北京市首都师范大学附属中学第一分校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份北京市首都师范大学附属中学第一分校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共22页。
2．在试卷上准确填写姓名、考场号和座位号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题（本题共20分，每小题2分）
1. 4的算术平方根是（ ）
A. -2B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】4的算术平方根是2．
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．
2. 如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 垂线段最短
【答案】D
【解析】
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段；直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂线段最短．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
因此，沿开渠，能使所开的渠道最短．
故选：D．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【点睛】本题考查的是点到直线的距离的含义，垂线段最短的应用，熟记概念是解本题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】∵点P的横坐标为负，纵坐标为正，
∴该点在第二象限．
故选B．
4. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 邻补角是互补的角B. 相等的角是对顶角C. 同旁内角互补D. 负数没有立方根
【答案】A
【解析】
【分析】根据邻补角的概念、对顶角的性质、平行线的性质以及立方根的概念判断即可．
【详解】解：A、邻补角是互补的角，是真命题，符合题意；
B、相等角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、负数有立方根，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了邻补角的概念、对顶角的性质、平行线的性质以及立方根，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
5. 已知是二元一次方程ax+y=2的一个解，则a的值为（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】把代入方程得：2a+4=2，
解得：a=-1，
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6. 如图，能判定的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过角相等判定两直线平行，则判断两角是否能推出同位角或内错角相等即可．
【详解】解：∵只有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补才能判断两直线平行，
选项D中是内错角相等，故能判定两直线平行，其他选项不符合判定定理，无法判断．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．
7. 二元一次方程组的解（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先用加减消元法求出y的值，再代回第一个方程求出x的值即可．
【详解】解：，
①−②得：，解得：，
将代入①可得：，解得：，
∴方程组的解为：，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组加减消元法是解答此题的关键．
8. 下列运算中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
【详解】解答：解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9. 如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图形可得轴，，轴，可求正方形的边长，即可求解．
【详解】解：如图：
∵顶点M、N的坐标分别为、，
∴轴，，轴，
∴正方形的边长为3，
∴，
∴，
∵ ，
∴轴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确求出点B的坐标是本题的关键．
10. 如图，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝45°，则∠H为（ ）
A. 22°B. 22.5°C. 30°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】过作，过作，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：过作，过作，
，
，
，，
，，
，，，
，
．
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答．
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11. 在某个电影院里，如果用表示排号，那么排号可以表示为__________．
【答案】（2，7）
【解析】
【分析】根据用（3，13）表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，进而可得答案．
【详解】解：∵（3，13）表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，
∴2排7号可以表示为（2，7），
故答案为：（2，7）．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，关键是掌握每个数表示的意义．
12. 将点向右平移三个单位，得到点，则的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化，掌握根据“左右平移只改变点的横坐标，左减右加”得出坐标是解题的关键．
【详解】解：∵将点向右平移三个单位，得到点，
∴点的坐标为，即，
故答案为：．
13. 若，则________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据平方根的性质可知：，则x=．
14. 如图，将含有的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果，那么______°．
【答案】40
【解析】
【分析】首先根据题意求出，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵
∴
∵
∴．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
15. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是______．

【答案】点P
【解析】
【分析】估算的大小，进而确定的整数位，从而确定点的位置．
【详解】∵
∴，
∴
故答案为：点P．
【点睛】本题考查无理数的估算，用数轴上点表示数，利用算术平方根估算无理数是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 ______．
【答案】1
【解析】
【详解】根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
【解答】解：因为点在y轴上，
所以，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键.
17. 实数a，b满足，则的值为___________．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性和偶次幂的非负性得a﹣1＝0，2a＋b＝0，先求出a的值，再求出b的值可．
【详解】解：∵≥0，≥0，
∴a﹣1＝0，，
解得a＝1，b＝﹣2，
故答案：﹣2．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和偶次幂的非负性，根据非负数之和等于0时，各项都等于0，这是解题的关键．
18. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据原方程组得：，得出,根据，得出，求出k的值即可．
【详解】解：，
得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，得出．
19. 若，那么代数式______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程组的特点由，得，进而即可求解．
【详解】根据题意，得
由，得
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
20. 如图，，，，则__________°．
【答案】20°
【解析】
【分析】作辅助线CF∥AB，平行的性质得出同位角和内错角相等即可求得∠CDE．
【详解】
过点C作CF∥AB，则CF∥AB∥ED
∵CF∥AB
∴∠CAB+∠ACF=180°
又∴∠CAB=125°，∠ACD=75°
∴∠ACF=55°，∠FCD=20°
∴∠FCD=∠CDE=20°
【点睛】此题考查了平行的基本性质，解题的关键是作平行线再根据平行线的性质解题．
三、解答题（本大题共60分）
21. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，结合平方根、立方根、化简绝对值的知识，熟练掌握知识、正确计算是解题的关键．
（1）先计算平方根，再加减计算即可；
（2）先去括号、化简绝对值、求立方根，再加减计算即可；
（3）先计算平方根、立方根、化简绝对值，再加减计算即可；
（4）先计算平方根、立方根、平方、化简绝对值，再加减计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
22. 求下列各式中的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）
【解析】
【分析】（1）利用平方根解方程即可，
（2）利用立方根解方程即可，
（3）利用平方根解方程即可，
（4）利用立方根解方程即可，
本题考查平方根，立方根，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根的定义，会利用平方根和立方根解方程．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴或，
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
23. 解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，一般步骤为“变形，将两个方程中其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）；加减，通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；求解，解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；回代，将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；写解，写出方程组的解”，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤、正确计算是解题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（3）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（4）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
，得：，
，的：，
解得：，
把代入②，得：，
解得：，
方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
，得：，
，得：，
解得：，
把代入②，得：，
解得：，
方程组的解为；
小问3详解】
解：，
，得：，
，得：，
把代入①，得：，
解得：，
方程组的解为；
【小问4详解】
解：，
，得：，
，得：，
解得：，
把代入②，得：，
解得：，
方程组的解为．
24. 如图，，．求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵，
∴___________．（理由：___________）
∵，
∴___________，（理由：___________）
∴．（理由：___________）
【答案】，两直线平行，内错角相等；，等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】先证明，再证明，从而可得结论．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（ 等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；，等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，掌握“平行线的性质与平行线的判定方法”是解本题的关键．
25. 已知：直线，为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上．，为直线上的两个动点，点在点的左侧，连接，，满足．点在上，且在点的左侧．
（1）如图1，若，，直接写出的度数＿＿＿＿；
（2）射线为的角平分线．
①如图2，当点在点右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②当点与点不重合，且时，直接写出的度数＿＿＿＿
【答案】（1）
（2）①，证明见解析；②或
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得到，，再利用角的等量代换换算即可；
（2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分“当点在点右侧时”、“当点在点左侧，点在点右侧时”、“当点和点在点左侧时”，三种情况分类讨论，运用角的等量代换换算即可．
【小问1详解】
解：如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①．
证明：如图，设在上有一点在点的右侧，设，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②如图，当点在点右侧时，
由①得：，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
如图，当点在点左侧，点在点右侧时，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图，当点和点在点左侧时，设在上有一点在点的右侧，
∵为角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
又∵，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：
若O，A，B在一条直线上；
若O，A，B不在一条直线上．
已知点A坐标为点B坐标为，回答下列问题：
（1）______；
（2）若，，则点P坐标为_______ ；
（3）在图中画出所有满足的点P，并说明理由．
（4）若一个正方形中任意一点P都满足，则称这个正方形为正规正方形．请直接写出包含点O的正规正方形面积的最大值：________．
【答案】（1）8 （2）或
（3）一三象限的角平分线，二四象限的角平分线，理由见解析
（4）2
【解析】
【分析】（1）根据题中的定义直接回答即可；
（2）由可得点P在x轴上，由可得，据此求出点P的坐标；
（3）根据可得点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，据此画出图像即可；
（4）条件相当于，满足条件的点的全体是一个正方形，据此解答即可
【小问1详解】
∵点A坐标为点B坐标为，
∴，
故答案为：8；
【小问2详解】
∵，
∴点P在x轴上，
∵
∴，
设，
∴，
解得：，
∴P或
故答案为：或
【小问3详解】
点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，作图如下：
理由：设点P坐标为，
那么，
所以．
因此或，
即为一三象限和二四象限的角平分线；
【小问4详解】
设点P坐标为，
∵，
∴，
∵满足条件的点的全体是一个正方形，且面积为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，解题的关键是读懂“关联值”的定义，数形结合解决问题．