2024重庆市南开中学高三下学期5月月考试题数学含答案

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本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合M=x|y=ln4−x²,x∈Z，N=x|x²−x−2≤0，则M∩N=
A.−1,0,1,2 B.−1,0,1 C.0,1 D.−2,−1,0,1
2.已知z为复数，i为虚数单位，则“a=4”是“2+i为实系数一元二次方程z²−az+a+1=0的解”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3.将函数fx=sin2x−π3的图象向右平移φφ>0个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则φ的值可以为
A.2π3 B.π3 C.π6 D.π4
4.物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=lgbn+1n,应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的( )倍(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477)
A.5.5 B.6 C.6.5 D.7
5.已知双曲线E的一个顶点为A，虚轴的一个端点为B，直线AB与E的一条渐近线相交于点P，点P恰好在以实轴为直径的圆上，则E的离心率为
A.5 B.2 C.3 D.2
6.已知四面体ABCD中,AB=CD=AC=BD=2,AD=BC，若四面体ABCD的外接球的表面积为7π，则四面体ABCD的体积为
A.1 B.2 C.43 D.83
7.已知函数fx=xαx>0)，α为实数，f(x)的导函数为f'x，在同一直角坐标系中，f(x)与f'x的大致图象不可能是
A. B. C. D.
8.已知等差数列an的公差为π3，且集合M=x|x=sinann∈N∗中有且只有4个元素，则M中的所有元素之积为
A.14 B.−14 C.116 D.34
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的有
A.若a>b，则sinA>sinB B.若a>b，则csA>csB
C.若a²+b²c²，则△ABC为锐角三角形
10.某动物园研究了大量的A、B两种相似物种.记录其身长为x(单位：m)与体重y(单位：kg)，通过计算得A、B两物种的平均身长为xA=5.2,xB=6,标准差分别为sxA=0.3,sxB=0.1,令A、B两物种的平均体重分别为yA、yB.若A、B两物种其体重y对身长x的回归直线分别为lA：y=2x−0.6,lB:y=1.5x+0.4，相关系数分别为rA=0.6,rB=0.3现有两种物种中一身长为5.6m，体重为8.6kg的个体P，下列说法中正确的有
参考公式：相关系数r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=i=1nxi−x(yi−y)i=1nxi−x2,a=y−bx；
方差：sx2=1ni=1nxi−x2,sy2=1ni=1nyi−y2
A.yAB.点P(5.6，8.6)到直线lA的距离大于其到直线lB的距离
C.点P(5.6，8.6)与点xAyA的距离大于其与点(xByB的距离
D.A物种的体重标准差syA小于B物种的体重标准差syB
11.“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成.旋轮线C的参数方程为x=Rθ−sinθy=R1−csθ，其中θ为参数，R>0为常数，旋轮线C也可看作某一个函数y=fx的图象.下列说法正确的有
A.点P(πR,2R)在旋轮线C上
B.函数f(x)是偶函数
C.函数f(x)不是周期函数
D.当R=1时,函数f(x)在1−π20单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.1+x¹¹+1−x10的展开式中，含x³的项的系数为______________.
13.已知非零向量a、b满足|a|=2|b|,a+b⊥b,则向量a与b的夹角大小为______________.
14.已知圆M:x²+y−5²=r²r>0)和抛物线C:x²=2pyp>0)，F为抛物线C的焦点，若圆M与抛物线C在公共点P处有相同的切线l，且直线l的纵截距为−3,，则实数p的值为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知等差数列an和等比数列bn均单调递增，前n项和分别为Sₙ和Tₙ,且满足：a₁=b₁，a₃=b₃，S₃=15，T₃=14.
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)设cn=anbn，求cn的前n项和Rₙ.
16.(15分)
如图所示，在正四面体A−BCD中，AB=8，G点为线段AB上靠近A点的四等分点，I、H分别为线段AD、AC的中点，直线GH与直线BC交于点E，直线GI与直线BD交于点F.
(1)证明：CD∥EF；
(2)设M为线段EF的中点，求直线GM与平面ABC所成角的正弦值.
17.(15分)
五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神.征文筛选由A、B、C三名老师负责.首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选.已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为34、45、37，且各老师的审核互不影响.
(1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；
(2)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望.
18.(17分)
已知fx=x−1eᵏˣ，k∈R，其中e=2.71828……为自然对数的底数.
(1)当k=1时,证明：fx≥elnx;
(2)当x∈01时，f(x)的最小值为−1，求实数k的取值范围.
19.(17分)
已知椭圆C1：x24+y2=1，椭圆C₂与椭圆C₁具有相同的离心率，且经过点(2，2).
(1)求C₂的标准方程；
(2)若C₂的焦点在x轴上，Px₀y₀为C₂上一点，A、B两点在C₁上，且线段PA、PB的中点都在C₁上.
(Ⅰ)当点P运动时，△PAB的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说理由；
(Ⅱ)记θ=∠APB，求tanθ的取值范围.