辽宁省辽东南名校2024届高三下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省辽东南名校2024届高三下学期开学考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( ).
A.B.C.D.
2．复数的虚部为( ).
A.-2B.2C.-1D.1
3．双曲线的渐近线方程为( ).
A.B.C.D.
4．已知，，则( ).
A.B.C.D.
5．已知点M是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同．已知第一日织布5尺,30日共织布390尺,则该女子织布每日增加_______尺( )
A.B.C.D.
7．将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种B.10种C.9种D.8种
8．已知椭圆的离心率为,直线与圆相切,则实数m的值是( )
二、多项选择题
9．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.的最小正周期为
B.函数在上单调递增
C.将函数图像的横坐标缩短为原来的一半,再向左平移个单位后关于轴对称
D.函数在上的最小值为
10．已知正方体的棱长为a,点E,F,G分别棱,,的中点,下列结论正确的是( )
A.平面B.四面体的体积等于
C.与平面所成角的正切值为D.平面
11．已知函数是R上的奇函数,对于任意,都有成立,当时,则下列结论中正确的是( )
A.B.函数在上单调递增
C.函数在上有3个零点D.点是函数的图象的一个对称中心
三、填空题
12．据统计,某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为,现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人,若青年旅客抽到60人,则_______________.
13．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上,若,,,,则球O的表面积为___________.
14．已知函数,若且,则的取值范围为___________.
四、解答题
15．已知函数,.
（1）当时,求曲线在点处的切线的方程
（2）若曲线与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.
16．某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召,开展了“学党史,强信仰,跟党走”的主题学习活动.在一次“党史”知识竞赛活动中,给出了A、B、C三道题,答对A、B、C分别得2分、2分、4分,答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为、、,乙同学答对问题A、B、C的概率均为,甲、乙两位同学都需回答这三道题,且各题回答正确与否相互独立.
（1）求甲同学至少有一道题不能答对的概率;
（2）请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中,哪位同学得分高.
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面ABCD,,点E是棱PB中点.
（1）证明:平面平面PBC.
（2）若,求二面角的余弦值.
18．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2．
（1）求点P的坐标及抛物线C的方程;
（2）若点M、N在抛物线C上,且,求证：直线MN过定点．
19．对于给定的正整数m和实数α,若数列满足如下两个性质：①;②对,,则称数列具有性质.
（1）若数列具有性质,求数列的前10项和;
（2）对于给定的正奇数t,若数列同时具有性质和,求数列的通项公式;
（3）若数列具有性质,求证：存在自然数N,对任意的正整数k,不等式均成立.
参考答案
1．答案：C
解析：由题设，，而，
∴.
故选：C.
2．答案：C
解析：，故虚部为-1.
故选：C
3．答案：A
解析：因为双曲线，所以，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
4．答案：D
解析：解：由，得，
所以，即，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
故选：D
5．答案：C
解析：如图所示,
由题意可得：点M所在的圆的方程为：
设点,,
由
,
故选：C．
6．答案：B
解析：由题意,可知该女子每日织布数呈等差数列,
设等差数列为的公差为d,其中首项,,
可得,解得.
故选：B．
7．答案：A
解析：第一步,为甲地选一名老师,有种选法;
第二步,为甲地选两个学生,有种选法;
第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法,故不同的安排方案共有种,
故选：A．
8．答案：B
解析：由题意知,,则,直线,即,代入得,,由解得．
故选：B．
9．答案：AB
解析：,故最小正周期为,A正确;
当时,,而当时,单调递增,故B正确;
将函数图象的横坐标缩短为原来的一半,得到,再向左平移个单位,得到,不关于y轴对称,故C错误;
当时,,故,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABC
解析：对于A,正方体中,,,又,
平面,平面,,
同理,,又,平面,故A正确;
对于B,以D为原点,建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
设平面的法向量,
则,取,得,1,,
到平面的距离,
四面体的体积：
．故B正确;
对于C,,,,
平面的法向量,0,,
设与平面所成角为,
则,
,,
与平面所成角的正切值为,故C正确;
对于D,,,,,,
设平面的法向量,
则,取,得,
,与平面不平行,故D错误．
故选：ABC．
11．答案：AD
解析：由,令,得,
又函数是R上的奇函数,则,故A正确;
由,得,则周期为,
作出函数的部分图象,如图所示：
由图象知：函数在上单调递增,又,在2处不连续,
则函数在上不单调,
由,,,
则函数在上有7个零点,故BC错误;
因为是函数的一个个对称中心,则也是函数的一个对称中心,故D正确;
故选：AD.
12．答案：200
解析：青年旅客抽到60人,则老、中年旅客的人数分别为和,
故.
故答案为：200.
13．答案：
解析：如图所示：
因为,,,则,
所以,的中点分,别为,的外接圆的圆心,
所以直三棱柱的外接球的球心是的中点,
所以其半径,
所以球的表面积.
故答案为：.
14．答案：
解析：画出的图象如图：
,且,
且,,
,即, ,,
由图象得在上为减函数,
,
的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）当时,,,
,,
曲线在点处的切线的方程为.
（2）由得,,
当时,,函数在R上单调递增,
此时,,
所以当时,曲线与x轴有且只有一个交点;
当时,令得,,
,,单调递增,,,单调递减,
当时,函数有极大值,
若曲线与x轴有且只有一个交点,
则,解得,
综上所述,当或时,曲线与x轴有且只有一个交点.
16．答案：（1）;
（2）乙同学的得分高
解析：（1）设甲同学三道题都答对的事件为A,则,
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
（2）设甲同学本次竞赛中得分为X,则X的可能取值为0,2,4,6,8分,
则,,
,
所以X的概率分布列为：
所以（分）
设乙同学本次竞赛中得分为Y,由Y的可能取值为0,2,4,6,8分
,,
,
所以Y的概率分布列为：
所以
由于,
所以乙同学的得分高.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明:因为底面ABCD,平面ABCD,所以.
四边形ABCD为矩形,所以,因为,所以平面PAB.
从而,因为,点E是棱PB的中点﹐所以.
因为,所以平面PBC.
又因为平面ACE,所以平面平面PBC.
（2）以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
如图所示,依题意可得,,,,,,,
设平面ACE的法向量为,由,得
不妨令可得.
设平面CED的法向量为,由,得
不妨令,可得.
易知二面角为锐角,,
所以二面角的余弦值为.
18．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）抛物线的焦点,准线为,
因为点到其焦点距离为2,
所以,解得,
所以抛物线的方程为,
因为点在抛物线上,
所以,解得,
所以,
综上,P点坐标为,抛物线的方程为．
（2）证明：设直线MN的方程为,
,,
联立,得,
所以,,
所以,
同理可得,
因,
所以,
所以,
所以,即（满足）,
直线MN的方程为,
所以直线MN过定点．
19．答案：（1）5
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）由题意得：,,则当为奇数时,,当为偶数时,,所以数列前10项和;
（2）由题意得：,,对于给定的正奇数t,,对,,则令,,得：,,综上：为常数列,由可得：
（3）要证,只需证,
即证,令数列,由于具有性质,
即,对,,则,对,,所以具有性质,
令,设,,的最小值为,对,
令,p,,,由于具有性质,则有,
所以,
所以,所以成立.
X
0
2
4
6
8
P
Y
0
2
4
6
8
P