACD；②根据△ABC∽△ACD得ACAD=ABAC，可知AC长；
（2）根据AB=2AC=2AD得ABAC=ACAD=2，结合∠BAC=∠CAD证△ABC∽△ACD，得ABAC=BCCD=2，则知BC.
23．【答案】（1）解：由A（8，800）得哥哥步行的速度为：800÷8=100米 /分，
∴哥哥步行速度为100米/分；
（2）解：①由题意易得点E（10，800），
设DE所在直线为s=200t+b，将（10，800）代入，得，
800=200×10+b，解得b=-1200.
∴DE所在直线为s=200t-1200，
当s=0时，200t-1200=0，解得t=6.
∴a=6；
②能追上.
如图，
设BC所在直线为s=100t+m，将B（17，800）代入，得
800=100×17+m，
解得m=-900，
∴s=100t-900，
∵妺妺的速度是160米/分；
设FG所在直线为s2=160t+n，将F（20，800）代入，得
800=160×20+n，
解得n=-2400，
∴s=160t-2400.
解s=100t-900s=160t-2400，得t=25s=1600，
∴1900-1600=300米，即追上时兄妺俩离家300米远.
【解析】【分析】（1）由A（8，800）可得哥哥8分钟走了800米，从而根据速度等于路程除以时间可得答案；
（2）①由题意易得点E（10，800），设DE所在直线为s=200t+b，将点E的坐标代入可求出b的值，从而求出直线DE的解析式，令解析式中的s=0算出对应的t的值，即可得出图中a的值；
②能追上，理由如下：设BC所在直线为s=100t+m，将B（17，800）代入，可求出m的值，从而求出直线BC的解析式；设FG所在直线为s2=160t+n，将F（20，800）代入，可求出n的值，从而求出直线FG的解析式，联立直线FG与BC的解析式求解可得交点坐标为（25，1600），即在哥哥出发25分钟的时候，妹妹追上了哥哥，此时他们距离学校1600米，从而用家与学校的距离减去他们距离学校的距离即可求出此时兄妹两距离家的距离.
24．【答案】（1）解：根据题意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y＝mx中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数为：y＝12x；
（2）解：∵点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数y＝12x的图象上，
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴①当a＜﹣1时，﹣a＞0，a+1＜0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有y1＞y2；
②当﹣1＜a＜0时，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜﹣12时，y1＜y2，若﹣a＝a+1，即a＝﹣12时，y1＝y2，若﹣a＜a+1，即﹣12＜a＜0时，y1＞y2；
③当a＞0时，﹣a＜0，a+1＞0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有y1＜y2；
综上，当a＜﹣1时，y1＞y2；当﹣1＜a＜﹣12时，y1＜y2；当a＝﹣12时，y1＝y2；当﹣12＜a＜0时，y1＞y2；当a＞0时，y1＜y2．
（3）解：把E（p，﹣3）、F（q，4）代入y＝12x求得，p＝﹣4，q＝3，
∴一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数y＝12x的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），
当一次函数y＝kx+6的图象不在反比例函数y＝12x的图象上方时，x≤﹣4或0＜x≤3，
∴kx+b﹣mx≤0成立时，对应x的取值范围：x≤﹣4或0＜x≤3．
【解析】【分析】（1）根据题意求出点A的坐标，然后利用待定系数法把点A的坐标代入反比例函数中，即可求出其解析式；
（2）根据题意可知需分三种情况讨论，①当a＜-1时，②当﹣1＜a＜0时，③当a＞0时，分别根据反比例函数的增减性即可求解；
（3）把点E和点Q的坐标代入到反比例函数解析中，即可求出p和q的值，进而根据一次函数的性质和反比例函数的性质即可求解.
25．【答案】（1）解：如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为y=ax2+k(a≠0)，抛物线经过(10，0)，(0，5)，得
100a+k=0k=5，解得a=-120k=5
∴y=-120x2+5．
（2）解：抛物线y=-120x2+5，令y=0，-120x2+5=0，解得x=-10，或10
∴点F(-10，0)
如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∵(10-2)÷4=2
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点G上方1m处，即点(10，1)．
（3）解：
如图，当水位达到最高时，水位线为y=-(10-5-1)=-4，
救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，当x=-10时，E(-10，1)，EN=5，MN=20，
Rt△EMN中，EM=EN2+MN2=52+202=517≈21（m），故至少需21m．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，将已知两个点的坐标代入解析式，列二元一次方程组，解方程即可求出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的性质，与x轴相交时，令y=0，解一元二次方程即可求出点F的坐标；根据关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出点G的坐标；
（3）根据实际水位达到最高时，列代数式即可求出此时的水位线即y的值；根据勾股定理，即可求出EM的值.
26．【答案】（1）解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形．
理由如下：
如图，连接EA，CF，设EF与AC交于点M，由折叠可知，
∠AME=∠CME=90°，AM=CM，
∴AE=EC，AF=FC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EC//AF，
∴∠ECM=∠FAM，∠CEM=∠AFM，
∴△ECM≌△FAM，
∴EC=FA，
∴AE=EC=FC=FA，
∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形；
（2）解：①AB'∥CG．
理由如下：
∵折叠，
∴B'G=BG，∠B'GC=∠BGC，
又∠B'GB=∠B'GC+∠BGC，
∴∠B'GB=2∠B'GC，
∵G为AB中点，
∴AG=BG=B'G，
∴∠B'AG=∠AB'G，
又∠B'GB=∠B'AG+∠AB'G，
∴∠B'GB=2∠AB'G，
∴∠AB'G=∠B'GC，
∴AB'∥CG；
②连接BB'交CG于M，
，
∵B'G=BG，
∴∠GB'B=∠GBB'，
又∠B'AG=∠AB'G，∠B'AG+∠AB'G+∠GB'B+∠GBB'=180°，
∴∠AB'G+∠GB'B=90°，即∠AB'B=90°，
∵矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=8，G为AB中点，
∴BG=6，∠B=90°，
∴CG=BC2+BG2=10，
∵折叠，
∴BM=B'M，B'B⊥CG
∵12BG⋅BC=12CG⋅BM，
∴BM=BC⋅BGCG=4.8=B'M，
∴B'B=9.6，
∴AB'=AB2-B'B2=7.2；
（3）解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵折叠，
∴B'C=BC=6，
∵AB'≥AC-B'C，
∴当A、B'、C三点共线时，AB'最小，AB'的最小值为10-6=4．
如图，
设BG=x，则B'G=x，AG=8-x，
在Rt△AB'G中，AB'2+B'G2=AG2，
∴42+x2=(8-x)2，
解得x=3，
∴BG=3．
【解析】【分析】（1） 连接EA，CF，设EF与AC交于点M， 根据折叠的性质和矩形的性质准备条件，证明△ECM≌△FAM可得EC=FA，利用四边相等的四边形是菱形求证即可；
（2）①根据折叠的性质可得∠B'GB=2∠B'GC，根据等边对等角、三角形外角的性质可得∠B'GB=2∠AB'G，进而得出∠AB'G=∠B'GC，再利用平行线的判定求证即可；
②连接BB'交CG于M，根据等边对等角，结合三角形内角和定理证明∠AB'B=90°，再利用等面积法求出BM=B'M=4.8，最后在Rt△AB'B中利用勾股定理求解即可；
（3）连接AC，根据AB'≥AC-B'C确定当A、B'、C三点共线时，AB'最小，并确定其最小值，再设BG=x，在Rt△AB'G中利用勾股定理建立方程求解即可。如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案?
素材1
图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．
某时测得水面宽20m，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2
为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
任务1
确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2
拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3
探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
乙
甲
白
黄1
黄2
蓝1
蓝2
蓝3
白1
白1，白
白1，黄1
白1，黄2
白1，蓝1
白1，蓝2
白1，蓝3
白2
白2，白
白2，黄1
白2，黄2
白2，蓝1
白2，蓝2
白2，蓝3
黄
黄，白
黄，黄1
黄，黄2
黄，蓝1
黄，蓝2
黄，蓝3
蓝
蓝，白
蓝，黄1
蓝，黄2
蓝，蓝1
蓝，蓝2
蓝，蓝3