2024年福建省厦门市高考数学第二次质检试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年福建省厦门市高考数学第二次质检试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x||x−1|≤4}，B={x|4−xx≥0}，则A∩∁RB=( )
A. (0,4)B. [0,4)C. [−3,0]∪(4,5]D. [−3,0)∪(4,5]
2.已知正项等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且4S3=(a3+1)2，4S4=(a4+1)2，则d=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知α，β为关于x的实系数方程x2−4x+5=0的两个虚根，则|α|+|β|α+β=( )
A. 52B. − 52C. 5D. − 5
4.已知样本2，1，3，x，4，5(x∈R)的平均数等于60%分位数，则满足条件的实数x的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.在平面直角坐标系xOy中，点P在直线3x+4y+1=0上.若向量a=(3,4)，则OP在a上的投影向量为( )
A. (−35,−45)B. (35,45)C. (−325,−425)D. (325,425)
6.设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，P为双曲线左支上一点，且满足|PF1|=|F1F2|，直线PF2与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为( )
A. 53B. 3C. 2D. 5
7.已知cs(140∘−α)+sin(110∘+α)=sin(130∘−α)，求tanα=( )
A. 33B. − 33C. 3D. − 3
8.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{−1,0,1},i={1,2,3,4,5}}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )
A. 60B. 90C. 120D. 130
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1∼6月的GDP数据y(单位：百亿元)建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为y =0.42x+a ，其中解释变量x指的是1∼6月的编号，其中部分数据如表所示：
(参考数据：i=16yi2=796，i=16(yi−y−)2=70)，则( )
A. 经验回归直线经过点(3.5,11)
B. a =10.255
C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元
D. 第4个样本点(x4,y4)的残差为0.103
10.如图1，扇形ABC的弧长为12π，半径为6 2，线段AB上有一动点M，弧AB上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆锥中( )
A. 圆锥的体积为216π
B. 当M为AB中点时，线段MN在底面的投影长为3 7
C. 存在M，使得MN⊥AB
D. MNmin=3 302
11.设f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，且f(x)为单调函数，f(1)>1，若对任意x∈R有f(g(x)−x)=a(a为常数)，g(f(x+2))+g(f(x))=2x+2，则( )
A. g(2)=0B. f(3)2n2+2n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A在C上，且|AF|=5，O为坐标原点，则△AOF的面积为_____________.
13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[−π3,π6]上单调，f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)，则ω的可能取值为__________.
14.已知函数f(x)=xa−lgbx(a>0,b>0,且b≠1)，若f(x)≥1恒成立，则ab的最小值为__________ .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，∠ABB1=π3，AC=2 2，M为A1B1中点，CM= 11.
(1)证明：平面ABC⊥平面ABB1A1；
(2)若BC=2，求平面ABC与平面ABC1夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且sinC=2Sc2−b2.
(1)证明：△ABC是倍角三角形；
(2)若c=9，当S取最大值时，求tanB.
17.(本小题15分)
已知A(2,0)，B(−2,0)，P为平面上的一个动点.设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，且满足k1⋅k2=−34，记P的轨迹为曲线Γ.
(1)求Γ的方程；
(2)直线PA，PB分别交动直线x=t于点C、D，过点C作PB的垂线交x轴于点H.HC⋅HD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
18.(本小题17分)
若∀n∈N*，都存在唯一的实数cn，使得f(cn)=n，则称函数f(x)存在“源数列”{cn}.已知f(x)= x−lnx，x∈(0,1].
(1)证明：f(x)存在源数列；
(2)(i)若f(x)−λ x≤0恒成立，求λ的取值范围；
(ii)记f(x)的源数列为{cn}，证明：{cn}前n项和Sn0，
所以d−2=0，解得d=2.
故选：B.
3.【答案】A
【解析】解：α，β为关于x的实系数方程x2−4x+5=0的两个虚根，
则|α|=|β|，α+β=4，α⋅β=|β|2=5，解得|α|=|β|= 5，
故|α|+|β|α+β=2 54= 52.
故选：A.
根据已知条件，结合韦达定理，以及二次方程虚根的概念，即可求解．
本题主要考查实系数多项式虚根成对定理，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查百分位数的应用，属于基础题．
根据百分位数和平均数的定义计算即可．
【解答】
解：平均数为16×(1+2+3+4+5+x)=15+x6，6×60%=3.6，故60%分位数是排好顺序后的第4个数，
若x≤1，则排列顺序为x，1，2，3，4，5，此时15+x6=3，解得x=3，不符合题意；
若1