北京市清华大学附属中学官庄学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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数学学科（八年级下）
满分100分 考试时间：90分钟
一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、=，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键．
2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. ，2C. 6，8，10D. 1，
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
详解】解：A、由于22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、由于，能构成直角三角形，故本选项正确；
D、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意．
故选择：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可．
【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得再结合计算即可解答．
【详解】解：如图，
∵在中，，



故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．
5. 如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点的符号后，点所表示的数是距离原点的距离．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出点的坐标．
【详解】解：图中直角三角形的两直角边为，，
斜边长为，
那么和之间的距离为，
那么的值是：，
故选：D．
6. 下表是甲、乙两名同学八次射击测试成绩，设两组数据的平均数分别为，，方差分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】首先依据平均数计算公式分别计算出，，即可判断其大小；再依据方差的计算公式分别计算甲、乙的方差即可作出判断．
【详解】解：，
，
，
，
，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式．
7. 下列式子：①②③④⑤其中y是x的函数的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是函数的概念，根据函数的定义进行判断即可，掌握函数的定义是解题的关键．
【详解】解：①，是的函数；
②，不是的函数；
③，是的函数；
④，当取一个值时，有两个值与之对应，故不是的函数；
⑤．是的函数；
所以其中是的函数的个数是3，
故选：．
8. 如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
A. 3B. C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题中条件可判定EF是中位线，可得，当动点N与点B重合时，DN值最大，，此时EF长度取最大值．
【详解】解：如图，连接DN，
∵点E、F分别为、的中点，
∴EF是中位线，，
当动点N与点B重合时，，此时DN长度取最大值，即此时EF长度取最大值．
∵，，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线性质，用勾股定理解三角形，理解长度的最大值就是求DN长度最大值是解题关键．
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
9. 在函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式的性质；根据题意得出，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：．
10. 命题“如果，那么”的逆命题是__________命题（填“真”或“假”），用一组，的值说明你的判断，这组，的值可以是__________，__________．
【答案】 ①. 假 ②. 1（答案不唯一） ③. （答案不唯一）
【解析】
【分析】先写出逆命题，再举出一组反例，进行作答即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是：如果，那么，为假命题，例如：，；
故答案为：假，．
【点睛】本题考查逆命题的真假，二次根式的性质．熟练掌握逆命题的定义，是解题的关键．
11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________．
【答案】x2＋62＝(10－x)2
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程.
【详解】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，
故答案为x2+62=(10﹣x)2．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键.
12. 某班级准备定做一批底色相同的T恤衫，征求了全班40名同学的意向，每个人都选择了一种底色，得到如下数据：
为了满足大多数人的需求，此次定做的T恤衫的底色为______．
【答案】白色
【解析】
【分析】根据众数的意义可知此次定做的T恤衫的底色为该组数据的众数．
【详解】解：由表格可知，白色的频数最大，
为了满足大多数人的需求，此次定做的T恤衫的底色为白色，
故答案为：白色．
【点睛】本题考查了众数的意义，在一组数据中，出现次数最多的数据为众数，在一组数据中，众数可能不止一个．
13. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．
【答案】22.5°##22.5度
【解析】
【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．
【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC=45°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=22.5°，
故答案为：22.5°．
【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数．
14. 图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．
【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
15. 如图，平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在坐标轴上，，点D在第一象限，则点D的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求的长，根据等腰三角形的性质得BC长，再利用平行四边形的性质得出点的坐标即可．
【详解】解：，，，
，，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据勾股定理得出点A坐标，再由平行四边形性质求得点D坐标．
16. 边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．
(1)一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为_____．
(2)如图，A、B、C为菱形网格(每个小菱形的边长为1，“形变度”为)中的格点，则△ABC的面积为_____．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】（）∵边长为的正方形面积，
边长为的菱形面积，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为，即，
∴．
（）∵菱形边长为，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后面积比为，
∴．
故答案为(1). (2). .
三、解答题（本题共10道小题，第17-19题，第24题，每小题4分，第20-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第25、26题，每小题7分，共52分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．
【详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18. 已知x＝+ ，y＝﹣，求x2﹣y2的值．
【答案】4
【解析】
【分析】先求出x+y和x﹣y的值，再根据平方差公式分解后代入求出即可．
【详解】∵x＝+，y＝﹣，
∴x+y＝2，x﹣y＝2，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×2
＝4．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．
19. 已知：平行四边形，
求作：菱形，使点E、F分别在边上．
下面是小明设计的尺规作图过程
作法：如图，
①连接；
②分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于M、N两点；
③连接，分别与交于E、F、O三点；
④连接．
四边形即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵__________，___________．
∴是垂直平分线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵，
∴四边形是菱形．（______________）（填推理的依据）
【答案】（1）见解析 （2）；；对角线互相垂直的平行四边形为菱形
【解析】
【分析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了菱形的判定．
（1）根据作法画出图形即可．
（2）先证明四边形为平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形为菱形得到结论．
【小问1详解】
解：如图，四边形即为所求．
【小问2详解】
证明：∵，．
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵，
∴四边形是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）
故答案为：；；对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
20. 已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．
【答案】2+
【解析】
【分析】连接AC，则由题意可知△ABC为等腰直角三角形，再由勾股定理逆定理可知∠ACD=90°，利用三角形面积公式求解即可得．
【详解】解：连接AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=，
∵CD=1，AD=3，AC=，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积：
S=S△ABC+S△ACD=AB×BC+×AC×CD=×2×2+×1×2=2+．
【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握运用勾股定理及其逆定理是解题关键.
21. 如图，在中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定，由三角形中位线定理得出，，，，从而得出四边形是平行四边形，结合得出，即可得证．
【详解】证明：点分别是边的中点，
，且，
同理，，且．
∴四边形是平行四边形
又，
，
∴平行四边形是菱形．
22. 如图，中，，D是的中点，，，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，垂足为F，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质可得，进而可得四边形是平行四边形，由即可求证结论．
（2）利用等腰三角形的性质及勾股定理可得，再利用三角形等面积法即可求解．
【小问1详解】
证明：，D是中点，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
【小问2详解】
，，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、矩形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握基础知识是解题的关键．
23. （1）观察，计算，判断：（只填写符号：，，
①当，时，__________；
②当，时，__________；
③当，时，__________；
…
（2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：）
【答案】（1），，；（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，
（1）把各组、的值分别代入和中计算可判断它们的大小公式；
（2）由于，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到；
灵活运用二次根式的性质是关键．
【详解】解：（1）当，时，，，则；
②当，时，，，则；
③当，时，，，则；
故答案为：，，；
（2）；理由如下：
，
，
，
；
故答案为：；
24. 在某次男子三米跳板比赛中，每名参赛选手要进行六轮比赛，每轮得分的计算方式如下：

下面是对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分数据进行了整理，描述和分析，给出部分信息：
a．甲、丙两位选手的得分折线图：

b．乙选手六轮比赛的得分：

c．甲、乙、丙三位选手六轮比赛得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知乙选手第四轮动作的难度系数为，七名裁判的打分分别为：

求乙选手第四轮比赛的得分及表中的值；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）每名选手六轮比赛得分的总和为个人最终得分．根据上述信息判断：在甲、乙、丙三位选手中，最终得分最高的是______（填“甲”“乙”或“丙”）．
【答案】（1）为，的值为
（2）甲 （3）甲
【解析】
【分析】（1）根据比赛得分的意义求出，再根据平均数的概念求出；
（2）分别计算出甲、丙两位选手得分的方差，比较后即可得出结论；
（3）分别计算出甲、乙、丙的个人最终得分，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：，
，
∴乙选手第四轮比赛的得分为，表中的值为．
【小问2详解】
，
，
∵，
∴选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：甲．
【小问3详解】
甲的得分：（分），
乙的得分：（分），
丙的得分：（分），
∵，
∴最终得分最高的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解题的关键．
25. 如图，在正方形中，点M在边上，点N在正方形外部，且满足，．连接，，取的中点E，连接，，交于F点．
（1）依题意补全图形1，并直接写出的度数；
（2）请探究线段，，所满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）设，若点M沿着线段从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段所扫过的面积为________（直接写出答案）．
【答案】（1）见解析；
（2）；证明见解析
（3）3
【解析】
【分析】（1）依照题意补全图形即可；连接，证得，推出点B、E在的垂直平分线上，得到为的中点，从而得出结果；
（2）证得是的中位线，推出，即可得到，即可得出结论；
（3）找出所扫过的图形为四边形．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出，由此得出四边形为梯形，再由，可算出线段、、的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．
【小问1详解】
解：依题意补全图形，如图1所示．
连接，如图2所示．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，点E是中点，
∴．
∵，
∴点B、E在的垂直平分线上，
∴F是中点，
∴平分，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：由（1）得是线段的垂直平分线，，
∴，F是中点，，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
解：在点M沿着线段从点C运动到点D的过程中，线段所扫过的图形为四边形．
∵，，
∴，
∴四边形为梯形．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是掌握相关性质，学会利用特殊位置解决实际问题．
26. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，．给出如下定义：若一个矩形的边均与某条坐标轴平行，且是它的一条对角线，则称这个矩形是的“非常知形”，如图1，点和点，它们的“非常矩形”是矩形．
（1）在点，，中，与点构成的“非常矩形”的周长是6的点是__________；
（2）若在第一象限有一点与点构成的“非常矩形”，且它的周长是8，求，满足的数量关系；
（3）如图2，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“非常矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）A （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据“非常矩形”，的定义求解即可；
（2）根据“非常矩形”，的定义求解即可；
（3）根据等边三角形的性质和勾股定理求得，，分当点H与点F重合时；当点H与点E重合时；当点H与D重合时三种情况，画出图形，分别根据正方形的性质和坐标与图形性质求得对应的a值，结合图形即可得出a的取值范围．
【小问1详解】
解：若点与点构成的“非常矩形”，则周长为，符合题意；
若点与点构成的“非常矩形”，则周长为，不符合题意；
若点与点 构成的“非常矩形”，则周长为，不符合题意，
综上，满足条件的点为，
故答案为： A；
小问2详解】
解：∵在第一象限有一点与点构成的“非常矩形”，且它的周长是8，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵等边边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，
∴，，
∴，
∵点的坐标为，
∴点G在平行于x轴的直线上，
如图，当点H与点F重合时，点G位于图中或位置，此时正方形的边长为，
∴点的坐标为，点坐标为；
当点H与点E重合时，点G位于图中点位置，此时正方形的边长为3，
∴点的坐标为，此时最小；
当点H与D重合时，点G位于图中点位置，此时正方形的边长为3，
∴点的坐标为，此时最大，
结合图形，满足题意的a的取值范围为或．
【点睛】本题考查了矩形和正方形的性质、等边三角形的性质、坐标与图形、勾股定理等知识，理解题设中新定义是解答的关键．
底色
灰色
黑色
白色
紫色
红色
粉色
频数
3
6
18
4
7
2
选手
甲
乙
丙
平均数