广东省2024届高三下学期2月大联考（一模）数学试卷(含答案)

这是一份广东省2024届高三下学期2月大联考（一模）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数，则( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，若，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．某班12名同学某次测试的数学成绩（单位：分）分别为62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是( )
A.74B.78C.83D.91
4．跃鲤桥，为单孔石拱桥，该石拱桥内侧曲线呈抛物线型，如图.当水面宽度为24米时，该石拱桥的拱顶离水面的高度为12米，若以该石拱桥的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，则该抛物线的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
5．已知，；，.若p为假命题，q为真命题，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
7．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆，则下列结论正确的是( )
A.无论n为何值，圆都与y轴相切
B.存在整数n，使得圆与直线相切
C.当时，圆上恰有11个整点（横、纵坐标都是整数的点）
D.若圆上恰有两个点到直线的距离为，则
10．如图，在长方体中，，，E是棱上的一点，点F在棱上，则下列结论正确的是( )
A.若，C，E，F四点共面，则
B.存在点E，使得平面
C.若，C，E，F四点共面，则四棱锥的体积为定值
D.若E为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
11．已知函数的定义域为R，且，，若，则( )
A.是周期为4的周期函数
B.的图像关于直线对称
C.是偶函数
D.
三、填空题
12．已知等差数列的前n项和是，且，则______.
13．某班元旦晚会准备了8个节目，其中歌曲节目有3个，舞蹈节目有2个，小品、相声、廆术节目各1个，要求小品、相声、魔术这3个节目不安排在第一个表演，这3个节目中最多有2个节目连续表演，且魔术在小品后面表演，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种______.（用数字作答）
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点.若，且，则双曲线C的离心率是______.
四、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，D是边的中点，求的长.
16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E，F分别为棱，的中点，.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
17．某校为庆祝元旦，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，游戏规则如下：该游戏共两关，第一关中四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字，才能进入第二关；第二关中四字成语给出其中两个字，剩余两个字全部填对得10分，只填一个且填对得5分，只要填错一个或两个都不填得0分.
（1）已知小李知道该成语的概率是，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是，在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率.
（2）在过第二关时，小李每个字填与不填是等可能的，且每个字填对与填不对也是等可能的.记X表示小李在第二关中得到的分数，求X的分布列及数学期望.
18．已知椭圆的左、右顶点分别是A，B，点在椭圆C上，P是椭圆C上异于点A，B的动点，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）过点的直线l与椭圆C交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点Q，试问点Q是否恒在一条直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
19．已知函数（其中e为自然对数的底数）.
（1）当时，求的最小值；
（2）若对定义域内的一切实数x，都有，求整数m的最小值.
（参考数据：）
参考答案
1．答案：B
解析：因为，所以.
2．答案：A
解析：由题意可得或.因为，所以，解得.
3．答案：C
解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.因为，所以这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是83.
4．答案：A
解析：设该抛物线方程为，则点在该抛物线上，从而，解得，故该抛物线的焦点坐标是.
5．答案：A
解析：设，，则.由p为真命题，得，解得.由q为真命题，得，解得.综上，.
6．答案：D
解析：如图，取棱AC的中点H，连接，，，易证四边形是平行四边形，则，故是异面直线DF与所成的角或补角.设，则，.在中，由余弦定理可得.
7．答案：B
解析：由题意可得.因为，所以.因为在上恰有两个零点，所以，解得.
8．答案：B
解析：设，则.当时，，则在上单调递增，从而，即，即，故，即.设，则.当时，，则在上单调递减，从而，即，即，故.因为，所以，则，即.设，则.当时，，则在上单调递增，从而，即，即，即，故，即.
9．答案：AD
解析：由题意可知圆的圆心坐标为，半径为n，则圆心到y轴的距离等于圆的半径，则A正确.由圆与直线相切，得，解得，则B错误.当时，圆，则上的整点有，，，，，，，，，，，，共12个，则C错误.圆心到直线的距离，则，解得，故D正确.
10．答案：BCD
解析：由，C，E，F四点共面，得，则，若E不是棱的中点，则，故A错误.当E是棱的中点时，取的中点G，连接，，则G为的中点.因为E为的中点，则.因为平面，平面，所以平面，则B正确.因为的面积为定值，点E，F到平面的距离为定值，所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值，则四棱锥的体积为定值，故C正确.取棱的中点，由题中数据可得是外接圆的圆心，外接圆的半径.设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，设，则，解得，从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确.
11．答案：ABD
解析：因为，所以，所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确.因为，所以，所以的图象关于直线对称，则B正确.因为，所以.令，得，则.因为的图象关于直线对称，所以，则，从而不是偶函数，则C错误.由的对称性与周期性可得，，则，故D正确.
12．答案：75
解析：因为，所以，则.
13．答案：10800
解析：先将歌曲和舞蹈节目排好，有种，再将小品、相声、魔术这3个节目排好，有种，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种.
14．答案：
解析：设，则.由双曲线的定义可得，.因为，所以，所以，则，，.在中，由余弦定理可得，即，即.在中，由余弦定理可得，则，即，从而，即，即，故.
15、
（1）答案：
解析：因为，所以.
因为，所以，所以.
因为，
所以，所以.
因为，所以.
（2）答案：
解析：解法一：因为D是边BC的中点，所以，即，
所以.
因为，，所以，所以，则，
解法二：在中，由余弦定理可得，则.
因为，，，所以.
因为D是边BC的中点，所以，
在中，由余弦定理可得，则.
16、
（1）答案：证明见解析
解析：证明：取棱PB的中点H，连接AH，FH.
因为H，F分别是棱PB，PC的中点，所以，.
因为E是棱AD的中点，所以，，所以，，
所以四边形AEFH为平行四边形，所以.
因为平面，平面PAB，所以平面PAB.
（2）答案：
解析：以A为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
故，，.设平面BEF的法向量为，则令，得.
设平面CEF的法向量为，则令，得.
设平面BEF与平面CEF所成的角为，则，即平面BEF与平面CEF所成角的余弦值为.
17、
（1）答案：
解析：记事件A为“小李通过第一关”，事件B为“小李知道该成语”，
则，，，
由全概率公式可得，则所求概率为.
（2）答案：分布列见解析，
解析：设事件表示小明填了i个字，，2，C表示填到的字都是正确的.
X的可能取值为0，5，10.
，
，
.
随机变量X的分布列为
故.
18、
（1）答案：
解析：设，则，故.
由题意可知，，则，，
从而.
因为在椭圆C上，所以.
联立解得，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）答案：见解析
解析：由题意可知，，设，，则直线AM的方程为，直线BN的方程为.联立整理得.
由题意可知直线l的斜率不为0，设直线，
则.
联立整理得，
则，，故.
故.
即点Q恒在直线上.
19、
（1）答案：1
解析：当时，，此时的定义域为，且，显然在上单调递增.
因为，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.
故.
（2）答案：1
解析：由题意可知的定义域为，
因为对定义域内的一切实数x，都有，所以，即.因为m为整数，所以.
当时，由题意可得，显然在上单调递增.
设，则在上单调递增.
因为，，
所以存在唯一的，使得，即，即，
所以，，设，显然在上单调递增，则成立，故符合题意，即整数m的最小值为1.
X
0
5
10
P