广东省深圳市龙华区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1． 答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班 级、姓名和考生号；将条形码横贴在答题卡指定区域．
2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分（选择题，共30分）
一 ． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 下列2024年巴黎奥运会和残奥会运动项目的图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、B、C选项中的图形都能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：D．
2. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、，不等式的两边都加1，得，
即，故本选项不符合题意；
B、，不等式的两边都乘2，得，故本选项符合题意；
C、，不等式两边都乘，得，
不等式的两边都加1，得，故本选项不符合题意；
D、，不等式两边都除以，得，故本选项不符合题意．
故选：B．
3. 以下从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解的定义．将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【详解】解：乘法运算，不是因式分解，则选项A不符合题意；
符合因式分解的定义，则选项B符合题意；
中左右不相等，则选项C不符合题意；
中等号右边不是整式积的形式，则选项D不符合题意；
故选：B．
4. 某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数 字代表该车道车型的最高通行车速（单位：km/h），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：km/h），王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为vkm/h，则车速v的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的定义．由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧两车道标牌上速度，即可得出车速的范围．
【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车，
王师傅应走右侧两车道，
车速的范围是．
故选：C．
5. 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A. 三个内角都是锐角B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角D. 三个内角都不是钝角
【答案】C
【解析】
【分析】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角．
故选：C．
6. “迎五一·赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉茶饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有50元钱，那么他最多能买清凉茶饮料的瓶数为（ ）
A. 16B. 17C. 18D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，利用“总价=单价×数量”，结合总价不超过50元可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【详解】设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，
根据题意得：，
解得：，
又x为整数，
x最大值为17，
即该顾客最多能购买17瓶清凉茶饮料，
故选：B．
7. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B. 三个角都相等的三角形是等边三角形
C. 成中心对称的两个图形中，对应点连线段经过对称中心，且被对称中心平分
D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据角平分线的判定定理、等边三角形的判定定理、中心对称的概念、直角三角形全等的判定定理判断．
【详解】解：A、在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故本选项命题是假命题，符合题意；
B、三个角都相等的三角形是等边三角形，是真命题，不符合题意；
C、成中心对称的两个图形中，对应点连线段经过对称中心，且被对称中心平分，是真命题，不符合题意；
D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
故选：A．
8. 如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以为圆心，为半径画弧①；步 骤 2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；步骤3：连接，交延长线于点．下列结论一定正确的是（ ）
A. B. 点是中点
C. 平分D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，由作法可得垂直平分，从而得出，，再根据三角形面积公式判断即可得出答案．
【详解】解：由作法可得：垂直平分，
，，
，
故选：D．
9. 如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（ ）

A. 45°或75°B. 45°或30°C. 30°或75°D. 45°或60°
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案．
【详解】解：为等边三角形，
，
当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示：

则，
由折叠的性质得：，
②当为直角时，如图2所示：

则，
，
由折叠的性质得：，
综上所述：的度数为或．
故选：A．
10. 如图，在四边形中，，，，，是对角线的中点，连接并延长交边于点．则的长为（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质．过点作交的延长线于点，过点作于点，根据，，得出，推出的长，在中根据斜边上的中线等于等边的一半推出，再根据证明，得出，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点是斜边的中点，
是的斜边上的中线，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
，
故选：B．
第二部分（非选择题，共70分）
二 ． 填空题 （本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 关于的不等式与的解集相同，则 ___________________
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式解的情况求参数，先求出不等式的解集为，再根据解集相同即可得出答案．
【详解】解：解不等式得：，
关于的不等式与的解集相同，
，
故答案为：．
12. 如图，在直角三角形中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 __________
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作于E，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵，，平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
13. 如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 _____________

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的交点与不等式的解集、一次函数的性质，先求出点的坐标，再根据图象即可得出答案．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
，
由图象可得：关于的不等式的解集为，
故答案为：．
14. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，交于．若，则的大小为_________．
【答案】69
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理．首先依据旋转的性质判断出，，是等腰三角形，然后依据，解答即可．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，若，
，
，是等腰三角形，
，
在中，，
，
故答案为：69．
15. 如图，已知在等腰三角形中，，，是边上的中线，点是上的点．当时，线段的长度为 _________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，延长交于，过点作于，由等腰三角形的性质可得，，求出为等腰直角三角形，得出，求出为等腰直角三角形得出，由角平分线的性质定理得出，结合，计算即可得解．
【详解】解：如图，延长交于，过点作于，
，
，是边上的中线，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
三 ．解答题（本大题共7小题，共55分）
16. 解不等式：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式．去分母，移项、合并同类项，系数化为1即可．
【详解】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
17. 解不等式组并在数轴上表示它的解集
【答案】；数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集．按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
．
18. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中A（1，1）、B（4，4）、C（5，1）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2；
（3）连CB2，直接写出点B2、C2的坐标B2： 、C2： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（4，﹣2），（1，﹣3）．
【解析】
【分析】(1)分别画出A、B、C的对应点A1,B1,C1即可
(2)分别画出A、B、C的对应点A2, B2, C2即可
(3)根据B2, C2的位置写出坐标即可;
【详解】解：（1）的△A1B1C1如图所示．
（2）的△A2B2C2如图所示．
（3）B2（4，﹣2），C2（1，﹣3），
故答案为（4，﹣2），（1，﹣3）．
【点睛】此题考查作图-旋转变换和平移变换，掌握作图法则是解题关键
19. 如图，是的角平分线，交延长线于点D．
（1）求证：；
（2）过A作交于F，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质．
（1）根据角平分线的定义结合平行线的性质求得，再利用等角对等边证明；
（2）证明，利用勾股定理求解即可．
小问1详解】
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵于点A，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，
∴，
∴，
∴在中，，
代入，
∴．
20. 五一假期，两位老师计划带领若干学生去古镇参与社会实践，他们联系了报价均为每人200元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师与学生都按照七折收费．
（1）设总人数为x人，选择甲旅行社时，所需费用为元，选择乙旅行社时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式．
（2）若学生人数不超过10人，为了减少花销，他们应该如何选择旅行社？
【答案】（1）；
（2）当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人不超过12人，甲旅行社花销较少．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用．分类探讨选择花销较少的旅行社是解决本题的难点．
（1）甲旅行社所需费用两位老师的费用学生人数；乙旅行社所需费用总人数，把相关数值代入后化简即可；
（2）分别算出，，时对应的的值，即可根据人数判断出花销较少的旅行社．
【小问1详解】
解：；
；
【小问2详解】
解：①．
．
解得：；
②．
．
解得：；
③．
．
解得：，
学生人数不超过10人，老师有2人，
．
答：当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人不超过12人，甲旅行社花销较少．
21. 【项目式学习】
【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？
【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习．
任务一：查阅资料
小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换． 因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等变换、全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称．全等变换前后的两个几何图形是全等形 ．
素材二：在平面直角坐标系中，若已知，则的面积可以表示为；
任务二：特例验证
（1）小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点， 点与原点O 构成的三角形面积 ① ，并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程：如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设都在第一象限，且，．过点A作x轴的平行线l，交y轴 于C点，过点B 作y轴的平行线m，交x轴于D点，I与m交于点E，则E点坐标为 ② 因为与与是直角三角形，四边形是矩形，所以整理得，由于位置可以互换，所以的面积可以统一表示为；
任务二：迁移推广
小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一 个顶点变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角形的面积与原三角形的面积相等，
例如：已知，可将进行平移变换，使得点C平移至原点，A的对应点为，B的对应点为，从而计算出的面积；也可以通过旋转变换的方法，将绕某一点旋转，使得点C 变换到原点O，A的对应点为，B的对应点为，从而也可以计算出的面积，
（2）经过画图分析，可知的坐标为 的坐标为 ，的面积
任务三：实践应用
（3）已知，C是直线上的动点，当的面积为3时，求C点坐标．
【答案】（1）5，，；（2），，；（3）C的坐标为或
【解析】
【分析】（1）由题意知，，E点坐标为；根据，作答即可；
（2）如图，由平移可得A的对应点，B的对应点；由旋转可求，根据，计算求解即可；
（3）设，当平移到，A的对应点为，B的对应点为，根据，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
E点坐标为；
，
故答案为：5，，；
（2）解：如图，
∵，
∴点C平移至原点，即向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴A的对应点，B的对应点；
∵ 旋转变换到原点O，
∴旋转中点为的中点，
∴的中点也为，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（3）解：设，
当平移到，
∴A的对应点为，B的对应点为，
∴，
整理得，，
解得，或，
∴C坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，点坐标的平移，中心对称的性质，一次函数等知识．熟练掌握坐标与图形，点坐标的平移，中心对称的性质，一次函数是解题的关键．
22. 如图1，在中，，，，点是上一点，，点在上从点平移至点，过点作，交射线于点．将绕点顺时针旋转至，的对应点为，的对应点为，连接．
（1）的大小是 ，的大小是
（2）如图2，当，，三点共线时，求平移的距离；
（3）连接，当是等腰三角形时，求平移的距离．
【答案】（1），
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由旋转的性质可求出的度数；
（2）当，，三点共线时，如图，过作于．由直角三角形的性质可得出答案；
（3）分三种情况，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：，，
；
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，，
，
绕点顺时针旋转到，
，，
，
当，，三点共线时，如图，过作于．
，，
设，
则，，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，连接，当时，，
，
，
设，
则，
，
，
当时，由上可知，
，
当，显然不成立．
综上，或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，熟练掌握等腰三角形的判定和性质．