湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期期中数学试卷（Word版附解析）

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★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
⒉选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答；用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据求导公式计算，得到答案.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：C
2. 已知为等差数列，，则等于（ ）
A. 21B. 17C. 23D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式求得和公差，然后计算出．
【详解】设公差为，因为，
所以，解得，
所以，
故选：D．
3. 甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ）
A. 6种B. 3种C. 20种D. 12种
【答案】A
【解析】
【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.
【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.
要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，
即有种坐法.
故选：A.
4. 设等比数列前项和为，若，则等于（ ）
A. －2B. －1C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的前项和公式列方程组求解．
【详解】由题意易知数列的公比，
则有，解得，
故选：B．
5. 学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（ ）种．
A. 480B. 360C. 570D. 540
【答案】C
【解析】
【分析】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得，结合分类加法原理计算．
【详解】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得．
因此所求方法数为，
故选：C．
6. 如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是的极大值点D. 是的极小值点
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，求得函数在处的切线方程，得到，通过对其求导分析，得出的单调性，极值和值域，即可一一判断选项正误.
【详解】因函数在点处的切线为，
即，则，
于是，，由图知，当时，，此时，
当时，，此时.
对于B项，由上分析，B项显然错误；
对于C, D项，由上分析，当时，单调递增；当时，单调递减,
即当时，取得极大值，且，故C项正确，D项错误；
对于A项，由上分析时，取得极大值，也是最大值，
则有 ，故A项错误.
故选：C.
7. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意构造函数，由条件不等式判断函数在上单调递减，将不等式转化成，利用单调性将问题简化为在上恒成立，求出函数在上的最小值即得.
【详解】由，，可设，，
则，即函数在上为减函数,
因，则，由可得，即，
故得，即在上恒成立.
令，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则时，取得最小值，故，又，故.
故选：B.
8. 数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列．记是数列的前项和，下列说法错误的是（ ）
A. 首项为1，公比为的等比数列是数列
B. 存在等差数列和等比数列，使得数列是数列
C. 若数列是数列，则数列是数列
D. 若数列是数列，则数列是数列
【答案】D
【解析】
【分析】根据数列的规定一一检测选项A,B,C,均可推理得到，通过举反例可说明D项不是数列即得.
【详解】对于A项，设首项为1，公比为的等比数列是，则，
因为，
则，
故该数列是数列，即A项正确；
对于B项，取，则，
因，
则
，
故该数列是数列，即B项正确；
对于C项，时，，当时，，
因数列数列，
则存在常数，满足,
则
,
而是另一个常数，故数列是数列，即C项正确；
对于D项，当，则，
易得数列是数列，而此时，
于是，而，
具有任意性，故数列不是数列，即D项错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：解决数列新定义的问题时，应充分理解数列的概念，善于观察分析数列新定义的结构特征，灵活运用其性质，善于把陌生的知识点化归为熟悉的知识点或方法，达到解题的目的.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，存多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 等差数列前项和为，则（ ）
A. B.
C. D. 当时，的最小值为16
【答案】AD
【解析】
【分析】设等差数列的公差为d，由，利用等差数列通项公式求出，由此利用等差数列通项公式和求和公式即可求解判断.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，所以，
即，
对于A，，故A正确；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，，，所以,故C错误；
对于D，，
因为，所以当时，，即当时，的最小值为16，故D正确.
故选：AD.
10. 某中学A，B，C，D，E五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（ ）
A. 所有不同的分派方案共种
B. 若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种
C. 若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种
D. 若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据分步乘法计数原理计数可知A正确；对于B，C，按照先分组再分配的方法计数可知B不正确；C正确；对于D，由间接法求解可知D正确.
【详解】对于A，每名学生都有4种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A正确；
对于B，先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有种；
第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有种，故共有种分组方法，
再将分好的三组分配到三个社团，共有种分派方案，故B不正确；
对于C，分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有种，第二类，甲社团分2人，共有种，
根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C正确；
对于D，若每个社团至少派1名学生，则有种，其中学生A，B安排到同一社团时，有种，
故若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时，
共有种不同分派方案，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出导函数得或，然后根据和分类确定的单调性，再根据的正负或为0分类讨论方程根据的个数得值，从而判断各选项．
【详解】由题意得，由题意，为的两根，
由题意或，
选项A，若，则在和上都有，相应均递增，
在上，即递减，从而，
若，则，，因此，不合题意，所以，A正确；
选项B，时，同选项A讨论可得在和上均递减，在上递增，
，又，因此，
以下分类讨论中，可作出的示意图，
若，则，此时有一根，有两根，；
若，则，此时有两根，有两根，；
若，则，此时有三根，有两根，，
均满足，B正确；
选项C，由选项B的讨论知C错误，如时，；
选项D，在选项B的讨论中知，
下面讨论的情形，单调性由选项A的讨论知悉，，
以下讨论中，作出的示意图，
若，，此时有一根，有两根，；
若，则，此时有一根，有两根，；
若，则，此时有一根，有两根，，
，
综上的值为，D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：本题考查函数的导数与极值的关系，单调性与极值的关系，方程的根转化为函数图象与直线的交点，因此分类讨论时，作出函数的图象可使得结论一目了然．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 关于的方程的解是______．
【答案】7
【解析】
【分析】利用组合数和排列数公式求解.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得，
故答案为：7
13. 已知函数在处取得极小值，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将函数求导，依题可得，求得或，代入函数式，进行检验，舍去，即得结论.
【详解】由求导，，
依题意，，即，解得或.
当，时，，，
，
当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，
即时，函数取得极小值，符合题意，此时；
当，时，，，
因 ，
即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去.
故答案：.
14. 已知定义域为的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得出函数的周期是2，引入函数，作出它们的图象，观察图象交点得交点个数，从而得，然后用裂项相消法求和．
【详解】由题意，所以是周期函数，且周期为2，
又，则是偶函数，又也是偶函数，
所以与的图象关于轴对称，它们的交点个数为偶数，
在时，，，
作出函数与的图象，如图，
因为，所以函数与的图象的右侧有个交点，
所以，
，
故答案为：．
【点睛】方法点睛：本题考查方程根的个数问题，考查裂项相消法求和，对于函数方程根的个数，一般需要确定函数的性质（奇偶性、单调性、对称性、周期性等）作出函数的图象，由图象观察得出交点个数，从而可得根的个数．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束．
（1）一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法?
（2）若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法?（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）
【答案】（1）96种 （2）120种
【解析】
【分析】（1）分两种情形：第一种是4次抽到的全是正品，第二种前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，由分类加法原理计算；
（2）由题意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，检测结束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不论正品还是次品）都可以结束，由此计算可得．
【小问1详解】
有以下两种情况：
4次均为正品，共有种；
前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共种；
则共有96种．
【小问2详解】
由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，
当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法；
当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，则共有种抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法；
共120种抽法．
16. 在数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数列递推公式，采用累加的方法可求得数列的通项公式；（2）求数列的前项和，分别采用了错位相减法和分组求和法即可求得结果.
【小问1详解】
因为数列满足，且，
当时，可得，
即，
当时，适合上式，
所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
由于，且，
则，
即，
设，
则，
两式相减得：，
所以，
所以.
17. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值集合．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，分类讨论和，即可求出函数的单调区间；
（2）结合（1）知，当时，不满足题意，则，将恒成立等价于，令，利用导数研究的值域，即可求出实数的取值.
【小问1详解】
由题意得：定义域为，，
当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，令，解得：；
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为；
综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递增区间为；单调递减区间为．
【小问2详解】
当时，，不合题意；
当时，由（1）知；则；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，
实数的取值集合为．
18. 已知数列中，，且对任意正整数都有．若数列满足：，
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设，若为递增数列，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）通过递推关系式确定数列为等差数列，进而确定通项公式，再由可得数列通项公式；
（2）先确定数列的通项公式，由得，分为奇数、偶数讨论即可.
【小问1详解】
根据已知，，则，且，
则数列为首项为2，公差为2的等差数列，故．
由，得，
两式相减有： ，，
当时，也符合上式，；
【小问2详解】
由（1）知，又为递增数列，
所以
整理得
当为偶数时，，而，所以．
当为奇数时，，所以
综上所述，的取值范围是．
19. 已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，得到函数单调性，得到极值和最值情况；
（2）由（1）求出的函数单调性，分，和三种情况，结合函数单调性，得到最小值；
（3）参变分离，，构造，求导得到函数单调性，结合隐零点，得到，并且，由同构和函数单调性得到，从而得到，得到答案.
【小问1详解】
因为，所以，
由，得，所以；由，得，所以，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
所以的最小值为，无最大值．
【小问2详解】
由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，
当，即时，在单调递减，
；
当时，即在单调递减，单调递增，
．
当时，在单调递增，
；
综上所述；
【小问3详解】
恒成立，即恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，
又，所以在上存在唯一的使，
当时单调递增，当时单调递减．
故的最大值为，
又，故，
两边取对数得，
又在定义域内单调递增，所以，故，
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.