最新中考数学思想方法讲与练 【猜想归纳】周长面积问题中的猜想归纳思想

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
周长面积问题中的猜想归纳思想
1．猜想归纳思想
归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。考查学生的归纳、概括、类比能力。有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：
（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；
（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；
（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。
归纳猜想类问题可以分成四大类：
（1）数式归纳猜想题
这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。
（2）图形归纳猜想题
此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。
（3）结论归纳猜想题
结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。
（4）类比归纳猜想题
类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。
2．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
3．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•龙口市期末）如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作△，再以△各边的中点为顶点作△，如此下去，则△的周长为
A．B．C．D．
【考点】三角形中位线定理
【分析】根据三角形中位线定理得到△的周长，△的周长，总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：点、、分别为、、的中点，
，，，
△的周长，
同理，△的周长，
则△的周长，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，正确找出三角形的周长的变化规律是解题的关键．
2．（2020秋•零陵区期末）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，按此规律继续下去，则矩形的周长为
A．B．C．D．
【考点】矩形的判定与性质；相似多边形的性质；规律型：图形的变化类
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，，的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第个矩形的面积．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
按逆时针方向作矩形的相似矩形，
矩形的边长和矩形的边长的比为，
矩形的周长和矩形的周长的比，
矩形的周长，
矩形的周长，
依此类推，矩形的周长和矩形的周长的比，
矩形的周长，
矩形的周长
按此规律第个矩形的周长为：，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
3．（2021•开封二模）如图，将沿着过，的中点，所在的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，点到的距离为；还原纸片后，再将沿着过，的中点，所在的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，点到的距离记为；按上述方法不断操作下去，，经过第次操作后得到点到的距离记为．若，则值为
A．B．C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理；规律型：图形的变化类；相似三角形的判定与性质；点到直线的距离
【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，得出，依次得到、、、，再对进行计算即可．
【解答】
解：将沿着过，的中点，所在的直线折叠，点到的距离为，
点到的距离，，，
， 与的相似比为，
折叠，
△，
△，△ 与的相似比为，
将沿着过，的中点，所在的直线折叠，点到的距离记为，
同理：△△，△与△ 的相似比为，
到的距离，
同理：，
，
．
，
故选：．
【点评】本题考查图形的变化规律问题，首先根据变化发现第一个、第二个、第三个发现规律得出一般性结论是解决本题代入关键．
4．如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形依此规律，则
A．B．C．2 D．
【考点】相似三角形的判定与性质；规律型：图形的变化类
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，再利用四边形为正方形得到，接着计算出，，利用同理方法计算出，，然后根据的指数变化规律得到的长度．
【解答】解：四边形为正方形，
，
，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，，
同理可得，，
．
故选：．
【点评】本题考查了规律型图形的变化类：探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．也考查了正方形的性质．
5．如图，，在上截取，，，，，，过点、、、、分别作的垂线与相交，得到并标出一组阴影部分，它们的面积分别为，，，．观察图中的规律，第个阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】观察图形，发现：黑色梯形的高总是2；根据等腰直角三角形的性质，分别求得黑色梯形的两底和依次是4，12，20，即依次多8．再进一步根据梯形的面积公式进行计算．
【解答】解：，
图形中三角形都是等腰直角三角形，
；
．
故选：．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解决此题的关键是能够结合图形，根据等腰直角三角形的性质，找到梯形的上下底的和的规律．
6．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为，第（2）个图形的面积为，第（3）个图形的面积为，，则第个图形的面积为
A．B．C．D．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据已知图形面积得出数字之间的规律，进而得出答案．
【解答】解：第一个图形面积为：，
第二个图形面积为：，
第三个图形面积为：
第个图形的面积为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出面积的变化规律是解题关键．
二．填空题（共10小题）
7．（2021秋•朝阳期中）如图，△的面积为，分别延长△的三条边、、到点、、，使得，，，得到△；再分别延长△的三条边、、到点、、，使得，，，得到△；．按照此规律作图得到△，则△的面积为 ．
【考点】三角形的面积
【分析】连接．利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，求出△，△的面积，探究规律，可得结论．
【解答】解：连接．
，
，
，
，
，
同法可证，，
，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
8．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作第1个正方形；延长交轴于点，作第2个正方形，，按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积是 ．
【考点】规律型：点的坐标；相似三角形的判定与性质
【分析】先利用勾股定理求出，再用三角形相似得出，，找出规律，即可求出第2019个正方形的面积．
【解答】解：
点的坐标为，点的坐标为，
，，
正方形，正方形，
，，
，
，
△，
，
，
，
，
同理可得，，
同理可得，，
同理可得，，
第2019个正方形的面积．
案为：．
【点评】此题考查正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，解题关键在于找到规律．
9．（2021春•瑶海区期中）如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第个等腰直角三角形的面积为 ．
【考点】规律型：图形的变化类；勾股定理；等腰直角三角形
【分析】分别求出第1、2、3个直角三角形的直角边的长，找到规律，从而写出第个直角三角形的直角边的长，求出面积即可．
【解答】解：第1个三角形的直角边长为1，
第2个三角形直角边长为，
第3个三角形的直角边长为，
第个直角三角形直角边为，
，
，
第个等腰直角三角形的面积为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了等腰三角形及图形的变化类问题，要结合图形熟练运用勾股定理计算前面几个具体值，从中发现规律．
10．直线上有100个点，我们进行如下操作：在每相邻两点之间插入1个点，经过三次这样的操作后，直线上共有 793 个点．
【考点】：有理数的加减混合运算；38：规律型：图形的变化类
【分析】根据个点中间可以有个空插入，从而找出规律并得解．
【解答】解：第一次：，
第二次：，
第三次：．
经过3次这样的操作后，直线上共有个点．
故答案为：793．
【点评】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，利用特殊得出一般的规律，利用规律解决问题．
11．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连接所得菱形各边的中点得到第二个矩形，
按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为 ．
【考点】规律型：图形的变化类；菱形的性质；中点四边形
【分析】首先根据题意求得第一个菱形的面积、第二个矩形与菱形面积、第三个矩形与菱形面积，继而得到规律：第个菱形的面积为：，则可求得答案．
【解答】解：第一个矩形的面积为2，
第一个菱形的面积为1；
第二个矩形的面积为：，
第二个菱形的面积为：，
第三个矩形的面积为：，
第三个菱形的面积为，
依此类推，第个菱形的面积为：，
第2013个菱形的面积为：．
【点评】此题考查了菱形与矩形的性质．此题难度适中，注意得到规律：第个菱形的面积为：是解此题的关键．
12．如图，“把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形”称为第1次变换，接着“把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形”称为第2次变换，再“把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形”称为第3次变换，一直到第100次变换，我们得到一系列数：，，，，，，利用图形可求得前10个数的和是 ．
【考点】规律型：数字的变化类；规律型：图形的变化类
【分析】结合图形发现计算方法：；，即计算其面积和的时候，只需让总面积减去剩下的面积．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，此题注意结合图形的面积找到计算的方法：其中的面积和等于总面积减去剩下的面积．
13．已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影部分面积，第2次分割后的阴影部分面积，第3次分割后的阴影部分面积，．按照这样的规律分割，则第为正整数）次分割后的阴影部分面积可用表示为 ．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据第一次为，第二次为，，从而得到规律．
【解答】解：第一次为，
第二次为，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．注意由特殊到一般的分析方法．
14．如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第二个正方形的面积是 ；第六个正方形的面积是 ．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】先根据正方形的边长是1，得出斜边的长，根据面积公式计算出第二个正方形的面积，以此类推，得出第三个正方形的面积，总结出规律，得到第个正方形的面积，再把时代入即可求出答案．
【解答】解：正方形的边长是1，
所以它的斜边长是：，
所以第二个正方形的面积是：，
第三个正方形的面积为，
以此类推，第个正方形的面积为，
所以第六个正方形的面积是；
故答案为：，．
【点评】此题考查了图形的变化类，解题的关键是掌握中位线定理和正方形的性质，计算出各边的长，再根据面积公式求出答案．
15．如图，从原点开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；，按此规律，继续画半圆，则第6个半圆的面积为 ．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据已知图形得出第5个半圆的半径，进而得出第5个半圆的面积，得出第个半圆的半径，进而得出答案．
【解答】解：以为直径画半圆，记为第1个半圆；
以为直径画半圆，记为第2个半圆；
以为直径画半圆，记为第3个半圆；
以为直径画半圆，记为第4个半圆，
第5个半圆的直径为16，
根据已知可得出第个半圆的直径为：，
则第个半圆的半径为：，
第个半圆的面积为：．
所以第6个半圆的面积为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第个半圆的直径为：是解题关键．
16．如图，的面积为1，分别取、两边的中点、，则四边形的面积为 ，再分别取、的中点、，、的中点、，依次取下去．利用这一图形，能直观地计算出 ．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
【解答】解：、分别是、两边的中点，
且的面积为1，
△的面积为．
四边形的面积的面积△的面积；
四边形的面积△的面积△的面积．
，
第个四边形的面积．
故．
故答案为：，．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
三．解答题（共4小题）
17．（2021秋•广陵区期中）让我们一起探索有趣的“皮克定理”：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数和为．
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请完成下表，并写出与之间的关系式： ．
（2）探索：在上面网格图中画出四个格点多边形，其内部都只有两个格点，并写出所画的各个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式： ；
（3）猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式是： ．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】（1），；多边形的面积各边上格点个数和的一半，即；
（2）内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正方形的顶点，由此画图；并根据图找出与的关系．
（3）由图可知多边形内部都有而且只有格点时，面积为：．
【解答】解：（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表：
根据以上信息，多边形的面积各边上格点个数和的一半，即；
（2）如图所示：
根据图可知：
长方形的面积是6，它的各边上格点的个数和是10，中间格点数是2，
；
三角形的面积是3，它的各边上格点的个数和是4，中间格点数是2，
；
梯形的面积是5，它的各边上格点的个数和是8，中间格点数是2，
；
那么；
（3）通过上题探究可知：
最后的1就是内部的格点数而得；
所以格点多边形面积各边上格点的个数和（多边形内部格点数；即：
；
故答案为：；；．
【点评】此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．
18．正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，设格点多边形各边上的格点的个数和为，格点边多边形内部的格点个数和为，格点多边形的面积为，图1、图2是两个格点多边形．
（1）根据图中提供的信息填表：
（2）在给定的正三角形网格中分别画出一个面积为3、4、5的格点多边形：
（3）猜想与、之间的关系： （用含、的代数式表示）；
（4）若一个格点多边形的面积为，是否存在最大值和最小值？若存在求出最大值和最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】（1）根据数值，通过图形填出答案即可；
（2）由数值和图形直接画出即可；
（3）由（1）（2）的计算方法得出一般规律即可；
（4）因为为偶数，则和同奇或同偶，题目问是否为最大值或最小值，显然，取一行平行四边形来观察，不管取什么值时，存在最小值，接下来讨论的最大值，从得出，值得取最小值．因为值可以奇数也可以取偶数，所以的最小值就有两种情况：①当为奇数时； ②当为偶数时；分别把值代入公式，得出答案即可．
【解答】解：（1）答案如下：
（2）画图如下：
（3）因为，
，
所以与、之间的关系：；
（4）因为为偶数，则和同奇或同偶，如图所示，题目问是否为最大值或最小值，显然，取一行平行四边形来观察，不管取什么值时，存在最小值，接下来讨论的最大值，从得出，值得取最小值．因为值可以奇数也可以取偶数，所以的最小值就有两种情况：
①当为奇数时，最小值
②当为偶数时，最小值．
分别把值代入公式，得最大值或最大值．
【点评】考查了作图应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．
19．用网格线将平面分成若干个面积为1的小等边三角形格子，小等边三角形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数和为．
（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出与之间的关系式．
答： ．
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式是： ．
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想与有怎样的关系？答： ．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】（1）多边形的面积各边上格点个数半，即；
（2）内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正三角形的顶点，由此画图；并根据图找出与的关系．
（3）由图可知多边形内部都有而且只有格点时，面积为：．
【解答】解：（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表．
答根据以上信息，多边形的面积各边上格点个数，即；
（2）根据图可知：
正方形的面积是8，它的各边上格点的个数和是6，中间格点数是2，
；
三角形的面积是5，它的各边上格点的个数和是3，中间格点数是2，
；
五边形的面积是7，它的各边上格点的个数和是5，中间格点数是2，
；
那么；
（3）通过上题探究可知：
最后的1就是内部的格点数而得；
所以格点多边形面积各边上格点的个数和（多边形内部格点数的2被；即：
；
【点评】考查了作图应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．
20．一般地，由条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为边形，又称为多边形．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数和为．
（1）如图1中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请把表格补充完整，并写出与之间的关系式．
答： ．
（2）请你在图2上画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式是： ．
注：备用表格供你探索使用（作图时，请使用铅笔）．
【考点】规律型：图形的变化类；作图—应用与设计作图
【分析】（1），；多边形的面积各边上格点个数和的一半，即；
（2）内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正方形的顶点，由此画图；并根据图找出与的关系．
【解答】解：（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表：
根据以上信息，多边形的面积各边上格点个数和的一半，即；
（2）如图所示：
根据图可知：
正方形的面积是6，它的各边上格点的个数和是10，中间格点数是2，
；
三角形的面积是3，它的各边上格点的个数和是4，中间格点数是2，
；
梯形的面积是5，它的各边上格点的个数和是8，中间格点数是2，
；
那么；
故答案为：；．
【点评】考查了作图应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．多边形的序号
①
②
③
④
多边形的面积
2


4
各边上格点的个数和
4
5
6
8
多边形的序号
①
②
③
④
多边形的面积
2
2.5
3
4
各边上格点的个数和
4
5
6
8
一般格点多边形
多边形1（图
6
1
8

多边形2（图
7
2
11

一般格点多边形
多边形1（图
6
1
8
6
多边形2（图
7
2
11
9
多边形的序号
①
②
③
④
多边形的面积
3
4
5
6
各边上格点的个数和
3
4
5
6
多边形的序号
①
②
③
④
多边形的面积
3
4
5
6
各边上格点的个数和
3
4
5
6
多边形的序号
①
②
③
④
多边形的面积
2
2.5
3
4
各边上格点的个数和
4
多边形的序号
①
②
③
④
多边形的面积
2
2.5
3
4
各边上格点的个数和
4
5
6
8