广东省中山市华侨中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，实数的性质求解即可．
【详解】解：的相反数是−；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选B．
3. 若a、b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握若三角形的三边a、b、c满足，则三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】A：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意；
B：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意；
C：，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项符合题意；
D：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则逐项判断即可．
【详解】A，B不是同类二次根式，它们不能相加，故错误；
C、分子要先化为最简二次根式再相加，＝＝，故错误；
D、符合二次根式的乘法法则，正确．
故选：D．
5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 内角和等于B. 对角相等C. 对边平行且相等D. 对角线互相垂直
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、菱形和矩形的内角和都不等于，故选项不符合题意；
B、菱形的对角相等，矩形的对角相等，故选项不符合题意；
C、菱形的对边平行且相等，矩形的对边平行且相等，故选项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，不一定垂直，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
6. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数的概念，“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数”，熟悉函数的定义是解决问题的关键．根据定义，逐一判定是否对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即可解决问题．
【详解】解：A：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，是的函数，该选项不符合题意；
B：在x正半轴一段范围，对于x的每一个取值，y有两个值与之对应，不是的函数，该选项符合题意；
C：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，是的函数，该选项不符合题意；
D：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，是的函数，该选项不符合题意；
故选：B．
7. 如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：两棵树的高度差为，间距为，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
8. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A. B. C. D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故选：C．
9. 如图，矩形的对角线，，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由矩形的性质得出，再证明，结合勾股定理即可求解．
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
，
，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10. 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A. cm2B. cm2C. cm2D. （）ncm2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．
【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2．
故选：B．
【点睛】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
二．填空题（共3小题）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题的关键．
12. 式子值的整数部分是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查估算无理数的大小，估算无理数的大小，进而估算的大小，确定它的整数部分即可．
详解】∵，
∴
∴的整数部分为，
故答案为：．
13. 若一直角三角形两边长分别为3和5，则第三边长为_______．
【答案】4或##或4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分第三边为斜边和斜边长为5两种情况，分别根据勾股定理进行求解即可，能够分类讨论是解题的关键．
【详解】在直角三角形中，
①当第三边为斜边，则第三边长为；
②当斜边长为5，则第三边长为；
综上，第三边长4或；
故答案为：4或．
14. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式与绝对值的化简，解题关键在于利用数轴判断式子的正负．先判断，，然后根据二次根式与绝对值的化简规则对原式进行化简即可．
【详解】解：由数轴可知：，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在第一象限，过点A作轴于点B，若，，点E为的中点，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵轴，
∴．
∵，，
∴．
∵点E是的斜边的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出是解答本题的关键．
16. 如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为，求的面积为：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，先由折叠的性质和矩形的性质推出，得到，设，则，，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵长方形纸片中，，
∴，
∵将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
17. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠DCF，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCG=∠DAG，从而得到∠ABE=∠DAG，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH= AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【详解】在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DCG=∠DAG，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO= AB=2，
在Rt△AOD中，，
根据三角形的三边关系，OH+DH>OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值=OD-OH=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
18. （1）计算
（2）先化简，在求值，其中
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，分式的化简求值：
（1）先根据平方差公式去括号，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
19. 如图在平行四边形中，点E在上，点F在上，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形为平行四边形．
20. 如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据勾股定理得出，再进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】证明∶，
，
是直角三角形．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答．
21. 如图，在平行四边形中，O是对角线上的中点，过点O作 ，垂足为E且
（1）求证∶四边形 是矩形；
（2）若 求的长及四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）,
【解析】
【分析】（1）根据中位线定理，得到，结合，得到即可证明四边形 是矩形；
（2）根据矩形的性质，中位线定理，得 ，利用勾股定理计算即可．本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
∵O是对角线上的中点，
∴，
∵，
∴
∵平行四边形，
∴四边形 是矩形．
【小问2详解】
∵四边形 是矩形，
∴，
∴，
故四边形的周长为．
22. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF
（2）连接AC交EF于点D，延长OC至点M，使OM=OA，连结EM、FM，试证明四边形AEMF是菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF；求出CE=CF，然后利用“边边边”证明△AEC和△AFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠FAC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EM=FM，再判断出EF垂直平分AM，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EM，然后根据四条边都相等的四边形是菱形证明．
试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF；
（2）解：∵BC=CD，BE=DF， ∴BC﹣BE=CD﹣CF， 即CE=CF，
在△AEC和△AFC中，， ∴△AEC≌△AFC（SSS）， ∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF， ∴EM=FM， ∵OM=OA， ∴EF垂直平分AM，
∴AE=EM， ∴AE=EM=FM=AF， ∴四边形AEMF是菱形．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定
23. 下面的图像反映的过程是：小明从家去超市买文具，又去书店购书，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，若小明家、超市、书店在同一条直线上．
根据图像回答下列问题：
（1）超市离小明家多远，小明走到超市用了多少时间？
（2）超市离书店多远，小明在书店购书用了多少时间？
（3）书店离小明家多远，小明从书店走回家的平均速度是每分钟多少米？
【答案】（1）1．1千米；15分钟；（2）0．9千米；18分钟；（3）80米/分．
【解析】
【分析】（1）根据图像得出所求的信息；
（2）根据图像信息得出我们所需要求的信息；
（3）根据路程÷时间得出速度．
【详解】（1）由图像可以看出超市离小明家1．1千米，小明走到超市用了15分；
（2）超市离书店：2-1.1=0.9千米，小明在书店购书用了55-37=18分；
（3）由图像可以看出书店离小明家2千米，小明从书店走回家的平均速度是 米/分．
24. 明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链．
（1）求锁链长度的最大值；
（2）若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）锁链长度的最大值为
（2）桑梯顶端D到地面的距离为
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等等；
（1）根据当时，锁链长度的最大，可得是等边三角形，即可求解；
（2）过点D作，垂足为E，在中，用勾股定理即可求解
【小问1详解】
解：（1）由题意得：当时，锁链长度的最大，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴锁链长度的最大值为；
【小问2详解】
（2）过点D作，垂足为E，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴
∴此时桑梯顶端D到地面的距离为．
25. 如图1，正方形中，点E、F分别是边、上的点，，

（1）请你直接写出、、之间的数量关系：___________．
（2）如图2，在四边形中，，与互补，点E、F分别是边、上的点，，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，若E、F分别在直线和直线上，若，，则___________．
【答案】（1），理由见解析
（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析
（3）或．
【解析】
【分析】（1）如图1，先证，得出，再证明，即可证明结论；
（2）如图2，先证，得出，再证明即可证明结论；
（3）分点E在线段上延长线上两种情况，分别运用全等三角形的性质和勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在△ABE和△ADG中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
和中，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图：当点E在线段上时，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
如图，当点E在线段的延长线上时，在上截取，连接，

在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
综上所述：的长为或．