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2023-2024学年北京市西城区第六十六中学七年级下学期期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年北京市西城区第六十六中学七年级下学期期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.4的平方根是
A. ±16B. ± 2C. 2D. ±2
2.如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
3.在平面直角坐标系中，点P−1,2的位置在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.在−2， 4， 2，3.14，3−27，π5，这6个数中，无理数共有
( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
5.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=50∘，则∠BOD的度数是
( )
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘
6.下列命题中，假命题是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C. 两直线平行，内错角相等
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7.若关于x，y的二元一次方程组x+y=3kx−y=7k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为( )
A. −32B. 32C. −23D. 23
8.如图，已知点A11,0，A21,1，A3−1,1，A4−1,−1，A52,−1，…则点A2024的坐标为
( )
A. −507,−507B. 507,507C. 507,−506D. −506,−506
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.写出一个大于5小于6的无理数： ．
10.若点P(2−m,m+3)在x轴上，则P点坐标为 ．
11.已知 2≈1.414, 20≈4.472，则 0.2≈ ．
12.如图，直线a//b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是 ．
13.如图，点A，D，E三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，如果添加一个条件，使AB//CD，则可以添加的条件为 .(任意添加一个符合题意的条件即可)
14.若b= 2−a+ a−2−5，则a−b= ．
15.一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
16.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：一方执黑子，一方执白子，由黑方先行，白方后行．在正方形棋盘中，双方交替下子，每次只能下一子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，最先在棋盘横向、竖向或斜向形成连续的相同颜色五个棋子的一方为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为7,5，则白子B的坐标为 ；此时轮到黑方下子，记其此步所下黑子为C，为了保证不让白方在两步之内(含两步)获胜，黑子C的坐标应该为 ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)327+ 0+ 149
(2) 3−2+ 36+2 3
18.(本小题8分)
求下列各式的x值：
(1)x2−1=54
(2)2(x+1)3=−16
19.(本小题8分)
解下列方程组：
(1)3x+4y=22x−y=5
(2)2x+1−3y−2=113x−2y=7
20.(本小题8分)
完成下面的证明．
已知：如图，D是∠ABC平分线上一点，DE // BC交AB于点E．
求证：∠1=2∠2．
证明：∵DE // BC，
∴∠1=∠________(________)，
∠2=∠________(________)．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠________．
∴∠1=2∠2(________)．
21.(本小题8分)
已知：如图，梯形ABCD．
(1)过点A画直线AE//CD交BC于E；
(2)过点A画线段AF⊥BC于F；
比较线段AE与AF的大小：AE______AF(“>”“=”或“<”填空)．
理由：______；
(3)测量点B到直线AF的距离为______cm.(精确到0.1cm)
22.(本小题8分)
已知正数m的两个不同平方根分别是2a−7和a+4，又b−7的立方根为−2．
(1)求a和正数m及b的值；
(2)求3a+2b的算术平方根．
23.(本小题8分)
列方程组解应用题：
某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元，求两种球拍每副各多少元？
24.(本小题8分)
已知：如图，∠1=∠C，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G.求证AB//CD ．
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)．
(1)在图中画出▵ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位的▵A1B1C1；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标：A1___________，B1___________，C1___________；
(3)设点P在x轴上，且▵BCP与▵ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
26.(本小题8分)
如图，已知AB//CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE=α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM=160∘．
(1)当∠AEF=α2时，α=__；
(2)当MN⊥EF时，求α；
(3)作∠CFE的角平分线FQ，若FQ//MN，直接写出α的值：__．
27.(本小题8分)
同学们通过学习教材中的探究，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度与小正方形的边长相同)，将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，通过探究回答以下问题：
探究：能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？
(1)图1中大正方形的边长为_________，图2中点M表示的数为 ．
(2)小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题：
如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．
①图3中正方形ABCD的面积为_________；
②如图4，若点A在数轴上表示的数是−1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．
(3)请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．(备注网格小正方形的边长为1个单位长度)
28.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P，给出如下定义：将图形G沿上、下、左、右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为G，若点P在图形G′上，则称点P为图形G的稳定点．例如，当图形G为点(−2,3)时，点M(−1,3)，N(−2,3.5)都是图形G的稳定点，M(−1,3)在图形G向右平移一个单位长度得到的图形G′上；点N(−2,3.5)在图形G向上平移0.5单位长度得到的图形G′上．
(1)已知点A(−1,0)，B(3,0)．
①在点P1(−2,0)，P2(4,0)，P31,12，P432,−32中，线段AB的稳定点是__________．
②若将线段AB向上平移t个单位长度，使得点E(0,2)或者点F(0,7)为线段AB的稳定点，写出t的取值范围__________．
(2)边长为a的正方形，一个顶点是原点O，相邻两边分别在x轴、y轴的正半轴上，这个正方形及其内部记为图形G.若以(0,3)，(5,0)为端点的线段上的所有点都是这个图形G的稳定点，直接写出a的最小值__________．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】利用平方根的定义求解即可．
【详解】解：4的平方根是±2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是熟记平方根的定义．
2.【答案】B
【解析】【分析】对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可．
【详解】只有(3)中的∠1与∠2是对顶角．
故选B
【点睛】本题考查了对顶角的定义，理解对顶角的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据点的横纵坐标的符号，即可求解．熟练掌握各象限点的坐标符号是解题的关键．
【详解】解：∵−1<0，2>0
∴点P−1,2的位置在第二象限
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【详解】解：−2， 4=2，3.14，3−27=−3是有理数；
2，π5是无理数；
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 3，35等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如2.01001000100001⋅⋅⋅(0的个数一次多一个)．
5.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了邻补角的性质，角平分线的定义，关键是掌握邻补角互补．
首先根据角平分线的定义可得∠COB=2∠BOE，进而得到∠COB的度数，再根据邻补角互补可算出∠BOD的度数．
【详解】解：∵OE平分∠COB，
∴∠COB=2∠BOE，
∵∠EOB=50∘，
∴∠COB=100∘，
∴∠BOD=180∘−100∘=80∘，
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，了解平行线的性质及判定，垂线的性质及判定是解题的关键．
利用平行线和垂线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，题目未强调“直线外一点”，是假命题，符合题意；
B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，不合题意；
C、两直线平行，内错角相等，是真命题，不合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不合题意．
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：x+y=3k①x−y=7k②，
①+②，得2x=10k．
∴x=5k．
①−②，得2y=−4k，
∴y=−2k．
∵二元一次方程组x+y=3kx−y=7k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，
∴2×5k+3×(−2k)=6．
即4k=6，
∴k=32．
故选：B．
先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，题目难度不大，掌握解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查规律型−点的坐标，解题的关键是相交探究规律，寻找规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
通过观察可得点的位置变化规律，用2024除以4，通过余数判断出点的位置，再解答即可．
【详解】解：由图观察点的规律，点A4−1,−1，A8−2,−2，A12−3,−3，A16−4,−4，…得点A4n−n,−n，
∵2024÷4=506，
∴点A2024在第三象限，故横坐标为−506，纵坐标为−506，
∴A2024的坐标是−506,−506．
故选：D．
9.【答案】 26(答案不唯一)
【解析】【分析】由52=25，62=36可知，进行平方运算后结果在25到36之间的无理数都满足条件，任写一个即可．
【详解】解：∵52=25，62=36，
∴进行平方运算后结果在9到25之间的无理数都满足条件，
故满足条件的数有： 26， 27， 28等，
故答案为： 26(任写一个满足条件的无理数即可)．
【点睛】本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
10.【答案】5,0
【解析】【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
根据x轴上的点的纵坐标为零解答即可．
【详解】解：因为点P(2−m,m+3)在x轴上，
所以m+3=0，
解得m=−3．
所以P点的坐标为P5,0，
故答案为：5,0．
11.【答案】0.4472
【解析】【分析】首先把 0.2化为 20100即 2010，代入 20的值即可．
【详解】
解： 0.2= 20100= 2010=4.47210=0.4472．
故答案为：0.4472．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，关键在于根据已知推出0.2的算术平方根．
12.【答案】40°
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠4=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图，∵直线a // b，
∴∠4=∠1=75°，
由三角形的外角性质得，∠3=∠4−∠2=75°−35°=40°．
故答案为40°．
【点睛】考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
13.【答案】∠A=∠CDE(答案不唯一)
【解析】本题主要考查了平行线的判定．
根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【分析】
解：因为∠A=∠CDE，
所以AB//CD．
故答案为：∠A=∠CDE(答案不唯一)
14.【答案】7
【解析】【分析】先由二次根式有意义可得2−a≥0a−2≥0,从而依次求解a,b的值，可得答案．
【详解】解：∵b= 2−a+ a−2−5
∴2−a≥0a−2≥0,
解得：a=2,
∴b=−5,
∴a−b=2−−5=7.
故答案为：7.
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15.【答案】270∘
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．过B作BM//AE，则CD//BM//AE.根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：过B作BM//AE，
∵CD//AE，
∴CD//BM//AE，
∴∠BCD+∠1=180∘，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BM，
∴∠ABM=90∘，
∴∠ABC+∠BCD=90∘+180∘=270∘．
故答案为：270∘．
16.【答案】5,1
3,7或7,3
【解析】【分析】本题考查了点的坐标的确定及生活中的棋类常识，正确理解题意和识图是解题的关键．
根据五子连棋的规则，白方已把4,6(5,5)(6,4)三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，据此即可确定点的坐标．
【详解】解：根据题意得，白子B的坐标为(5,1)；
因为白方已把(4,6)(5,5)(6,4)三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在两步之内(含两步)获胜，即(3,7)或(7,3)，
故答案为：(5,1)；(3,7)或(7,3)．
17.【答案】【详解】(1)327+ 0+ 149
=3+0+17=317．
(2) 3−2+ 36+2 3
=2− 3+6+2 3
=8+ 3．
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是关键．
(1)根据立方根的定义、平方根的定义分别计算后，最后算加法即可．
(2)根据绝对值、平方根的定义分别计算后，最后算加减即可．
18.【答案】【详解】(1)x2−1=54，
移项得x2=94，
开平方得x=±32．
(2)2(x+1)3=−16，
化简得x+12=−8，
开立方得x+1=−2，
解得x=−3．
【解析】【分析】本题考查利用平方根及立方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
(1)利用平方根的定义解方程即可；
(2)将原方程变形后利用立方根的定义解方程即可；
19.【答案】【详解】(1)3x+4y=2①2x−y=5②
①+②×4得：11x=22
解得x=2
将x=2代入①得：3×2+4y=2
解得y=−1，
∴方程组的解为：x=2y=−1；
(2)2x+1−3y−2=113x−2y=7
整理得，2x−3y=3①3x−2y=7②
①×2−②×3得：−5x=−15
解得x=3
将x=3代入①得：2×3−3y=3
解得y=1，
∴方程组的解为：x=3y=1．
【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程组，
(1)方程组利用加减消元法求解即可；
(2)方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．
利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
20.【答案】【详解】证明：∵DE// BC，
∴∠1=∠ ABC(两直线平行，内错角相等)，
∠2=∠ DBC(两直线平行，同位角相等)．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ DBC．
∴∠1=2∠2(等量代换)，
故答案为：ABC；两直线平行，内错角相等；DBC；两直线平行，同位角相等；DBC；等量代换．
【解析】【分析】根据平行线的性质及角的平分线定义解答．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，AE即为所求；
(2)如图所示，AF即为所求；>；
(3)实际测量即可．
【解析】【分析】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质．
(1)根据平行线的定义作图即可；
(2)根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得；
(3)根据点到直线的距离，利用直尺测量即可得．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)图见答案，
根据垂线段的性质知AE>AF，
故答案为：>；
(3)见答案．
22.【答案】【详解】(1)解：∵正数m的两个不同平方根分别是2a−7和a+4，
∴(2a−7)+(a+4)=0，
∴a=1，2a−7=−5，
∴m=25．
∵b−7的立方根为−2，
∴b−7=−8，
∴b=−1，
∴a=1，m=25，b=−1；
(2)解：由(1)有a=1，b=−1，
∴3a+2b=3×1+2×(−1)=1，
∴3a+2b的算术平方根为1．
【解析】【分析】(1)正数有两个互为相反数的平方根，可得(2a−7)+(a+4)=0，可求得a的值，由b−7的立方根为−2可求得b的值；
(2)由(1)知a和b的值，得3a+2b的值，进而得3a+2b的算术平方根．
【点睛】本题主要考查了实数，平方根和立方根的意义，正确利用平方根，立方根的意义解答是解题的关键．
23.【答案】【详解】解：设直拍球拍每x元，横拍球拍每副y元，由题意得
{20x+20×10×2+15y+15×10×2=900010y+10×10×2−5x−5×10×2=1600
∴{x=220y=260
答：直拍球拍每副220元，横拍球拍每副260元．
【解析】略
24.【答案】【详解】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD=90∘，
∴∠1+∠D=90∘，
又∵∠2与∠D互余，
∴∠2+∠D=90∘
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠C，
∴∠2=∠C，
∴AB//CD．
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的定义，三角形内角和定理，首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB//CD．
25.【答案】【详解】(1)解：作出▵ABC三个顶点向右平移4个单位，再向下平移2个单位的对应点A1，B1，C1，顺次连接，则▵A1B1C1即为所求，如图所示：
(2)解：由图可得，点A1的坐标为(3,3)，B1的坐标为(3,−2)，C1的坐标为(0,1)．
故答案为：(3,3)；(3,−2)；(0,1)．
(3)解：▵ABC的面积为12×5×3=152，
设点P的坐标为(x,0)，
∴▵BCP的面积为12|x−(−1)|×3=32|x+1|，
∴32|x+1|=152，
解得x=4或−6，
∴点P的坐标为(4,0)或(−6,0)．
【解析】【分析】(1)先作出▵ABC三个顶点向右平移4个单位，再向下平移2个单位的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；
(2)根据解析(1)中的作图，写出点A1，B1，C1的坐标即可；
(3)先求出▵ABC的面积，然后点P的坐标为(x,0)，根据三角形面积公式列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出答案．
【点睛】本题主要考查了平移作图，三角形的面积公式，解题的关键是作出平移后对应点的坐标．
26.【答案】【详解】(1)解：∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180∘，
∵∠CFE=α，∠AEF=α2，
∴α+α2=180∘，
∴α=120∘，
故答案为：120∘；
(2)解：如图1，过点M作直线PM//AB，
∴∠ANM+∠NMP=180∘
∵∠ANM=160∘，
∴∠NMP=20∘，
又∵NM⊥EF，
∴∠NMF=90∘，
∴∠PMF=∠NMF−∠NMP=90∘−20∘=70∘，
∵AB//CD，
∴PM//CD，
∴∠CFE+∠PMF=180∘，
∴α=∠CFE=180∘−∠PMF=180∘−70∘=110∘；
(3)解：如图2，∵FQ平分∠CFE，
∴∠QFM=α2，
∵MN//FQ，
∴∠NME=∠QFM=α2，
∵AB//CD，
∴∠NEM=180∘−α，
∵∠ENM=180∘−∠ANM=20∘，
∴20∘+α2+180∘−α=180∘，
∴α=40∘，
故答案为：40∘．
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质求解，即可得到答案；
(2)过点M作直线PM//AB，根据平行线的性质，得到∠NMP的度数，进而得到∠PMF的度数，再利用平行线的性质，即可求出α；
(3)根据角平分线和平行线的性质，得到∠NME的度数，再根据平行线的性质，得到∠NEM的度数，然后利用三角形内角和定理列式求解，即可得到答案．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
27.【答案】【详解】(1)图1中大正方形的边长为 12+12= 2，
∴图2中点M表示的数为− 2；
(2)①∵正方形ABCD的面积是4×4−4×12×1×3=10；
②∵正方形ABCD边长为 10，
∴AE=AD= 10，
∴E表示的数比−1大 10，即E表示的数为−1+ 10，
故答案为：−1+ 10．
(3)∵正方形的面积为5
∴正方形的边长为 5= 12+22，
如图所示，
【解析】【分析】本题考查了算术平方根的意义，勾股定理，实数和数轴，以及用数轴上的点表示实数，解题的关键是求出正方形ABCD的边长．
(1)根据勾股定理求出大正方形的边长，然后根据点M到原点的距离表示出点M即可；
(2)①用割补法求出正方形ABCD的面积，再根据算术平方根的定义即可求出边长；
②E表示的数比−1大，用−1加上AE长度即为E表示的数．
(3)根据网格的特点和勾股定理求解即可．
28.【答案】【详解】(1)解：①如图，
观察图象，根据图形G的稳定点的定义可知：P1,P2,P3是线段AB的稳定点．
故答案为：P1,P2,P3．
②如图，
观察图象可知当1≤t≤3或6≤t≤8时，
点E(0,2)或者点F(0,7)为线段AB的稳定点．
故答案为：1≤t≤3或6≤t≤8．
(2)解：如图，正方形的边长为a，P(0,3)，Q(5,0)，
观察图象可知当4≤a时，线段PQ上的点都是图形G的稳定点．
∴a的最小值为4，
故答案为4．
【解析】【分析】(1)①画出图形，根据稳定点的定义即可判断．②画出图形，利用图象法解决问题即可．
(2)画出图形利用图象法解决问题即可．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解，图形稳定点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
1.4的平方根是
A. ±16B. ± 2C. 2D. ±2
2.如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
3.在平面直角坐标系中，点P−1,2的位置在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.在−2， 4， 2，3.14，3−27，π5，这6个数中，无理数共有
( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
5.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=50∘，则∠BOD的度数是
( )
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘
6.下列命题中，假命题是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C. 两直线平行，内错角相等
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7.若关于x，y的二元一次方程组x+y=3kx−y=7k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为( )
A. −32B. 32C. −23D. 23
8.如图，已知点A11,0，A21,1，A3−1,1，A4−1,−1，A52,−1，…则点A2024的坐标为
( )
A. −507,−507B. 507,507C. 507,−506D. −506,−506
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.写出一个大于5小于6的无理数： ．
10.若点P(2−m,m+3)在x轴上，则P点坐标为 ．
11.已知 2≈1.414, 20≈4.472，则 0.2≈ ．
12.如图，直线a//b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是 ．
13.如图，点A，D，E三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，如果添加一个条件，使AB//CD，则可以添加的条件为 .(任意添加一个符合题意的条件即可)
14.若b= 2−a+ a−2−5，则a−b= ．
15.一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
16.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：一方执黑子，一方执白子，由黑方先行，白方后行．在正方形棋盘中，双方交替下子，每次只能下一子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，最先在棋盘横向、竖向或斜向形成连续的相同颜色五个棋子的一方为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为7,5，则白子B的坐标为 ；此时轮到黑方下子，记其此步所下黑子为C，为了保证不让白方在两步之内(含两步)获胜，黑子C的坐标应该为 ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)327+ 0+ 149
(2) 3−2+ 36+2 3
18.(本小题8分)
求下列各式的x值：
(1)x2−1=54
(2)2(x+1)3=−16
19.(本小题8分)
解下列方程组：
(1)3x+4y=22x−y=5
(2)2x+1−3y−2=113x−2y=7
20.(本小题8分)
完成下面的证明．
已知：如图，D是∠ABC平分线上一点，DE // BC交AB于点E．
求证：∠1=2∠2．
证明：∵DE // BC，
∴∠1=∠________(________)，
∠2=∠________(________)．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠________．
∴∠1=2∠2(________)．
21.(本小题8分)
已知：如图，梯形ABCD．
(1)过点A画直线AE//CD交BC于E；
(2)过点A画线段AF⊥BC于F；
比较线段AE与AF的大小：AE______AF(“>”“=”或“<”填空)．
理由：______；
(3)测量点B到直线AF的距离为______cm.(精确到0.1cm)
22.(本小题8分)
已知正数m的两个不同平方根分别是2a−7和a+4，又b−7的立方根为−2．
(1)求a和正数m及b的值；
(2)求3a+2b的算术平方根．
23.(本小题8分)
列方程组解应用题：
某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元，求两种球拍每副各多少元？
24.(本小题8分)
已知：如图，∠1=∠C，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G.求证AB//CD ．
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)．
(1)在图中画出▵ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位的▵A1B1C1；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标：A1___________，B1___________，C1___________；
(3)设点P在x轴上，且▵BCP与▵ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
26.(本小题8分)
如图，已知AB//CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE=α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM=160∘．
(1)当∠AEF=α2时，α=__；
(2)当MN⊥EF时，求α；
(3)作∠CFE的角平分线FQ，若FQ//MN，直接写出α的值：__．
27.(本小题8分)
同学们通过学习教材中的探究，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度与小正方形的边长相同)，将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，通过探究回答以下问题：
探究：能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？
(1)图1中大正方形的边长为_________，图2中点M表示的数为 ．
(2)小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题：
如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．
①图3中正方形ABCD的面积为_________；
②如图4，若点A在数轴上表示的数是−1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．
(3)请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．(备注网格小正方形的边长为1个单位长度)
28.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P，给出如下定义：将图形G沿上、下、左、右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为G，若点P在图形G′上，则称点P为图形G的稳定点．例如，当图形G为点(−2,3)时，点M(−1,3)，N(−2,3.5)都是图形G的稳定点，M(−1,3)在图形G向右平移一个单位长度得到的图形G′上；点N(−2,3.5)在图形G向上平移0.5单位长度得到的图形G′上．
(1)已知点A(−1,0)，B(3,0)．
①在点P1(−2,0)，P2(4,0)，P31,12，P432,−32中，线段AB的稳定点是__________．
②若将线段AB向上平移t个单位长度，使得点E(0,2)或者点F(0,7)为线段AB的稳定点，写出t的取值范围__________．
(2)边长为a的正方形，一个顶点是原点O，相邻两边分别在x轴、y轴的正半轴上，这个正方形及其内部记为图形G.若以(0,3)，(5,0)为端点的线段上的所有点都是这个图形G的稳定点，直接写出a的最小值__________．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】利用平方根的定义求解即可．
【详解】解：4的平方根是±2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是熟记平方根的定义．
2.【答案】B
【解析】【分析】对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可．
【详解】只有(3)中的∠1与∠2是对顶角．
故选B
【点睛】本题考查了对顶角的定义，理解对顶角的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据点的横纵坐标的符号，即可求解．熟练掌握各象限点的坐标符号是解题的关键．
【详解】解：∵−1<0，2>0
∴点P−1,2的位置在第二象限
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【详解】解：−2， 4=2，3.14，3−27=−3是有理数；
2，π5是无理数；
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 3，35等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如2.01001000100001⋅⋅⋅(0的个数一次多一个)．
5.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了邻补角的性质，角平分线的定义，关键是掌握邻补角互补．
首先根据角平分线的定义可得∠COB=2∠BOE，进而得到∠COB的度数，再根据邻补角互补可算出∠BOD的度数．
【详解】解：∵OE平分∠COB，
∴∠COB=2∠BOE，
∵∠EOB=50∘，
∴∠COB=100∘，
∴∠BOD=180∘−100∘=80∘，
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，了解平行线的性质及判定，垂线的性质及判定是解题的关键．
利用平行线和垂线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，题目未强调“直线外一点”，是假命题，符合题意；
B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，不合题意；
C、两直线平行，内错角相等，是真命题，不合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不合题意．
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：x+y=3k①x−y=7k②，
①+②，得2x=10k．
∴x=5k．
①−②，得2y=−4k，
∴y=−2k．
∵二元一次方程组x+y=3kx−y=7k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，
∴2×5k+3×(−2k)=6．
即4k=6，
∴k=32．
故选：B．
先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，题目难度不大，掌握解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查规律型−点的坐标，解题的关键是相交探究规律，寻找规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
通过观察可得点的位置变化规律，用2024除以4，通过余数判断出点的位置，再解答即可．
【详解】解：由图观察点的规律，点A4−1,−1，A8−2,−2，A12−3,−3，A16−4,−4，…得点A4n−n,−n，
∵2024÷4=506，
∴点A2024在第三象限，故横坐标为−506，纵坐标为−506，
∴A2024的坐标是−506,−506．
故选：D．
9.【答案】 26(答案不唯一)
【解析】【分析】由52=25，62=36可知，进行平方运算后结果在25到36之间的无理数都满足条件，任写一个即可．
【详解】解：∵52=25，62=36，
∴进行平方运算后结果在9到25之间的无理数都满足条件，
故满足条件的数有： 26， 27， 28等，
故答案为： 26(任写一个满足条件的无理数即可)．
【点睛】本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
10.【答案】5,0
【解析】【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
根据x轴上的点的纵坐标为零解答即可．
【详解】解：因为点P(2−m,m+3)在x轴上，
所以m+3=0，
解得m=−3．
所以P点的坐标为P5,0，
故答案为：5,0．
11.【答案】0.4472
【解析】【分析】首先把 0.2化为 20100即 2010，代入 20的值即可．
【详解】
解： 0.2= 20100= 2010=4.47210=0.4472．
故答案为：0.4472．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，关键在于根据已知推出0.2的算术平方根．
12.【答案】40°
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠4=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图，∵直线a // b，
∴∠4=∠1=75°，
由三角形的外角性质得，∠3=∠4−∠2=75°−35°=40°．
故答案为40°．
【点睛】考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
13.【答案】∠A=∠CDE(答案不唯一)
【解析】本题主要考查了平行线的判定．
根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【分析】
解：因为∠A=∠CDE，
所以AB//CD．
故答案为：∠A=∠CDE(答案不唯一)
14.【答案】7
【解析】【分析】先由二次根式有意义可得2−a≥0a−2≥0,从而依次求解a,b的值，可得答案．
【详解】解：∵b= 2−a+ a−2−5
∴2−a≥0a−2≥0,
解得：a=2,
∴b=−5,
∴a−b=2−−5=7.
故答案为：7.
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15.【答案】270∘
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．过B作BM//AE，则CD//BM//AE.根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：过B作BM//AE，
∵CD//AE，
∴CD//BM//AE，
∴∠BCD+∠1=180∘，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BM，
∴∠ABM=90∘，
∴∠ABC+∠BCD=90∘+180∘=270∘．
故答案为：270∘．
16.【答案】5,1
3,7或7,3
【解析】【分析】本题考查了点的坐标的确定及生活中的棋类常识，正确理解题意和识图是解题的关键．
根据五子连棋的规则，白方已把4,6(5,5)(6,4)三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，据此即可确定点的坐标．
【详解】解：根据题意得，白子B的坐标为(5,1)；
因为白方已把(4,6)(5,5)(6,4)三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在两步之内(含两步)获胜，即(3,7)或(7,3)，
故答案为：(5,1)；(3,7)或(7,3)．
17.【答案】【详解】(1)327+ 0+ 149
=3+0+17=317．
(2) 3−2+ 36+2 3
=2− 3+6+2 3
=8+ 3．
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是关键．
(1)根据立方根的定义、平方根的定义分别计算后，最后算加法即可．
(2)根据绝对值、平方根的定义分别计算后，最后算加减即可．
18.【答案】【详解】(1)x2−1=54，
移项得x2=94，
开平方得x=±32．
(2)2(x+1)3=−16，
化简得x+12=−8，
开立方得x+1=−2，
解得x=−3．
【解析】【分析】本题考查利用平方根及立方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
(1)利用平方根的定义解方程即可；
(2)将原方程变形后利用立方根的定义解方程即可；
19.【答案】【详解】(1)3x+4y=2①2x−y=5②
①+②×4得：11x=22
解得x=2
将x=2代入①得：3×2+4y=2
解得y=−1，
∴方程组的解为：x=2y=−1；
(2)2x+1−3y−2=113x−2y=7
整理得，2x−3y=3①3x−2y=7②
①×2−②×3得：−5x=−15
解得x=3
将x=3代入①得：2×3−3y=3
解得y=1，
∴方程组的解为：x=3y=1．
【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程组，
(1)方程组利用加减消元法求解即可；
(2)方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．
利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
20.【答案】【详解】证明：∵DE// BC，
∴∠1=∠ ABC(两直线平行，内错角相等)，
∠2=∠ DBC(两直线平行，同位角相等)．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ DBC．
∴∠1=2∠2(等量代换)，
故答案为：ABC；两直线平行，内错角相等；DBC；两直线平行，同位角相等；DBC；等量代换．
【解析】【分析】根据平行线的性质及角的平分线定义解答．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，AE即为所求；
(2)如图所示，AF即为所求；>；
(3)实际测量即可．
【解析】【分析】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质．
(1)根据平行线的定义作图即可；
(2)根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得；
(3)根据点到直线的距离，利用直尺测量即可得．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)图见答案，
根据垂线段的性质知AE>AF，
故答案为：>；
(3)见答案．
22.【答案】【详解】(1)解：∵正数m的两个不同平方根分别是2a−7和a+4，
∴(2a−7)+(a+4)=0，
∴a=1，2a−7=−5，
∴m=25．
∵b−7的立方根为−2，
∴b−7=−8，
∴b=−1，
∴a=1，m=25，b=−1；
(2)解：由(1)有a=1，b=−1，
∴3a+2b=3×1+2×(−1)=1，
∴3a+2b的算术平方根为1．
【解析】【分析】(1)正数有两个互为相反数的平方根，可得(2a−7)+(a+4)=0，可求得a的值，由b−7的立方根为−2可求得b的值；
(2)由(1)知a和b的值，得3a+2b的值，进而得3a+2b的算术平方根．
【点睛】本题主要考查了实数，平方根和立方根的意义，正确利用平方根，立方根的意义解答是解题的关键．
23.【答案】【详解】解：设直拍球拍每x元，横拍球拍每副y元，由题意得
{20x+20×10×2+15y+15×10×2=900010y+10×10×2−5x−5×10×2=1600
∴{x=220y=260
答：直拍球拍每副220元，横拍球拍每副260元．
【解析】略
24.【答案】【详解】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD=90∘，
∴∠1+∠D=90∘，
又∵∠2与∠D互余，
∴∠2+∠D=90∘
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠C，
∴∠2=∠C，
∴AB//CD．
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的定义，三角形内角和定理，首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB//CD．
25.【答案】【详解】(1)解：作出▵ABC三个顶点向右平移4个单位，再向下平移2个单位的对应点A1，B1，C1，顺次连接，则▵A1B1C1即为所求，如图所示：
(2)解：由图可得，点A1的坐标为(3,3)，B1的坐标为(3,−2)，C1的坐标为(0,1)．
故答案为：(3,3)；(3,−2)；(0,1)．
(3)解：▵ABC的面积为12×5×3=152，
设点P的坐标为(x,0)，
∴▵BCP的面积为12|x−(−1)|×3=32|x+1|，
∴32|x+1|=152，
解得x=4或−6，
∴点P的坐标为(4,0)或(−6,0)．
【解析】【分析】(1)先作出▵ABC三个顶点向右平移4个单位，再向下平移2个单位的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；
(2)根据解析(1)中的作图，写出点A1，B1，C1的坐标即可；
(3)先求出▵ABC的面积，然后点P的坐标为(x,0)，根据三角形面积公式列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出答案．
【点睛】本题主要考查了平移作图，三角形的面积公式，解题的关键是作出平移后对应点的坐标．
26.【答案】【详解】(1)解：∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180∘，
∵∠CFE=α，∠AEF=α2，
∴α+α2=180∘，
∴α=120∘，
故答案为：120∘；
(2)解：如图1，过点M作直线PM//AB，
∴∠ANM+∠NMP=180∘
∵∠ANM=160∘，
∴∠NMP=20∘，
又∵NM⊥EF，
∴∠NMF=90∘，
∴∠PMF=∠NMF−∠NMP=90∘−20∘=70∘，
∵AB//CD，
∴PM//CD，
∴∠CFE+∠PMF=180∘，
∴α=∠CFE=180∘−∠PMF=180∘−70∘=110∘；
(3)解：如图2，∵FQ平分∠CFE，
∴∠QFM=α2，
∵MN//FQ，
∴∠NME=∠QFM=α2，
∵AB//CD，
∴∠NEM=180∘−α，
∵∠ENM=180∘−∠ANM=20∘，
∴20∘+α2+180∘−α=180∘，
∴α=40∘，
故答案为：40∘．
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质求解，即可得到答案；
(2)过点M作直线PM//AB，根据平行线的性质，得到∠NMP的度数，进而得到∠PMF的度数，再利用平行线的性质，即可求出α；
(3)根据角平分线和平行线的性质，得到∠NME的度数，再根据平行线的性质，得到∠NEM的度数，然后利用三角形内角和定理列式求解，即可得到答案．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
27.【答案】【详解】(1)图1中大正方形的边长为 12+12= 2，
∴图2中点M表示的数为− 2；
(2)①∵正方形ABCD的面积是4×4−4×12×1×3=10；
②∵正方形ABCD边长为 10，
∴AE=AD= 10，
∴E表示的数比−1大 10，即E表示的数为−1+ 10，
故答案为：−1+ 10．
(3)∵正方形的面积为5
∴正方形的边长为 5= 12+22，
如图所示，
【解析】【分析】本题考查了算术平方根的意义，勾股定理，实数和数轴，以及用数轴上的点表示实数，解题的关键是求出正方形ABCD的边长．
(1)根据勾股定理求出大正方形的边长，然后根据点M到原点的距离表示出点M即可；
(2)①用割补法求出正方形ABCD的面积，再根据算术平方根的定义即可求出边长；
②E表示的数比−1大，用−1加上AE长度即为E表示的数．
(3)根据网格的特点和勾股定理求解即可．
28.【答案】【详解】(1)解：①如图，
观察图象，根据图形G的稳定点的定义可知：P1,P2,P3是线段AB的稳定点．
故答案为：P1,P2,P3．
②如图，
观察图象可知当1≤t≤3或6≤t≤8时，
点E(0,2)或者点F(0,7)为线段AB的稳定点．
故答案为：1≤t≤3或6≤t≤8．
(2)解：如图，正方形的边长为a，P(0,3)，Q(5,0)，
观察图象可知当4≤a时，线段PQ上的点都是图形G的稳定点．
∴a的最小值为4，
故答案为4．
【解析】【分析】(1)①画出图形，根据稳定点的定义即可判断．②画出图形，利用图象法解决问题即可．
(2)画出图形利用图象法解决问题即可．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解，图形稳定点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
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