2024年天津市九校高考数学模拟试卷（一）（含详细答案解析）

这是一份2024年天津市九校高考数学模拟试卷（一）（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={−1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={−1,0,1}，则(∁UA)∩B=( )
A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2,3}D. {−1,0,1,3}
2.设p：x>0，q：2x>2，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=3x+3−xx3的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.已知2a=5，lg83=b，则4a−3b=( )
A. 25B. 5C. 259D. 53
5.设a=lg0.10.2，b=e0.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A. c>a>bB. a>c>bC. b>c>aD. b>a>c
6.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得χ2=4.236.
参照附表，可得正确的结论是( )
A. 有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B. 有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C. 有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D. 有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
7.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，且C1P=2PC.设三棱锥P−D1DB的体积为V1，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为V，则V1V的值为( )
A. 12
B. 13
C. 16
D. 18
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4，过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标(−2,2)，则双曲线的焦距为( )
A. 3B. 2 3C. 5D. 2 5
9.将函数f(x)=2sin(2x−π3)的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，有下述四个结论：
①g(x)=2sin(x−π6)；
②函数g(x)在(0,π2)上单调递增；
③点(4π3,0)是函数g(x)图像的一个对称中心；
④当x∈[−π,π2]时，函数g(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.复数z满足z=1−i1+i+2i，则|z|=__________.
11.已知(x3+2x2)n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______.
12.圆x2+y2−4x+4y−12=0与圆x2+y2=4的公共弦所在的直线方程为______.
13.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为__________；取出的3件产品中次品的件数X的期望是__________.
14.在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，M，N分别为线段DC和AB的中点，若AB=a，AD=b，用a，b表示MN=______，若MN⊥BC，则∠DAB余弦值的最小值为______.
15.函数f(x)=|x2+x|,x≤0ln(x+1),x>0，关于x的方程f(x)=ax有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B.
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求cs(2A+π6)的值．
17.(本小题15分)
如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2 2，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面ABCD夹角的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
18.(本小题15分)
已知{an}为等差数列，bn={an−6,n为奇数2an,n为偶数，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4=32，T3=16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
19.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为12.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且HF⊥x轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若S△SMG=6S△SHN，求直线MN的方程.
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=xeax−ex.
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)ln(n+1).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.
由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．
【解答】
解：∵∁UA={−1,3}，
∴(∁UA)∩B={−1,3}∩{−1,0,1}={−1}，
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
由q⇒p，但p⇏q，从而p是q的必要不充分条件.
【解答】
解：∵p：x>0，
q：2x>2，即x>1，
∴q⇒p，但p⇏q，
∴p是q的必要不充分条件．
故本题选B.
3.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=3x+3−xx3，所以f(−x)=3−x+3x(−x)3=−3−x+3xx3=−f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，排除选项A，C，
因为f(2)=32+3−223=4136,f(4)=34+3−443=81+3−464=656264>4136=f(2)，所以排除选项B.
故选：D.
先判断函数f(x)是奇函数，排除A，C，再排除选项B，即得解．
本题考查了函数图像的识别，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由2a=5，lg83=b，
可得8b=23b=3，
则4a−3b=4a43b=(2a)2(23b)2=5232=259，
故选：C.
直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
根据对数函数和幂函数、指数函数的单调性即可得出ac>1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了对数函数、指数函数和幂函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：lg0.10.220.3>20=1，
∴b>c>a.
故选C.
6.【答案】A
【解析】解：由题意及表格知，观测值χ2=4.236>3.841，
所以有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”．
故选：A.
根据观测值对照卡方表判定即可．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，且C1P=2PC，
则V1=VP−D1DB=VB−D1DP=13S△D1DP⋅BC=13⋅12DD1⋅CD⋅BC=16V，
所以V1V的值为16.
故选：C.
根据给定的几何体，利用等体积法及锥体体积、柱体体积公式计算作答．
本题考查几何体的体积问题，化归转化思想，属基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线与抛物线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
抛物的准线为x=−p2，不妨设过双曲线右顶点与渐近线平行的直线方程为y=−ba(x−a)，把点(−2,2)代入解得p=4，且2a=2b+ab，由双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，解得a，b，c，进而可得答案．
【解答】
解：抛物的准线为x=−p2，
不妨设过双曲线右顶点与渐近线平行的直线方程为y=−ba(x−a)，
因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标(−2,2)，
所以−p2=−2，且2=−ba(−2−a)，
解得p=4，且2a=2b+ab，
因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，
所以双曲线的左顶点为(−2,0)，
所以a=2，代入2a=2b+ab，
解得b=1，
所以c= a2+b2= 5，
所以双曲线的焦距为2c=2 5，
故选：D.
9.【答案】B
【解析】解：由题意可得：g(x)=2sin(x−π3)，故①错误；
因为x∈(0,π2)，则x−π3∈(−π3,π6)，且y=sinx在(−π3,π6)上单调递增，
所以函数g(x)在(0,π2)上单调递增，故②正确；
因为g(4π3)=2sin(4π3−π3)=2sinπ=0，
所以点(4π3,0)是函数g(x)图像的一个对称中心，故③正确；
因为x∈[−π,π2]，则x−π3∈[−4π3,π6]，
所以当x−π3=−4π3，即x=−π时，函数g(x)的最大值为g(−π)=2sin(−4π3)= 3，故④错误．
故选：B.
根据图像变换可得g(x)=2sin(x−π3)，结合正弦函数的性质逐项分析判断．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换，正弦函数的图像与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【解答】
解：∵z=1−i1+i+2i=(1−i)2(1+i)(1−i)+2i=−i+2i=i，
∴|z|=1.
故答案为：1.
11.【答案】80
【解析】解：已知(x3+2x2)n的展开式中各项系数和为243，即3n=243，解得n=5；
所以Tr+1=C5r⋅x15−3r⋅(2x2)r=C5r⋅2r⋅x15−5r，
令r=3，故常数项为C53⋅23=80.
故答案为：80.
直接利用二项展开式和组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
12.【答案】x−y+2=0
【解析】解：联立x2+y2−4x+4y−12=0x2+y2=4，两式相减得x−y+2=0.
故答案为：x−y+2=0.
两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程．
本题主要考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】715 ； 35
【解析】【分析】
本题以实际问题为载体，考查等可能事件的概率，考查随机变量的期望与分布列，属于基础题．
(1)设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为P(X=1)；
(2)取出的3件产品中次品的件数X可能为0，1，2，求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望．
【解答】
解：(1)设取出的3件产品中次品的件数为X，
3件产品中恰好有一件次品的概率为P(X=1)=C21C82C103=715；
(2)∵X可能为0，1，2
∴P(X=0)=C83C103=715，
P(X=1)=715，
P(X=2)=C22C81C103=115，
∴X的分布为：
则 E(X)=0×715+1×715+2×115=35.
故答案为：715;35.
14.【答案】14a−b 2 23
【解析】解：如图，
∵AB//CD，AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，且AB=a,AD=b，
∴MN=MD+DA+AN=12CD+DA+12AB=−14AB−AD+12AB=14AB−AD=14a−b，
BC=BA+AD+DC=−AB+AD+12AB=−12AB+AD=−12a+b，且MN⊥BC，
∴MN⋅BC=(14a−b)⋅(−12a+b)=−18a2−b2+34a⋅b=0，
∴a⋅b=16a2+43b2，
∴cs∠DAB=a⋅b|a||b|=16a2+43b2|a||b|=|a|6|b|+4|b|3|a|≥2 23，当且仅当|a|6|b|=4|b|3|a|，即|a|=2 2|b|时取等号，
∴∠DAB余弦值的最小值为2 23.
故答案为：2 23.
根据向量加法和数乘的几何意义即可得出MN=14a−b，同样可得出BC=−12a+b，根据MN⊥BC可得出MN⋅BC=0，从而得出a⋅b=16a2+43b2，然后可求出cs∠DAB=|a|6|b|+4|b|3|a|，然后根据基本不等式即可求出最小值．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，基本不等式，考查了计算能力，属于中档题．
15.【答案】{a|a≤−1或0≤a0时，由x=0是函数y=f(x)与直线y=ax的图象的1个交点，
只需函数f(x)=ln(x+1)(x>0)与直线y=ax有1个交点即可，
当直线y=ax与函数f(x)=ln(x+1)(x>0)相切时，
设切点为(x0,y0)，可得f′(x0)=1x0+1=a，且y0=ln(x0+1)，y0=ax0，
可得a−1=lna，
因为y=x−1与y=lnx的图象只有1个交点(1,0)，
可得a=1是a−1=lna的解，
所以0g′(0)=0，与g′(x)≤0矛盾，
②当a≤12时，g′(x)=(ax+1)eax−ex≤(12x+1)e12x−ex，
令r(t)=1+t−et，t∈R，
则r′(t)=1−et，
当t0，r(t)单调递增，
当t>0时，r′(t)1)，
则s′(t)=1+1t2−2t=(t−1)2t2>0，
所以s(t)>s(1)=0，即t−1t>2lnt，
令t= 1+1n，
可得 1+1n−1 1+1n>2ln 1+1n，
即1n 1+1n>lnn+1n，
所以1 n2+n>lnn+1n，
所以1 12+1+1 22+2+...+1 n2+n>ln21+ln32+...+lnn+1n
=ln(21×32×+1n)=ln(n+1)，得证．
【解析】(1)当a=1时，f(x)=(x−1)ex，求导分析f′(x)的符号，进而可得f(x)的单调性，即可得出答案．
(2)令g(x)=f(x)+1=xeax−ex+1，x>0，分析g(x)的单调性，推出当x>0时，g′(x)≤0，即可得出答案．
(3)令s(t)=t−1t−2lnt(t>1)，求导分析单调性，进而可得s(t)>s(1)=0，即t−1t>2lnt，令t= 1+1n，则 1+1n−1 1+1n>2ln 1+1n，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．P(χ2>k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
P
715
715
115