2024年湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列实数中，最大的是（ ）
A. B. C. 0D.
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各运算中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 第24届冬季奥林匹克运动会已经画上圆满句号，北京成为历史上首座“双奥之城”，再一次见证了竞技体育的荣耀与梦想，凝聚了人类社会的团结与友谊，2022年2月4日的北京冬奥会开幕式在全国44个上星频道播出，收看电视直播观众规模约为人，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
7. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在一艘小船A上测得海岸上高为的灯塔的顶部C处的仰角是，则船离灯塔的水平距离等于（ ）
A. B. C. D.
9. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴为直线
C 与y轴交于点D. 与x轴有两个交点
10. 如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 分解因式：______．
12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是_________．
13. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为__________．
14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为________．
15. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____．
16. 如图，已知是的直径，点E是上一点，F为的中点，过点F作E的垂线，垂足为C，交的延长线于点D，连接．若，，则的长为________．
三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）
17 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在中，，．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
20. 我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加安全知识竞赛．从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．

请根据图中信息，解决下列问题：
（1）填空：；
（2）补全频数直方图；
（3）我校共有3000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则我校安全意识不强的学生约有多少人？
21. 如图，在边长为4正方形ABCD中，E为CD中点，F为AD中点，AE与BF交于点G．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）连结BE，记BE中点为H，求GH的长．
22. 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
23. 如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E．

（1）求证：；
（2）当时，求的长度．
24. 定义：有两个内角和为的三角形为“美好三角形”．
（1）判断下列三角是否为“美好三角形”，如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”；
①有一个角为的直角三角形；（ ）
②有一个角为的直角三角形；（ ）
③有一个角为的三角形；（ ）
（2）如图①，直线：与双曲线：相交于点M，点N在x的正半轴上，若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标；
（3）如图②，二次函数：的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在内部，连接，当均为“美好三角形”，此时的面积为，的面积为，的面积为，当时，求和的表达式（用含m的式子表示）
25. 如图，在中，弦于H，线段为直径，连接，过点B作交的延长线于E，连接并延长交于点F，且连接．
（1）求证：四边形菱形；
（2）求证：；
（3）已知的外接圆半径是3．
①若，求的长；
②当为何值时，的值最大？