云南省昆明市第一中学2024届高中新课标高三第九次考前适应性训练数学试卷（原卷版+解析版）

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命题人：昆一中数学命题小组
审题人：杨昆华 彭力 李文清 李春宣 丁菌 王在方 张远雄 李露 陈泳序 杨耕耘
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
4. 已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为4，方差为2，乙组样本数据的平均数为5，则下列说法错误的是（ ）
A. 的值为7
B. 乙组样本数据的方差为18
C. 两组样本数据的样本中位数一定相同
D. 两组样本数据的样本极差不同
6. 已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 对于定义域为函数，若存在区间，使得同时满足：
①在区间上是单调函数；
②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”
已知定义在上的函数有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 作边长为6正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前n个内切圆的面积之和为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A. B.
C. 与成60°角D. 与是异面直线
10. 设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（ ）
A. 直线与圆C可能相离
B. 直线不可能将圆C的周长平分
C. 当时，直线被圆C截得的弦长为
D. 直线被圆C截得的最短弦长为
11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B. 将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C. 将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营最短路程是
D. 将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
三、填空题：本题共3.小题，每小题5分，共，15分.
12. 已知角的终边过点，角的终边与角的终边关于轴对称，则_________.
13. 设为坐标原点，直线与双曲线C：的两条渐近线分别交于两点，若的面积为10，则双曲线C的焦距的最小值为___________.
14. 两个三口之家（父母两人，小孩一人）共6人去旅游，有红旗和比亚迪两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为_________.（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，.

（1）证明：；
（2）若三棱柱的体积为3，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
16. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，.
（1）求；
（2）若，求的值.
17. 某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，表示捕获的有标识的成年鸡的数目.
（1）若，求的数学期望；
（2）已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求的估计值（以使得最大的的值作为的估计值）.
18. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E外，线段与E相交于P，满足，点T在线段上，，且.
（1）若点P的坐标为，证明：；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）在曲线C上是否存在点N，使得面积为，若存在，求的正切值，若不存在请说明理由.
19. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.