浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案）

这是一份浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。

高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
Ⅰ 选择题部分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数（，）的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
A．B．
C．在上单调递减D．函数的图象关于点中心对称
5．下列图像中，不可能成为函数的图像的是（ ）
A．B．
C．D．
6．某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（ ）
A．0.9B．0.85C．0.8D．0.75
7．函数的零点为，函数的零点为，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．，
C．有最大值D．最小值为0
10．下列关于排列组合数的说法正确的是（ ）
A．
B．
C．已知，则等式对，恒成立
D．，则x除以10的余数为6
11．投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
Ⅱ 非选择题部分
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，其中第13题第（1）空2分，第（2）空3分）
12．已知，，则__________ ．
13．已知正实数a，b，c，，则的最大值为__________，的最小值为__________．
14．某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有__________种．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知集合，非空集合．
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求m的取值范围．
16．（15分）函数．
（1）若的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）方程在区间上有解，求实数a的取值范围．
17．（15分）已知函数，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）解不等式；
（3）函数的图象依次经过三次变换：①向左平移个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的，③关于y轴对称，得到函数的图象，求图象在y轴右侧第二个对称中心的坐标．
18．（17分）设a，，函数，，．
（Ⅰ）若为偶函数，求b的值；
（Ⅱ）当时，若，在上均单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）设，若对任意，都有，求的最大值．
19．（17分）斐波那契数列（Fibnacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Lenard Fibnacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，），已知，则集合A中的元素个数可表示为，又有且．
（1）求集合A中奇数元素的个数，不需说明理由；并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率；
（2）求集合B中所有元素之和为奇数的概率．
（3）取其中的6个数1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，求这样的排列的个数．（如排列1，2，3，5，13，21中，相邻三数如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，则此排列不合题意）
高二年级数学学科参考答案
1．C2．C3．B4．D5．C6．A7．D8．B9．BD
10．ABC11．ACD
12．13．，14．396
15．（13分）解：集合，即，
（1）当时，集合，．
（评分建议：若交集求错，但答案中有，可给1分）
（2）由是的必要条件，可得，
，即，
，即，．
16．（15分）
解：．
（1）由的定义域为R，则函数对恒成立，
方程无实数解，即．．
（2）方程在区间上有解，等价于方程在区间上有解，
即命题，使得，
则命题，使得恒成立，或恒成立．
①对恒成立，或②对恒成立，
设，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即或，
所以原命题．
17．（15分）解：
（1），
，
，
即，．
解得，．
函数的单调递增区间为，．
（2），．
解得，．
（3），，，
即对称中心横坐标为，，
在y轴右侧第二个对称中心的坐标为．
18．（17分）（1）根据偶函数定义，可得对，都有，
即，即，则．
（2）在上单调递减，在上单调递增．
在上单调递减，在上单调递增，
则，解得．
（3）对，恒成立，，恒成立，
且恒成立，
设，，
则对，，，．
由可知，，，
，，
由可得，
，．
等号当且仅当，时成立，的最大值为．
19．（1）对于数列中的连续3项，，，由，
可得，即必为偶数．
则连续3项，，全为偶数，或为1个偶数2个奇数，
又由为偶数，可得与同奇同偶，
可知数列奇偶项分布为1偶2奇．
记A中奇数元素的个数为m，则．
集合B中所有元素之积为奇数，则B中所有元素为奇数．
设A中所有的奇数元素的集合为C，，且．
则集合B的元素组成情况，即集合C的非空子集共有种，
设事件M：B中所有元素之积为奇数．
则．
（2）设事件N：B中所有元素之和为奇数．
设A中所有的偶数元素的集合为D．B中所有的偶数元素的集合为F，B中所有的奇数元素的集合为E，
则，，，，且为奇数．
则集合B中的偶数元素的组成情况，即F的情况有种．
则集合B中的奇数元素的组成情况，即E的情况有种，
．
（3）1，13除以3的余数为1，记为，；
2.5除以3的余数为2，记为，；
3，21能被3整除，记为，．
由条件可知，不能连续排列．
①，，，，，各自捆绑，则有种排列方案．
②其中2组捆绑，1组分散，以，，，捆绑为例，则仅有或方案，
则有种方案．
③其中1组捆绑，2组分散，以，捆玤为例，在中插空，则必会出现连续，
即相邻3项和被3整除，不合题意．
④3组均分散，则必有连续排列，不合题意．
综上，共有种方案．