2024南通海安高级中学高三下学期第二次模拟考试数学含答案
展开1.已知复数(其中为虚数单位,).若是纯虚数,则( )
A.-4B.-1C.1D.4
2.直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3.有6名男教师和5名女教师,从中选出2名男教师、1名女教师组成一个支教小组,则不同的选法共有( )
A.60种B.70种C.75种D.150种
4.已知等差数列的前项和为,且,则是中的( )
A.第28项B.第29项C.第30项D.第32项
5.在中,已知,则“”是“”成立的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要
6.已知双曲线,直线.双曲线上的点到直线的距离最小,则点的横坐标为( )
A.B.C.D.
7.若命题:“,使得”为假命题,则a,b的大小关系为( )
A.B.C.D.
8.设实数满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.-1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为( )
A.方差B.平均数C.中位数D.众数
10.已知不等式对任意恒成立,其中是整数,则的取值可以为( )
A.-4B.-2C.0D.8
11.直线与抛物线相交于两点,过两点分别作该抛物线的切线,与直线均交于点,则下列选项正确的是( )
A.直线过定点B.两点的纵坐标之和的最小值为2p
C.存在某一条直线,使得为直角
D.设点在直线上的射影为,则直线FH斜率的取值范围是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知集合,则___________.
13.设若,则___________.
14.在长方体中,分别是棱的中点,则平面CEF截该长方体所得的截面为___________边形,截面面积为___________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,在四棱锥中,已知棱AB,AD,AP两两垂直,长度分别为1,2,2,若,且向量与夹角的余弦值为.
(1)求实数的值;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
16.(15分)已知向量.设.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在中,若的平分线交BC于点,求AD长.
17.(15分)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆的离心率为分别是椭圆的左、右焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于A,B两点,直线与交于D,E两点,且的周长是.
(1)求椭圆的方程;
(2)当时,求的面积.
18.(17分)设函数.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若,试判断函数在区间内的极值点的个数,并说明理由;
(3)求证:对任意的正数,都存在实数,满足:对任意的.
19.(17分)“踩高跷,猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统,发展“地推经济”,在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销,将灯谜按难易度分为B、C两类,抽到较易的类并答对购物打八折优惠,抽到稍难的类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下:在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片,其中3张写有字母,3张写有字母,2张写有字母,顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片,若抽到写有的卡片,则再抽1次,直至取到写有或卡片为止.求该顾客取到写有卡片的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜,规定只能取一次,并且只可以向前走,不能回头,他在街道上一共会遇到条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同),最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,小明准备采用如下策略:不摘前条灯谜,自第条开始,只要发现比他前面见过的灯谜适合的,就摘这条灯谜,否则就摘最后一条.设,记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为.
①若,求;
②当趋向于无穷大时,从理论的角度,求的最大值及取最大值时的值.
(取)
2023-2024学年度第二学期高三年级模拟考试
数学
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A2.D3.4.5.6.7.8.B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
9.10.11.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.13.614.五,
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解:依题意,以为坐标原点,AB,AD,AP分别为轴建立空间直角坐标系则,
因为,所以,……………………………………2分
(1)从而,
则,……………………………………4分
解得;……………………………………6分
(2)易得,
设平面PCD的法向量,
则,且,
即,且,所以,
不妨取,则平面PCD的一个法向量,…………………………………………9分
又易得,
故,………………………………………………12分
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.………………………………………………13分
16.(15分)解:(1)由
……………………………………………………………………………………4分
令,则,
所以函数的单调递增区间为.…………………………………………7分
(2)因,因为,所以,
即,故;…………………………………………………………9分
由余弦定理得,即,
所以(负舍),……………………………………………………………………………11分
所以,
即,
所以.………………………………………………………………………………………15分
17.(15分)解:(1)由,知,所以,……………………………2分
因为的周长是,所以,……………………………4分
所以,故,
所以椭圆的方程为.…………………………………………………………6分
(2)分析知直线的斜率存在,且不为0,设的方程为:,
与椭圆方程联立:
,得,……………………………8分
同理:,……………………………………………………10分
所以,解得,…………………………………………12分
所以,直线的方程为,
所以,故.……………………………………………15分
18.(17分)解:(1)当时,,
令,列表分析
故的单调递减区间为,单调递增区间为.………………………………4分
(2),其中,
令,分析的零点情况.
,令,列表分析
分
因为,
所以,即,
而,
因此在有一个零点,在内有一个极值点;
当时,在内有一个极值点.……………………………………10分
(3)猜想:恒成立.……………………………………………11分
证:由(2)得在上单调递增,
且.
因为当时,,所以.
故在上存在唯一的零点,设为.
由
知,.…………………………………………13分
又,而时,,
所以.
即.
所以对任意的正数,存在,使对任意的,使.……………………15分
补充证明(*):
令,所以在上单调递增.
所以时,,即.
补充证明(**)
令,所以在上单调递减.
所以时,,即.……………………………………………………17分
19.(17分)解:(1)该顾客第一次取到写有卡片的概率为,……………………………………..1分
该顾客第二次取到写有卡片的概率,………………………………………………..2分
该顾客第三次取到写有卡片的概率,……………………………………………3分
该顾客第四次取到写有卡片的概率,………………………………………4分
该顾客取到写有卡片的概率为;……………………………………5分
(2)①这4条灯谜的位置从第1个到第4个排序,有种情况,………………………………7分
要摘到那条最适合灯谜,有以下两种情况:
(i)最适合灯谜是第3个,其它的随意在哪个位置,有种情况;
(ii)最适合灯谜是最后1个,第二适合灯谜是第1个或第2个,其它的随意在哪个位置,有种情况,………………………………………………………………………………………………………………9分
故所求概率为;……………………………………………………………………………………10分
②记事件表示最适合灯谜被摘到,事件表示最适合灯谜排在第个,
则,
由全概率公式知:,
当时,最适合灯谜在前条中,不会被摘到,此时;
当时,最适合灯谜被摘到,当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时,
此时,
所以,………………………………………………………14分
令,则,
由,得,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,所以当时,取得最大值,
从而的最大值为,此时的值为.…………………………………………………………………17分1
—
0
+
单调递减
单调递增
—
0
+
单调递减
单调递增
-
0
+
单调递减
单调递增
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2024南通海安高级中学高二下学期第一次月考试题数学含答案: 这是一份2024南通海安高级中学高二下学期第一次月考试题数学含答案,共9页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。