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所属成套资源：【专项复习】高考数学 概率与统计 （题型专练）
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【专项复习】高考数学专题02 超几何分布 （题型训练）.zip
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这是一份【专项复习】高考数学专题02 超几何分布 （题型训练）.zip，文件包含专项复习高考数学专题02超几何分布题型训练原卷版docx、专项复习高考数学专题02超几何分布题型训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
一、必备秘籍
1、超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品．从件产品中随机抽取件(不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为
，
其中，，，，，，，则称随机变量服从超几何分布．
2、公式 中个字母的含义
—总体中的个体总数
—总体中的特殊个体总数(如次品总数)
—样本容量
—样本中的特殊个体数(如次品数)
注意：
(1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；
(2) 不放回抽样；
(3) 注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围.
二、典型题型
题型一：超几何分布的概率问题
1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）杭州第届亚运会，是继年北京亚运会、年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.年月日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这名观众中抽取名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为人）.
(1)已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
(2)当取到最大值时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件，可知，利用独立事件的概率公式可得出关于的等式，解之即可；
（2）求得，解不等式，解出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）解：记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件.
，
整理可得，即，
又因为且，解得.
（2）解：“”表示第一次在个人中抽取个，
第二次抽取的个人中，有人在第一次抽取的人以外，另外的个人在第一次抽取的人中，
，记，
由，
解得，又，所以时，取最大值.
2．（2023·上海普陀·统考一模）我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.
(1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；
(2)经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）
【答案】(1)44.5
(2)
【分析】（1）求出指数，再根据百分位数的求法即可；
（2）利用组合公式结合古典概型即可得到答案.
【详解】（1）由条件得，指数，
则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第30人与第31人的年龄平均值，
由茎叶图可知，第30人的年龄为44，第31人的年龄为45，
则所求的第60百分位数是44.5.
（2）由茎叶图可知，年龄在的被调查者共9人，其中6名男性，3名女性，
令为至少有三人投赞成票，依题意得，
被选中的4人中有两名女性一名男性投赞成票的概率是
被选中的4人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是，
被选中的4人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是，
则被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率为.
3．（2023·全国·高二课堂例题）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动．袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖．求得一等奖、二等奖和三等奖的概率．
【答案】得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412．
【分析】由题意，用X表示抽到的红球数，则，根据超几何分布的概率公式得解.
【详解】解：从18个小球中抽取3个时，有种等可能的结果，用X表示抽到的红球数，
则，则
P（得一等奖）．
P（得二等奖）．
P（得三等奖）．
因此，得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412．
4．（2022上·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验.
(1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系.
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)见解析.
【分析】（1）当时，如果放回，是二项分布，计算概率值；
（2）如果不放回，是超几何分布，分别计算概率值；
（3）对超几何分布与二项分布关系的认识从共同点、不同点和联系三个方面进行说明．
【详解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为，
可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数，
恰好抽到1件次品的概率为.
（2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品的总数有关，
所以需要分3种情况分别计算：
①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件，
从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.
②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为4900件，
从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.
③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为49000件，
从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.
（3）对超几何分布与二项分布关系的认识：
共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．
不同点：
1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；
2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；
联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．
题型二：利用超几何分布求分布列、期望和方差
1．（2024上·山东德州·高二统考期末）为落实“双减”政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该小学三年级的个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下：
(1)若将上述表格中人数低于人的班级两两组合进行看护，求班级代号为、的两个班合班看护的概率；
(2)从已抽取的个班级中随机抽取个班，记个班中需要课后看护的学生人数低于人的班级数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）求出将人数少于人的个班两两组合进行课后看护的不同组合方法种数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：若将表中人数少于人的个班两两组合进行课后看护，
共种不同的方法，其中班级代号为、的两个班合班看护共种方法．
记表示事件“班级代号为、的两个班合班看护”，则其概率．
（2）解：随机变量的可能取值为、、、，
可得，，
，，
则的分布列为：
所以数学期望为．
2．（2024上·广东潮州·高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，，，，内，统计结果如频率分布直方图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；
(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
所以.
3．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图：
(1)估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．
（ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）
【分析】（1）每一组的中点值乘以对应的频率即可得到平均值；
（2）由频率比得到各小组内的人数，再利用超几何分布得到X的分布列与数学期望，即可得到（ⅰ）的答案；又利用条件概率即可得到（ⅱ）的答案.
【详解】（1）该班同学的平均进球个数:
．
（2）由题意可知进球个数在，，内的频率分别为0.16，0.32，0.16，
频率比为；
所以抽取的8人中，进球个数在，，内的人数分别为2，4，2．
（ⅰ）由题意可知，，1，2，3，
所以，，
，，
所以X的分布列为
所以．
（ⅱ）记事件“抽取的3人的进球个数不全在同一区间”，
事件“抽取的这3人的进球个数在不同区间”，
则，，
所以，
即这3个人的进球个数在不同区间的概率为．
4．（2023上·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】(1)，，，
(2)①各组应该抽取的人数分别为3，4，5，6；②分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）结合题意及频数与频率，频率之和为1等知识建立方程组，计算即可;
（2）根据分层抽样的定义即可求得各组应该抽取的人数；根据古典概型概率公式结合组合数可求得分布列，进一步求得数学期望.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为，又因为第五小组的频数为2400，所以样本容量．
因为第六小组的频率为，所以第六小组的频数是．
由频率之和为1，得，所以．
因为频率分布直方图中的满足，
所以．
所以代入中，得，
得，解得．所以．
（2）①因为前4组的频率之比为，
且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
所以在应该抽取的人数分别是
．
②由题意，随机变量的所有可能取值是．则
故随机变量的分布列为
故随机变量的数学期望为．
5．（2023上·甘肃白银·高三甘肃省靖远县第一中学校联考阶段练习）某商家2023年1月至7月商品的月销售量的数据如下图所示，若月份与商品的月销售量存在线性关系.
(1)求月份与商品的月销售量的回归直线方程；
(2)若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售量低于50的视为良好，记5分，月销售量不低于50的视为优秀，记10分，从合格月中任取3个月，用表示赋分之和，求的分布列和数学期望.
参考公式：回归直线方程，其中.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意先分别算出，，结合已知参数即可算出，，从而即可得解.
（2）合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，由超几何分布的概率公式即可求出分布列，进一步得出数学期望.
【详解】（1），，
，
所以，，
所以.
（2）由题可知，合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，
所以，
所以的分布列为
数学期望.
三、专项训练
1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
(1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；
(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望.
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
【答案】(1)，20次；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线，再代入估算2024年顾客对火车站投诉的次数；
（2）根据题意写出的可能取值，应用超几何概率公式求对应概率，即得分布列，进而求期望.
【详解】（1）由题设，，则，
所以，所以；
当时，代入，得到，
所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次.
（2）由题意，服从超几何分布，可取0，1，2，
，，，
所以.
2．（2023·陕西西安·统考一模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
(1)设其中两只小鼠中在对照组中小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
(2)测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表：
（ii）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
附：，其中.
【答案】(1)分布列见解析，期望为1
(2)（i），列联表见解析；（ⅱ）有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用
【分析】（1）根据超几何分布求分布列，进而可得期望；
（2）（i）直接根据已知数据计算中位数及填写二联表即可；（ⅱ）利用卡方公式及对照表计算即可.
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为，
填二联表如下：
（ⅱ）由上表及卡方公式可知:
，
所以有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
3．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第二中学校考期末）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为.
(1)求的值；
(2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）结合组合知识利用古典概型概率公式列方程求解即可；
（2）由题意得到随机变量的取值为0，1，2，3，分别求出概率，写出分布列，求出的数学期望.
【详解】（1）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，
因为从盒子中任取2个球都是红球的概率为，所以，所以，
所以，解得或（舍去）；
（2）由题意可能的取值为0，1，2，3，
则，，，，
故的分布列为：
所以的数学期望为.
4．（2023·全国·模拟预测）为落实节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取型和型设备各台，得到如下频率分布直方图．
(1)将使用寿命超过小时和不超过小时的台数填入下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断使用寿命是否超过小时与型号有没有关联，说明理由．
(2)用分层抽样的方法从使用寿命不超过小时的型和型设备中共抽取台，再从这台设备中随机抽取台，设其中型设备有台，求的分布列和．
(3)现有一项工作需要台同型号设备同时工作小时才能完成，工作期间若设备损坏，则立即更换同型号设备（更换设备的时间忽略不计）．型和型设备每台的价格分别为万元和万元，型和型设备每台每小时分别耗电度（度千瓦时）和度，电价为元/度．用频率估计概率，只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备？说明理由．
附：，其中．
【答案】(1)列联表见解析；使用寿命是否超过小时与型号无关，理由见解析
(2)分布列见解析；
(3)应选择型设备，理由见解析
【分析】（1）结合频率分布直方图可计算得到列联表所需数据，由此可得，根据独立性检验的思想可得结论；
（2）根据分层抽样原则可确定抽取的型设备的台数，进而确定的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值；
（3）估算出需更换的型设备的数量，从而计算出使用型设备的总费用，比较费用大小即可得到结论.
【详解】（1）根据频率分布直方图可补全列联表如下：
提出零假设：使用寿命是否超过小时与型号无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
可以认为成立，即使用寿命是否超过小时与型号无关．
（2）由分层抽样定义知：抽取的型设备有台，抽取的型设备有台，则所有可能的取值为，
；；；
的分布列为：
.
（3）由频率分布直方图中的频率估计概率知：
型设备每台更换的概率为，台型设备估计要更换台；
型设备每台更换的概率为，台型设备估计要更换台．
则选择A型设备的总费用（万元）；
选择型设备的总费用（万元），
，应选择型设备.
5．（2023·全国·高二课堂例题）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数．
(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意，摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，可写出分布列．
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值，进而可算得，进行比较可判断.
【详解】（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为：
，，1，2，…，20．
.
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为：
，，1，2，…，20．
.
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如下表所示．
样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得
有放回摸球：．
不放回摸球：．
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些．
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（下图）看，超几何分布更集中在均值附近．
6．（2022上·上海嘉定·高二校考期中）已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡．
(1)求事件“第1轮无红色卡牌”的概率；
(2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用组合数，结合古典概型的概率求法求；
（2）应用组合数，结合互斥事件的加法公式求；
（3）讨论第一轮有红牌1、2、3张，对应第二轮出现红牌可能张数的概率和，即可求.
【详解】（1）由题意，“第1轮无红色卡牌”的概率.
（2）由题意，“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率.
（3）要使每轮都有红色卡牌，有如下情况：
第一轮抽到1张红牌，则第二轮红牌有1张、2张、3张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到2张红牌，则第二轮红牌有1张、2张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到3张红牌，则第二轮红牌有1张，
此时每轮都有红牌的概率为，
综上，3轮中“每轮均有红色卡牌”的概率.
7．（2022·北京·景山学校校考模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】(1)0.20
(2)的分布列见解析，数学期望为
(3)5
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出的值，进而估计出概率；
（2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列；
（3）求出的式子进行判断.
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望.
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
8．（2020·福建福州·统考模拟预测）某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．
附：若，则，．
【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．
【分析】（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
（2）①设该划线分为，由求出.由，得.由题意，又，故，故，即可求出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出，代入不等式组，即求的值.
【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.
由题意可得：，，
，，
随机变量的分布列为
数学期望．
（2）①设该划线分为，由得，
令，则，
由题意，，即，
，，，
，，取．
②由①讨论及参考数据得
，
即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，
，．
由
即
解得，
，，
当时，取得最大值．
【点睛】本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．
9．（2020·安徽安庆·统考二模）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？
②若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.
【答案】（1）①；②详见解析；（2）.
【解析】（1）事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在，”发生的概率为．
①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在，”为，利用独立重复实验的概率求解即可．
②随机变量所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．
（2）每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，判断，通过若户的可能性最大，列出不等式组，求解即可．
【详解】（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在”发生的概率为.
①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在”为A，则.
②随机变量所有可能的取值为0，1，2.则
，，，
所以
（2）每天对甲类生活物资的需求平均值为
（）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，，
若k户的可能性最大，则，
，得，
解得，由于，故.
【点睛】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查学生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.
10．（2020上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
而等比例转换法是通过公式计算：
其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，
所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；
（2）列出随机变量的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．
【详解】（1）设化学成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得：
，即：，
所以，得：，
显然原始成绩满足的同学有3人，获得等级的考生有15人.
恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为.
（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得等级的考生有15人，
，
，
则分布列为
则期望为：
【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．
班级代号
1
2
3
4
5
6
7
8
需看护学生人数
20
22
27
30
25
23
32
21
X
P
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
15
20
25
600
592
43837.2
93.8
0
1
2
合计
对照组
实验组
合计
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
0
1
2
3
型号
使用寿命
合计
超过小时
不超过小时
型
型
合计
型号
使用寿命
合计
超过小时
不超过小时
型
型
合计
k
k
0
0.00004
0.00001
11
0.07099
0.06376
1
0.00049
0.00015
12
0.03550
0.02667
2
0.00309
0.00135
13
0.01456
0.00867
3
0.01235
0.00714
14
0.00485
0.00217
4
0.03499
0.02551
15
0.00129
0.00041
5
0.07465
0.06530
16
0.00027
0.00006
6
0.12441
0.12422
17
0.00004
0.00001
7
0.16588
0.17972
18
0.00000
0.00000
8
0.17971
0.20078
19
0.00000
0.00000
9
0.15974
0.17483
20
0.00000
0.00000
10
0.11714
0.11924
0
1
2
3
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
0
1
2
等级
比例
赋分区间
考生科目
考试成绩
成绩等级
原始分区间
等级分区间
化学
75分
等级
成绩
95
93
91
90
88
87
85
人数
1
2
3
2
3
2
2
0
1
2
3
一、必备秘籍
1、超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品．从件产品中随机抽取件(不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为
，
其中，，，，，，，则称随机变量服从超几何分布．
2、公式 中个字母的含义
—总体中的个体总数
—总体中的特殊个体总数(如次品总数)
—样本容量
—样本中的特殊个体数(如次品数)
注意：
(1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；
(2) 不放回抽样；
(3) 注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围.
二、典型题型
题型一：超几何分布的概率问题
1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）杭州第届亚运会，是继年北京亚运会、年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.年月日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这名观众中抽取名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为人）.
(1)已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
(2)当取到最大值时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件，可知，利用独立事件的概率公式可得出关于的等式，解之即可；
（2）求得，解不等式，解出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）解：记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件.
，
整理可得，即，
又因为且，解得.
（2）解：“”表示第一次在个人中抽取个，
第二次抽取的个人中，有人在第一次抽取的人以外，另外的个人在第一次抽取的人中，
，记，
由，
解得，又，所以时，取最大值.
2．（2023·上海普陀·统考一模）我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.
(1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；
(2)经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）
【答案】(1)44.5
(2)
【分析】（1）求出指数，再根据百分位数的求法即可；
（2）利用组合公式结合古典概型即可得到答案.
【详解】（1）由条件得，指数，
则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第30人与第31人的年龄平均值，
由茎叶图可知，第30人的年龄为44，第31人的年龄为45，
则所求的第60百分位数是44.5.
（2）由茎叶图可知，年龄在的被调查者共9人，其中6名男性，3名女性，
令为至少有三人投赞成票，依题意得，
被选中的4人中有两名女性一名男性投赞成票的概率是
被选中的4人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是，
被选中的4人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是，
则被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率为.
3．（2023·全国·高二课堂例题）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动．袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖．求得一等奖、二等奖和三等奖的概率．
【答案】得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412．
【分析】由题意，用X表示抽到的红球数，则，根据超几何分布的概率公式得解.
【详解】解：从18个小球中抽取3个时，有种等可能的结果，用X表示抽到的红球数，
则，则
P（得一等奖）．
P（得二等奖）．
P（得三等奖）．
因此，得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412．
4．（2022上·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验.
(1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系.
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)见解析.
【分析】（1）当时，如果放回，是二项分布，计算概率值；
（2）如果不放回，是超几何分布，分别计算概率值；
（3）对超几何分布与二项分布关系的认识从共同点、不同点和联系三个方面进行说明．
【详解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为，
可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数，
恰好抽到1件次品的概率为.
（2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品的总数有关，
所以需要分3种情况分别计算：
①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件，
从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.
②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为4900件，
从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.
③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为49000件，
从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.
（3）对超几何分布与二项分布关系的认识：
共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．
不同点：
1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；
2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；
联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．
题型二：利用超几何分布求分布列、期望和方差
1．（2024上·山东德州·高二统考期末）为落实“双减”政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该小学三年级的个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下：
(1)若将上述表格中人数低于人的班级两两组合进行看护，求班级代号为、的两个班合班看护的概率；
(2)从已抽取的个班级中随机抽取个班，记个班中需要课后看护的学生人数低于人的班级数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）求出将人数少于人的个班两两组合进行课后看护的不同组合方法种数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：若将表中人数少于人的个班两两组合进行课后看护，
共种不同的方法，其中班级代号为、的两个班合班看护共种方法．
记表示事件“班级代号为、的两个班合班看护”，则其概率．
（2）解：随机变量的可能取值为、、、，
可得，，
，，
则的分布列为：
所以数学期望为．
2．（2024上·广东潮州·高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，，，，内，统计结果如频率分布直方图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；
(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
所以.
3．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图：
(1)估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．
（ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）
【分析】（1）每一组的中点值乘以对应的频率即可得到平均值；
（2）由频率比得到各小组内的人数，再利用超几何分布得到X的分布列与数学期望，即可得到（ⅰ）的答案；又利用条件概率即可得到（ⅱ）的答案.
【详解】（1）该班同学的平均进球个数:
．
（2）由题意可知进球个数在，，内的频率分别为0.16，0.32，0.16，
频率比为；
所以抽取的8人中，进球个数在，，内的人数分别为2，4，2．
（ⅰ）由题意可知，，1，2，3，
所以，，
，，
所以X的分布列为
所以．
（ⅱ）记事件“抽取的3人的进球个数不全在同一区间”，
事件“抽取的这3人的进球个数在不同区间”，
则，，
所以，
即这3个人的进球个数在不同区间的概率为．
4．（2023上·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】(1)，，，
(2)①各组应该抽取的人数分别为3，4，5，6；②分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）结合题意及频数与频率，频率之和为1等知识建立方程组，计算即可;
（2）根据分层抽样的定义即可求得各组应该抽取的人数；根据古典概型概率公式结合组合数可求得分布列，进一步求得数学期望.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为，又因为第五小组的频数为2400，所以样本容量．
因为第六小组的频率为，所以第六小组的频数是．
由频率之和为1，得，所以．
因为频率分布直方图中的满足，
所以．
所以代入中，得，
得，解得．所以．
（2）①因为前4组的频率之比为，
且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
所以在应该抽取的人数分别是
．
②由题意，随机变量的所有可能取值是．则
故随机变量的分布列为
故随机变量的数学期望为．
5．（2023上·甘肃白银·高三甘肃省靖远县第一中学校联考阶段练习）某商家2023年1月至7月商品的月销售量的数据如下图所示，若月份与商品的月销售量存在线性关系.
(1)求月份与商品的月销售量的回归直线方程；
(2)若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售量低于50的视为良好，记5分，月销售量不低于50的视为优秀，记10分，从合格月中任取3个月，用表示赋分之和，求的分布列和数学期望.
参考公式：回归直线方程，其中.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意先分别算出，，结合已知参数即可算出，，从而即可得解.
（2）合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，由超几何分布的概率公式即可求出分布列，进一步得出数学期望.
【详解】（1），，
，
所以，，
所以.
（2）由题可知，合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，
所以，
所以的分布列为
数学期望.
三、专项训练
1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
(1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；
(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望.
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
【答案】(1)，20次；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线，再代入估算2024年顾客对火车站投诉的次数；
（2）根据题意写出的可能取值，应用超几何概率公式求对应概率，即得分布列，进而求期望.
【详解】（1）由题设，，则，
所以，所以；
当时，代入，得到，
所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次.
（2）由题意，服从超几何分布，可取0，1，2，
，，，
所以.
2．（2023·陕西西安·统考一模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
(1)设其中两只小鼠中在对照组中小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
(2)测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表：
（ii）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
附：，其中.
【答案】(1)分布列见解析，期望为1
(2)（i），列联表见解析；（ⅱ）有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用
【分析】（1）根据超几何分布求分布列，进而可得期望；
（2）（i）直接根据已知数据计算中位数及填写二联表即可；（ⅱ）利用卡方公式及对照表计算即可.
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为，
填二联表如下：
（ⅱ）由上表及卡方公式可知:
，
所以有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
3．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第二中学校考期末）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为.
(1)求的值；
(2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）结合组合知识利用古典概型概率公式列方程求解即可；
（2）由题意得到随机变量的取值为0，1，2，3，分别求出概率，写出分布列，求出的数学期望.
【详解】（1）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，
因为从盒子中任取2个球都是红球的概率为，所以，所以，
所以，解得或（舍去）；
（2）由题意可能的取值为0，1，2，3，
则，，，，
故的分布列为：
所以的数学期望为.
4．（2023·全国·模拟预测）为落实节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取型和型设备各台，得到如下频率分布直方图．
(1)将使用寿命超过小时和不超过小时的台数填入下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断使用寿命是否超过小时与型号有没有关联，说明理由．
(2)用分层抽样的方法从使用寿命不超过小时的型和型设备中共抽取台，再从这台设备中随机抽取台，设其中型设备有台，求的分布列和．
(3)现有一项工作需要台同型号设备同时工作小时才能完成，工作期间若设备损坏，则立即更换同型号设备（更换设备的时间忽略不计）．型和型设备每台的价格分别为万元和万元，型和型设备每台每小时分别耗电度（度千瓦时）和度，电价为元/度．用频率估计概率，只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备？说明理由．
附：，其中．
【答案】(1)列联表见解析；使用寿命是否超过小时与型号无关，理由见解析
(2)分布列见解析；
(3)应选择型设备，理由见解析
【分析】（1）结合频率分布直方图可计算得到列联表所需数据，由此可得，根据独立性检验的思想可得结论；
（2）根据分层抽样原则可确定抽取的型设备的台数，进而确定的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值；
（3）估算出需更换的型设备的数量，从而计算出使用型设备的总费用，比较费用大小即可得到结论.
【详解】（1）根据频率分布直方图可补全列联表如下：
提出零假设：使用寿命是否超过小时与型号无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
可以认为成立，即使用寿命是否超过小时与型号无关．
（2）由分层抽样定义知：抽取的型设备有台，抽取的型设备有台，则所有可能的取值为，
；；；
的分布列为：
.
（3）由频率分布直方图中的频率估计概率知：
型设备每台更换的概率为，台型设备估计要更换台；
型设备每台更换的概率为，台型设备估计要更换台．
则选择A型设备的总费用（万元）；
选择型设备的总费用（万元），
，应选择型设备.
5．（2023·全国·高二课堂例题）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数．
(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意，摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，可写出分布列．
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值，进而可算得，进行比较可判断.
【详解】（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为：
，，1，2，…，20．
.
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为：
，，1，2，…，20．
.
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如下表所示．
样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得
有放回摸球：．
不放回摸球：．
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些．
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（下图）看，超几何分布更集中在均值附近．
6．（2022上·上海嘉定·高二校考期中）已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡．
(1)求事件“第1轮无红色卡牌”的概率；
(2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用组合数，结合古典概型的概率求法求；
（2）应用组合数，结合互斥事件的加法公式求；
（3）讨论第一轮有红牌1、2、3张，对应第二轮出现红牌可能张数的概率和，即可求.
【详解】（1）由题意，“第1轮无红色卡牌”的概率.
（2）由题意，“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率.
（3）要使每轮都有红色卡牌，有如下情况：
第一轮抽到1张红牌，则第二轮红牌有1张、2张、3张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到2张红牌，则第二轮红牌有1张、2张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到3张红牌，则第二轮红牌有1张，
此时每轮都有红牌的概率为，
综上，3轮中“每轮均有红色卡牌”的概率.
7．（2022·北京·景山学校校考模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】(1)0.20
(2)的分布列见解析，数学期望为
(3)5
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出的值，进而估计出概率；
（2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列；
（3）求出的式子进行判断.
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望.
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
8．（2020·福建福州·统考模拟预测）某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．
附：若，则，．
【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．
【分析】（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
（2）①设该划线分为，由求出.由，得.由题意，又，故，故，即可求出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出，代入不等式组，即求的值.
【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.
由题意可得：，，
，，
随机变量的分布列为
数学期望．
（2）①设该划线分为，由得，
令，则，
由题意，，即，
，，，
，，取．
②由①讨论及参考数据得
，
即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，
，．
由
即
解得，
，，
当时，取得最大值．
【点睛】本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．
9．（2020·安徽安庆·统考二模）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？
②若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.
【答案】（1）①；②详见解析；（2）.
【解析】（1）事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在，”发生的概率为．
①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在，”为，利用独立重复实验的概率求解即可．
②随机变量所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．
（2）每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，判断，通过若户的可能性最大，列出不等式组，求解即可．
【详解】（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在”发生的概率为.
①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在”为A，则.
②随机变量所有可能的取值为0，1，2.则
，，，
所以
（2）每天对甲类生活物资的需求平均值为
（）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，，
若k户的可能性最大，则，
，得，
解得，由于，故.
【点睛】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查学生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.
10．（2020上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
而等比例转换法是通过公式计算：
其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，
所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；
（2）列出随机变量的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．
【详解】（1）设化学成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得：
，即：，
所以，得：，
显然原始成绩满足的同学有3人，获得等级的考生有15人.
恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为.
（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得等级的考生有15人，
，
，
则分布列为
则期望为：
【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．
班级代号
1
2
3
4
5
6
7
8
需看护学生人数
20
22
27
30
25
23
32
21
X
P
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
15
20
25
600
592
43837.2
93.8
0
1
2
合计
对照组
实验组
合计
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
0
1
2
3
型号
使用寿命
合计
超过小时
不超过小时
型
型
合计
型号
使用寿命
合计
超过小时
不超过小时
型
型
合计
k
k
0
0.00004
0.00001
11
0.07099
0.06376
1
0.00049
0.00015
12
0.03550
0.02667
2
0.00309
0.00135
13
0.01456
0.00867
3
0.01235
0.00714
14
0.00485
0.00217
4
0.03499
0.02551
15
0.00129
0.00041
5
0.07465
0.06530
16
0.00027
0.00006
6
0.12441
0.12422
17
0.00004
0.00001
7
0.16588
0.17972
18
0.00000
0.00000
8
0.17971
0.20078
19
0.00000
0.00000
9
0.15974
0.17483
20
0.00000
0.00000
10
0.11714
0.11924
0
1
2
3
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
0
1
2
等级
比例
赋分区间
考生科目
考试成绩
成绩等级
原始分区间
等级分区间
化学
75分
等级
成绩
95
93
91
90
88
87
85
人数
1
2
3
2
3
2
2
0
1
2
3
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