福建省 厦门市第十一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，解得．
故选：A．
2. 以下面各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 1，，2D. 6，7，8
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
B、∵，∴能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∵，∴能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∵，∴不能构成直角三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB//DC，AD//BCB. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB//DC，AD=BC
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．
4. 已知直线mn，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离（ ）

A. 只有B. 只有C. 和均可D. 和均可
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．
【详解】解：从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，
线段和都可以示直线与之间的距离，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键是熟记平行线之间的距离的概念．
5. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位线定理可得，即可得到解答．
【详解】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
即为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6. 将温度计从热茶的杯子中取出之后，立即被放入一杯凉水中．每隔后读一次温度计上显示的度数，将记录下的数据制成下表：
下述说法不正确的是（ ）
A. 自变量是时间，因变量是温度计的读数
B. 当时，温度计上的读数是31.0℃
C. 温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变
D. 依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数是13.0℃
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和表格中的数据逐项判断即可．
【详解】解：A、自变量是时间，因变量是温度计的读数，正确，不符合题意；
B、当时，温度计上的读数是31.0℃，正确，不符合题意；
C、温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变，正确，不符合题意；
D、依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数可能低于12℃或者等于12℃，错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查用表格表示变量间的关系，能从表格中获取有效信息是解答的关键．
7. 如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．由菱形的性质可知，，，，，进而得到，设，则，利用勾股定理列方程求出，再求出线段的长即可．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
故选：A．
8. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ）

A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减少
【答案】C
【解析】
【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况．
【详解】如图，连接．

∵
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
9. 如图，在中， 于点F， 于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为（ ）
A. 7B. 8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理；连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，
∵，
∴F是中点，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故选：C．
10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误；故选A．
【详解】过作，过作于，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∴，
∵四边形是正方形
∴，
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴平分，故③正确；
∴，故②错误；
当时，点与点重合，
∴不一定等于，故④错误．
故选：A
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11. 化简：（1）_______；（2）________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：．
12. 函数的自变量x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题关键．由题意得：，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
13. 命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是_____，该逆命题是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】 ①. 锐角三角形是等边三角形 ②. 假
【解析】
【分析】本题考查了逆命题及判断命题真假，正确理解三角形的分类是解题关键．先根据原命题写出逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题，
故答案为：锐角三角形是等边三角形；假；
14. 如图，中，，是的中点，，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题．
【详解】解：在中，，是的中点，
线段是斜边上的中线；
又，
．
故答案为：．
15. 如图，在中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为________．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30度的直角三角形，勾股定理，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接，过点作于点,由三角形中位线定理可得，即当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，过点作于点,
点E为的中点，点F为的中点，
是的中位线，
，
当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：
16. 清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以、和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，利用整体思想解题是关键．根据正方形的性质，先证明，得到，再证明，得到，从而得出，再将所给的图形面积相加，得到，进而得出，然后结合完全平方公式，求出，即可求解．
【详解】解：令，，
四边形，和是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形和的面积和为5，
，
，
，
四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，
，
，
，
，
（负值舍去），
即的值为，
故答案为：．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算和乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再计算加减法即可 ．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE＝DF．求证：AE＝CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D，再根据SAS证明即可．
【详解】证明：在平行四边形中
AB＝CD，∠B＝∠D，
又∵BE＝FD，
∴（SAS），
∴AE＝CF
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19. 化简求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先将括号内通分，再将除法化为乘法约分化简，然后将代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 如图，是一辆摩托车在内的速度随时间变化的图象，请你根据图象信息填空：
（1）根据函数的定义，变量v_______（填“是”或者“不是”）关于x的函数；
（2）托车在中途休息的时间为______；
（3）摩托车第二次减速行驶的时间段为______；
（4）摩托车在第期间行驶的距离________．
【答案】（1）是 （2）4
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了函数的概念，函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．
（1）根据函数的定义分析即可；
（2）根据函数图象找出速度为0时的对应时间，即可求解；
（3）根据图象找出摩托车第二次减速行驶的时间段即可；
（4）根据图象可知，摩托车在第期间，行驶的速度为，时间为，再用速度时间求出行驶的距离即可．
【小问1详解】
解：由函数图象可知，变量随着变量的数值变化而变化，有且只有一个值与之对应，
即变量是关于的函数，
故答案为：是；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，托车在中途休息的时间为，
故答案为：4；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，摩托车第二次减速行驶的时间段为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：由函数图象可知，摩托车在第期间，行驶的速度为，时间为，
行驶的距离为，
故答案为：．
21. 已知，矩形．
（1）若点E为边上一点，且，请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑）
（2）在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长．（请用图2进行探究）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质，勾股定理：
（1）以点B为圆心，长为半径画弧交于点即可；
（2）根据矩形的性质可得，由（1）可得，根据勾股定理可得结论．
【小问1详解】
解：如图，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∴点E即所求；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：，
在中，根据勾股定理得：
∴
∴．
22. 如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的周长为36，求长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到，即可证明四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质，得出，由勾股定理可得，从而得到，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求出长．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，，
，，，，
的周长为36，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
23. 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？
【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的一半？
【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究，
活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？
分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④______________
活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由．
请你完成以下任务：
（1）将①~⑤分别补充完整；
（2）按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题：
（3）完成对【阶段二】中活动二的研究．
【答案】（1）①；②；③不存在；④；⑤不存在；
（2）见解析 （3）当时，存在满足条件的新矩形．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，一元二次方程根的判别式等知识，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据正方形的周长和面积公式，可作答①②③空；设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意列二元一次方程组求解，根据方程无解可作答④⑤空；
（2）思路一：见（1）解析；思路二：根据以及平方的非负性即可求解；
（3）设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意列二元一次方程组，利用代入消元法解方程，再根据一元二次方程根判别式求解即可．
【小问1详解】
解：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为．
若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为，
此时新正方形的面积是，
即不存在一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半；
已知矩形的长和宽分别为4和2，若存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半，
设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意，得方程组，
整理得：，
由得：，
将③代入①得：，
，
，
，
方程组无解，
即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半．
故答案为：①；②；③不存在；④；⑤不存在；
【小问2详解】
解：设新矩形长和宽分别x，y，根据题意，得方程组，
思路一：见（1）解析；
思路二：，且，
、不存在满足条件的情况，
即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半．
【小问3详解】
解：设新矩形长和宽分别为x、y，
根据题意得，
由①得：，
将③代入②得：，
整理得：，
，
时，方程有实数解，
时，即，方程有解，存在满足条件的新矩形，
24. 综合与实践
问题情境：
如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接．
操作探究：
将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接．
（1）如图2，当M是的中点时，求证：；
（2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由平移可知，，，，证明是的中位线，得到，即可得出结论；
（2）根据正方形和平移的性质，证明，得到，，进而得出，即可得到答案；
（3）由勾股定理可得，再结合，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，连接
由平移可知，，，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
；
（2）解：等腰直角三角形，理由如下：
四边形是正方形，
，，，
，
由平移可知，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
等腰直角三角形；
（3）解：，理由如下：
由（2）得：，，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，平移的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
25. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、D两点坐标分别为，且．
（1）求A、D两点坐标；
（2）点B、C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形为平行四边形．
①如图，当点B、C分别在原点两侧时，连接，过点O作交于点G，连接，取中点H，在上截取，使．
求证：；
②当点B在原点左侧时，过点O的直线，分别交、于M、N，请直接写出、、三条线段之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②或
【解析】
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标；
（2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，结合勾股定理，即可证明结论；
②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可．
【小问1详解】
解：，
，解得：，
，
，
；
【小问2详解】
解：①如图，连接，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
,
,
，
，
在和中，
，
，
，
在中，,
，
即；
②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当点在原点左侧时，过点作交于点，
同理可证，四边形是平行四边形，，
，，
，
，
即，
综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
时间t（单位：s）
5
10
15
20
25
30
温度计读数（单位：℃）
49.0
310
22.0
16.5
14.0
12.0
思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为．若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为①_______，此时新正方形的面积是②_______
结论：③_______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半
思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题．
思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题．
结论：⑤_________（“存在”或不存在）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半．