福建省福州第三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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命题：高二数学集备组 审卷：高二数学集备组
第I卷
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（ ）
A. 种B. 种C. 9种D. 20种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理分析运算.
【详解】将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法.
故选：B
2. 设、，向量，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
3. 随机变量的分布列如下：
若，则（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得a、b的值，进而求得方差.
【详解】由题意可知，，
所以.
故选：
4. 某大学的2名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A. 若要求3名女生排在一起，则这5名同学共有48种排法
B. 若要求2名男生不相邻，则这5名同学共有36种排法
C. 若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这5名同学共有20种排法
D. 若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这5名同学共有72种方法
【答案】C
【解析】
【分析】利用捆绑法判断A；利用插空法判断B；利用定序法判断C，利用间接法可判断D.
【详解】对于，先将3名女生看成一个整体，与2名男生全排列即可，有种排法，错误；
对于B，若2名男生不相邻，可以先排女生，然后男生插空，有种排法，B错误；
对于C，女生从左到右是从高到矮排列，即女生定序，有种排法，C正确；
对于D，男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，有种排法，D错误．
故选：C
5. 已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设点由直线，的斜率乘积为得到，则渐近线可求.
【详解】设点，又，，则 ，
所以，又因为点在双曲线上得，
所以，故，所以
则双曲线的渐近线方程为.
故选：B
6. 现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（ ）
A. 18B. 24C. 30D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用间接法求解，先由分步计数原理计算4本书放入三个不同抽屉的放法数目，再计算语文与数学在同一抽屉的放法数目，相减即可得到结果.
【详解】4本书放入三个不同的抽屉，
先在4本书中任取2本作为一组，再将其与其他2本书对应三个抽屉，
共有种情况，
若语文与数学放入同一个抽屉，则其他两本放入其余抽屉，
有种情况，
则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为：种；
故选：C.
【点睛】解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
7. 设，则等于（ ）
A. 1B. C. 63D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法求得正确答案.
【详解】依题意，
令得，
令得，
所以.
故选：C
8. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，结合题意讨论单调性即可求解.
【详解】当时，令
所以，
所以在时单调递增，
对于A，由以上结论得即
即，故A正确；
对于B，由以上结论得即
即，故B错误；
对于C，因为，
故只用判断，
由A选项知，
但无法判断是否成立，故C错误；
对于D，只用判断是否成立，
根据题设条件，无法判断是否成立，故D错误.
故选:A.
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，把它们都选出来．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. “与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件
B. 已知随机变量的方差为，则
C. 已知随机变量服从二项分布，则
D. 已知随机变量服从正态分布且，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的关系可判断A，利用方差的性质可判断B，利用二项分布的期望公式可判断C，结合正态曲线的对称性可判断D.
【详解】对于A:“与是互斥事件”不能推出“与互为对立事件”，“与互为对立事件”能推出“与是互斥事件”，故“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A正确；
对于B：随机变量的方差为，则，故B错误；
对于C：随机变量服从二项分布，则，故C错误；
对于D：因为随机变量服从正态分布且，根据对称性可知，，
所以，故D正确．
故选：AD．
10. 等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A. 若，则B. 若，则是中最大的项
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据等差数列二次函数的性质可判断A和B选项，然后根据题意判断出，得，判断的正负，即可可判断C和D选项.
【详解】等差数列的前项和，又，，可得，所以是关于的开口向下的二次函数，若，则的对称轴，所以根据对称性可知；若，则对称轴为，所以是最大项；若，则，又，所以可得，故；不能判断正负，所以与不能比较大小.
故选：BC.
【点睛】关于等差数列前项和的最值问题，一般有两种求解方法：
（1）利用的公式判断得是关于的二次函数，计算对称轴，即可求出最值；
（2）利用的正负判断，当时，则在处取最大值，当时，则在处取最小值.
11. 已知函数的图象关于直线对称,则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点对称
D. 若,且在上无极值点,则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由解得,求出,由可判断A;求出的范围,根据正弦函数的单调性可判断B;计算可判断C;，可得或，可得 的最小值为可判断D.
【详解】因为函数的图象关于直线对称,
所以,即,解得,
,
且,
对于A,,故A正确;
对于B,,所以,
因为在上单调递减,在上单调递增,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,根据题意,且函数在上单调.
若,则,
可得或者,,
即,,
当时,的最小值为.
因为函数在上单调,即在上无零点,
因为的半周期为,在上无零点,则的最小值为满足题意,故D正确.
故选:ACD.
12. 对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（ ）
A. B. ，
C. D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.
【详解】A.因为，所以令得，所以，故A正确；
B.由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，所以，则，，故B错误；
C.，，而，
所以，，
由， ，，则，则，故C正确；
当时，，，
令，则，，
则，即，故D正确.
故选：ACD
第II卷
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在相应横线上．
13. 从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生的选法有__________种．（用数字作答）
【答案】34
【解析】
【分析】首先不考虑性别利用组合数求出总数，再减去全是男医生的情况即可.
【详解】由题意从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有种选法，
如果全是男医生参加，有种选法，所以共有种选法．
故答案为：
14. 在的展开式中，项的系数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
15. 已知在8个电子元件中，有3个次品，5个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到3个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将3个次品全部找出的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用独立事件的乘法公式可求答案.
【详解】由题意可得，前3次抽到了2个次品，一个正品，且第4次抽到第3个次品，结合相互独立事件的概率乘法公式，
所求概率．
故答案为：
16. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线方程，进而将有3条切线转化为方程有三个不等实数根，再转化为函数的图像有三个交点问题，利用导数作出的图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
设切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
将代入得.
因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，
则方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，
设，则，
当时，单调递增；
在和上，单调递减，，
当或时，，
画出的图象如图，
要使函数的图像有三个交点，需，
即，即的取值范围是，
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线条数可得有三个不等实数根，解答此类问题常用方法是转化为函数图象的交点问题，利用导数判断函数单调性或求得极值，进而作出图像，数形结合，解决问题.
四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球摸出的球不再放回，求：
（1）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（2）第二次摸到白球的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用条件概率的计算公式求解即可；
（2）第二次摸到白球的情况分为两种，分别求出这两种情况的概率，进而可求得答案.
【小问1详解】
设第一次摸到红球的事件为，第二次摸到红球的事件为，
则，，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率.
【小问2详解】
第二次摸到白球的情况分为两种：
第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率，
第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率，
所以第二次摸到白球的概率.
18. 在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，求的周长．
【答案】（1）；
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可.
【小问1详解】
在中，由，得，
由正弦定理得，即，
又，即，于是，
由，得，因此，又，
所以．
【小问2详解】
由的面积，得，得，
又，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以周长为．
19. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
（1）证明：；
（2）点F满足，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得；
（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
【小问1详解】
连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
【小问2详解】
不妨设，，．
，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．
20. 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；
①；②；③．
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级．
（2）将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品．
①从设备的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数的数学期望；
②从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数的分布列．（答案用分数表示，要画表格）
【答案】（1）性能等级为丙
（2）① ；②分布列见解析
【解析】
【分析】(1)根据原则，分别求得其对应的概率，进而判断出M的性能级别．
(2)通过题意可知，样本中共有6件次品，可知M生产的次品率为0.06．通过二项分布的概率分布即可求得次品的数学期望．
【小问1详解】
，
所以由图表知：
，
因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．
【小问2详解】
样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06，
直径小于或等于零件有2件，大于的零件有4件，共计6件
①从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，
依题意得，；
②由题意可知服从超几何分布，的可能值为：，
，，
所以Z的分布列为：
21. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【小问1详解】
因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
22. 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.

（1）写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，过且与平行的直线与曲线交于两点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得圆的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得，再由圆的定义和椭圆的定义，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，求得，，，即可得到所求轨迹方程；
（2）联立直线与圆，以及直线与椭圆方程，可得跟与系数的关系，结合向量的坐标运算，即可根据数量积的坐标运算得，进而利用函数的性质即可求解.
【小问1详解】
圆的标准方程为，故半径
因为，，故，
所以，故，
因此，
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．
【小问2详解】
设直线的方程为，则直线的方程为,
联立直线与圆的方程，消元得，
则
则，
联立直线与圆的方程，消元得，
由于点在椭圆内，故该方程一定有两个不相等的实数根，
不妨设，则，
，
，
，
，
所以，
令，则，
令，则，
由于函数的对称轴为，故在单调递减，
故当时，取最小值，故，
所以
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.1
2
直径
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
0
1
2