海南省2023-2024学年高三学业水平诊断（五）数学试题

这是一份海南省2023-2024学年高三学业水平诊断（五）数学试题，共8页。试卷主要包含了在的展开式中，的系数为，若正实数a，b满足，则等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，若，则（ ）
A．－1B．0C．1D．2
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
4．在的展开式中，的系数为（ ）
A．30B．20C．10D．－10
5．在中，的平分线与对边交于点，若的面积为的2倍，且，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
6．在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立．现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ）
A．0.125B．0.1C．0.075D．0.05
7．如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱上，，点满足，若平面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为右支上的一点，满足，以点为圆心、为半径的圆与线段相交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若正实数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为1
C．的最小值为D．的取值范围为
10．已知抛物线的焦点为F，C上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的准线方程为
C．圆的标准方程为
D．若过点，且与直线为坐标原点）平行的直线与圆相交于A，B两点，则
11．在四面体中，都是边长为6的正三角形，棱与平面所成角的余弦值为，球与该四面体各棱都相切，则（ ）
A．四面体为正四面体
B．四面体的外接球的体积为
C．球的表面积为
D．球被四面体的表面所截得的各截面圆的周长之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若定义在上的奇函数满足：当时，，则______．
13．如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为2，位移与时间满足函数
，点在该函数的图象上，且位置如图所示，则______．
14．若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）若函数为的导函数），讨论的单调性．
16．（15分）
某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘．招聘分为初试与复试．初试为笔试，已知应聘者的初试成绩．复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败．若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功．
（I）估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数；
（II）若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率．
附：若随机变量，则．
17．（15分）
如图，已知线段为圆柱的三条母线，AB为底面圆的一条直径，是母线的中点，且．
（I）求证：平面DOC；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值．
18．（17分）
已知椭圆的离心率为，斜率为且在轴上的截距为1的动直线与交于两点，当时，直线过的右顶点．
（I）求的方程；
（II）设为线段AB的中点，过作直线交轴于点，直线交轴于点，的面积分别记为，若，求的取值范围．
19．（17分）
已知数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为．
（I）若为1，2，3，6，写出集合，并求的值；
（II）若为1，3，a，b，且，求和集合；
（III）若是递增数列，且项数为，证明：“”的充要条件是“为等比数列”．
海南省2023～2024学年高三学业水平诊断（五）
数学・答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．B 2．A 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BC 10．ACD 11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．－113． 14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解析（I）当时，，所以，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（II）因为，所以，
所以，所以．
①若，则，所以在上单调递减；
②若，则当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．
16．解析（I）因为，
所以．
因为，所以，
估计10000名应聘者中初试成绩位于内的人数为．
（II）设复试时小王通过第一关的概率为，通过第二关的概率为，通过第三关的概率为．
由题意可得，
所以小王应聘成功的概率．
17．解析（I）连接．因为为底面圆的直径，所以为的中点，．
又因为，所以．
由圆柱的性质知平面，而平面，所以．
又，且平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为为母线的中点，
所以，所以，则．
又平面，且，所以平面．
（II）连接，易知平面，所以以为坐标原点，
以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，则
令，得．设平面与平面的夹角为，
则，故平面与平面的夹角的余弦值为．
18．解析（I）设的半焦距为，当时，
直线的方程为，令，得，所以．
又的离心率为，所以，所以．
因为，所以，故的方程为．
（II）由题可知直线的方程为，设．
联立消去并整理，得，
则，
，
所以，则线段的中点的坐标为．
对于直线，令，可得，
所以，
所以．
令，则，
而，所以在上单调递增，所以，
故的取值范围为．
19．解析（I）因为，
所以集合．
（II）因为为，且，所以互不相等，
所以都是集合中的元素．因为，所以，解得，
所以为，所以．
（III）充分性：若是递增的等比数列，设的公比为，当时，，
所以，且，故充分性成立．
必要性：若是递增数列，且，则，
所以，且互不相等，又因为，
所以，且互不相等，
所以，所以，
所以，所以为等比数列，故必要性成立．
综上，“”的充要条件是“为等比数列”．