福建省福州第一中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份福建省福州第一中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了下列各式运算结果为的是，已知甲、乙两地相距s，如图，在中，，，等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算的结果是（ ）
A．B．2C．6D．
2．中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A． B． C． D．
4．下列各式运算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
6．为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A．9.6B．9.7C．9.8D．9.9
7．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． 且C． D． 且
8．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点 在外时，的值可能是（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在处，连接．已知，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二，填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．因式分解： ．
13．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ．
14．如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ．
15．如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为 ．
16．已知二次函数，点，，都在这个二次函数的图象上，且，则的取值范围是 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解不等式组：
19．如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．
20．《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校组织全体学生参加包饺子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个饺子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为 ，表中的值为 ；
(2)本次调查中，等级为的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙与相切，求的度数；
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积
23．根据以下思路，探究并完成任务．
24．已知抛物线（其中为常数且）与轴交于和两点，与轴交于点．连接，线段的垂直平分线交抛物线的对称轴于点轴上存在一点（异于点）使得．
(1)用含的式子表示；
(2)求点的坐标；
(3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，，，的周长记为，的周长记为，试求的值．
25．在中，，．是平面上的一点，且，连接．将点绕点逆时针旋转得到点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，在同一条直线上，延长交于．
①求证：；
②求证：四边形是平行四边形；
(2)当四边形为矩形时，求的长；
(3)直接写出的最小值为 ．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查有理数减法运算，理解有理数减法法则是解题的关键．即减去一个数等于加上这个数的相反数．根据有理数减法法则计算即可．
【解答】解：，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）．
【解答】解：，
故选：A．
3．D
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．B
【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解答】解：根据题意有：v•t＝s，
∴，
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像在第一象限，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
6．C
【分析】根据中位数的概念分析即可．
【解答】解：将数据按照从小到大的顺序排列为：9.6，9.7，9.8，9.9，10，则中位数为9.8．
故选：C．
【点拨】本题主要考查中位数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．
7．B
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且．
故选：B．
【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，熟知的半径为r，点P到圆心的距离，则有∶①点P在圆外②点P在圆上；③点P在圆内是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论
【解答】解：在中，，，，
，
当点在内且点在外时，
，
的值可能是8．
故选：B．
9．B
【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．
【解答】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，
根据题意，可列方程：，
故选：B．
【点拨】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
10．B
【分析】连接，利用菱形的性质得到为等边三角形，推出，利用折叠的性质得到，，推出，，得到若以为圆心，为半径画圆，则、、、都在圆上，根据圆周角定理即可得到的度数．
【解答】解：连接，
四边形是菱形，
，
沿直线翻折得到，
，，
，，
，，，
为等边三角形，，
，
，
若以为圆心，为半径画圆，则、、、都在圆上，
，
故选：B．
【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，折叠的性质，圆周角定理，解题的关键在于作辅助线证明为等边三角形，得到、、、四点共圆．
11．
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0，进而得出答案．
【解答】解：式子在实数范围内有意义，则，
解得：．
故答案为：．
12．
【解答】解：=；
故答案为
13．
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
【解答】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得，
故答案为：．
【点拨】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
14．
【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同．
【解答】由一次函数图像得，当y>3时，，
则y=kx+b>3的解集是．
【点拨】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．
15．
【分析】连接，由点是的中点得到，，由勾股定理得到，求出，，，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接，
点是的中点，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
阴影的面积，
故答案为：．
【点拨】本题考查了扇形面积的计算，平移的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握扇形面积的计算公式是解答本题的关键．
16．或
【分析】本题考查了二次函数性质，以及解一元一次不等式，解题的关键在于利用分类讨论的思想分析不同的可能性，先根据，的纵坐标相等得到二次函数对称轴，再根据，结合二次函数的增减性进行分类讨论，建立不等式进行求解，即可解题．
【解答】解：，都在二次函数的图象上，
二次函数的对称轴为直线，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
当时，，
二次函数图象与轴交于，
关于对称轴对称的坐标为，
，
，解得，
①当，都在对称轴左侧时，
，随的增大而减小，
，解得，
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
即到对称轴距离小于到对称轴距离，
，解得，
即，
故答案为：或．
17．1
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简计算即可．
【解答】
．
【点拨】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解每个不等式，再得出不等式组的解集即可，正确计算是解题的关键．
【解答】解：，
去括号得：，
移项得：，
解得：；
，
左右同乘以得：．
移项得：，
解得：，
故不等式组的解集为：．
19．证明过程见解析
【分析】先由四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠C，AB=CD，进而根据BE=DH得到AE=CH，最后再证明△AEF≌△CHG即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
20．(1)，
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法，频数分布表与直方图获取数据，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
（1）用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用除以总人数得到的值；
（2）画树状图展示所有种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】（1）解：∵组人数为人，所占百分比为，
∴总人数为（人），
∴，
故答案为：，；
（2）解：画树状图如图所示，

∴一共有种情况，其中恰有一男一女的有种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．(1)证明见解答
(2)
(3)作图见解答
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明；
（2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解；
（3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论．
【解答】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵与相切，
∴，
又∵，
∴．
（3）如下图，点就是所要作的的中点．
【点拨】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．
22．(1)，
(2)8
【分析】本题考查了反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题、平行线分线段成比例定理、反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键．
（1）根据、点的坐标，求出的解析式，再通过比例关系解出点的坐标，可得反比例函数表达式；
（2）过作轴，垂足为点，列方程求出点的坐标，再根据即可求出的面积．
【解答】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
∴将、代入得：，
解得：，，
∴，
如图，过点作轴，垂足为，则，
又∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，整理得，
，
解得：，，
，
∴，，
如图，连接、，过作轴，垂足为点，
∵，
∴
．
23．任务1：，；任务2：见解析；任务3：见解析
【分析】任务1：根据角的三角函数值、“角所对直角边等于斜边的一半”，推出，求解即可；利用证明，得出，推出点、、在同一直线上，根据轴对称、“角所对直角边等于斜边的一半”、勾股定理，得出，，根据，计算即可；
任务2：根据“角所对直角边等于斜边的一半”、勾股定理，求出，，计算，推出，根据，计算即可；
任务3：利用、结合直角三角形，构造出图形，利用、角的三角函数值，求出直角三角形中，角所对直角边和相邻直角边，计算出的值即可．
【解答】解：任务1：法1中，，，为的角平分线，过作于，
∴，，
，，，
∴，
∴，
，
，
∴；
法2中，在中，，，，为的角平分线，作点关于的对称点，
∴垂直平分，即，，，
，，，
又∵，
∴，
∴，
∴点、、在同一直线上，
∴．
故答案为：，；
任务2：∵，，，
∴，，
∵延长至，使，
∴，，
∴，
∴；
任务3：如图，在中，，，，于点，

∵，，，，
∴，，
，，，
∴，
∴，
，
∴．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形、特殊角的三角函数值、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理和计算、构造图形求解是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把代入中即可得到答案；
（2）根据（1）所求得到，再求出抛物线对称轴为直线，则；设，，线段垂直平分线的性质得到，则由勾股定理得到，据此推出，则，再由，得到点P在线段的垂直平分线上，设点D的坐标为，则，据此可得；
（3）根据（2）所求，先求出，进而利用勾股定理分别求出两个三角形的三边长，再由三角形周长公式求出，进而求出对应的比值即可．
【解答】（1）解：把代入中得，
解得；
（2）解：由（1）得；
∴抛物线解析式，
在中，当时， ，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，，
∴；
∵线段的垂直平分线交抛物线的对称轴于点，
∴设，，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点P在线段的垂直平分线上，
设点D的坐标为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，抛物线对称轴为直线，点关于抛物线对称轴的对称点为点，
∴；
∵，，
∴，
，

，
∴；
∵，
∴ ，
，

，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，线段垂直平分线的性质等等，熟知两点距离计算公式是解题的关键．
25．(1)①答案见解析②答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）①由得到，结合，即可求证，②由旋转的性质得到，结合，得到，由，，，即可求证，
（2）由旋转的性质与勾股定理得到，，，设，根据矩形的性质得到，，在中，根据勾股定理得到，代入，即可求解，
（3）作正方形，及中点，由，得到，由，，，得到，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据三角形三边关系，即可求解，
本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：连接辅助线，构造全等、相似三角形．
【解答】（1）解：①点绕点逆时针旋转得到点，
，，
在与中
，
，
，
，
；
②点绕点顺时针旋转得到点，
，
由第①问得：，
，
，
由第①问得：，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：如图：
点绕点逆时针旋转得到点，
，，
，
在中
，
点绕点顺时针旋转得到点，
设，
四边形为矩形，
在中，
，即，
解得：（舍去），
，
（3）解：过点、分别作、的平行线，交于点，连接，在上取，使,连接、,
∵，，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即：，
在中，，
在中，，当点在线段上时，取得最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
等级
如何计算出的值？
思路1（利用角平分线的对称性）
【法1】如图1，在中，，，，为的角平分线，过作于，计算出或的长就可计算出的值；
【法2】如图2，在中，，，，为的角平分线，作点关于的对称点，连接，，延长交于可得，计算即可解决问题．

思路2（利用等腰三角形顶角的外角的性质）
【法3】如图3，在中，，，，延长至，使，可得，计算即可解决问题．

问题解决
任务1
执行思路1
法1中计算出 ；法2中计算出 ．
任务2
执行思路2
请写出利用法3解决问题的完整过程．
任务3
拟定不同于思路1和思路2的方案，并执行
思路1和思路2可以看作是在三角形中通过构造半角（是的一半）计算的值，请你利用常用的特殊角（、、）的差来计算的值，请画出图形并写出简要步骤．