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福建省武夷山第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案）
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这是一份福建省武夷山第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案），文件包含福建省武夷山第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题原卷版docx、福建省武夷山第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 设、是不共线的两个向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A 和B. 与
C. 与D. 与
2. 已知复数，其中是虚数单位，则在复平面上对应的点在第几象限？（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 如图，一个水平放置平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A B. 2C. D.
4. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
5. 如图所示，是直角三角形，，，点是斜边的中点，点是线段靠近点的三等分点，则（ ）
A. 0B. C. D.
6. 设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．）
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若与的夹角为，则D. 若与方向相反，则在上的投影向量是
10. 已知的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A. ，则是锐角三角形
B. 若，，，则有两解
C 若点满足，，，则
D. 若的面积等于2，，当三条高的乘积取最大值时，的值为
11. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 平面DEB
C. 三棱锥外接球的表面积是
D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12. 方程在复数范围内的解是______．
13. 已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为______．
14. 2023年第5号台风“杜苏芮”强度偏强、影响严重，影响了我国东部14省（区、市）并造成严重灾害损失.中央气象台介绍，“杜苏芮”（DOKSURI）（超强台风级）的中心附近最大风力有17级（58米/秒），七级风圈半径300-450公里，十级风圈半径120-180公里，十二级风圈半径90-120公里.如图为我国东南地区局部某台风风云图．其中，福州市与台北市的直线距离约为240千米，且在平面地图中，其直线距离方向与经线（视为直线）所成角度为60°．若某时存在一台风C，已经运动到另一个地点，且记中心地点为点Q，Q位于台北市西偏南15°方向，福州市位于Q北偏东20°方向.记福州市为点P，台北市为点T，则∠PQT的大小为______；若此台风向东北方向以15公里每小时的速度匀速运动，且台风运动过程中，各参数（如运动方向、风速等）视为不变，从台风运动到Q点开始，到福州市受台风C的风圈半径为180公里的十级风圈影响结束为止的总时间约为______小时.（结果精确到整数位）（参考数据：，，，）
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 用分层随机抽样从某校高一年级640名学生的数学周测成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计男生成绩样本数据的第80百分位和上四分位数；
（2）已知男生成绩样本数据的平均数为81，女生成绩样本数据的平均数为79，请估计总体平均数．
16. 已知，．
（1）若，求与共线的单位向量；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若，求函数的最大值和最小值．
17. 若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）若，，求边上高；
（2）若的最大角是最小角的倍，判断的形状．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是三个内角，，的对边
（1）若，
①求；
②若，设点为的费马点，求的值；
（2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 设、是不共线的两个向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A 和B. 与
C. 与D. 与
2. 已知复数，其中是虚数单位，则在复平面上对应的点在第几象限？（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 如图，一个水平放置平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A B. 2C. D.
4. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
5. 如图所示，是直角三角形，，，点是斜边的中点，点是线段靠近点的三等分点，则（ ）
A. 0B. C. D.
6. 设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．）
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若与的夹角为，则D. 若与方向相反，则在上的投影向量是
10. 已知的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A. ，则是锐角三角形
B. 若，，，则有两解
C 若点满足，，，则
D. 若的面积等于2，，当三条高的乘积取最大值时，的值为
11. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 平面DEB
C. 三棱锥外接球的表面积是
D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12. 方程在复数范围内的解是______．
13. 已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为______．
14. 2023年第5号台风“杜苏芮”强度偏强、影响严重，影响了我国东部14省（区、市）并造成严重灾害损失.中央气象台介绍，“杜苏芮”（DOKSURI）（超强台风级）的中心附近最大风力有17级（58米/秒），七级风圈半径300-450公里，十级风圈半径120-180公里，十二级风圈半径90-120公里.如图为我国东南地区局部某台风风云图．其中，福州市与台北市的直线距离约为240千米，且在平面地图中，其直线距离方向与经线（视为直线）所成角度为60°．若某时存在一台风C，已经运动到另一个地点，且记中心地点为点Q，Q位于台北市西偏南15°方向，福州市位于Q北偏东20°方向.记福州市为点P，台北市为点T，则∠PQT的大小为______；若此台风向东北方向以15公里每小时的速度匀速运动，且台风运动过程中，各参数（如运动方向、风速等）视为不变，从台风运动到Q点开始，到福州市受台风C的风圈半径为180公里的十级风圈影响结束为止的总时间约为______小时.（结果精确到整数位）（参考数据：，，，）
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 用分层随机抽样从某校高一年级640名学生的数学周测成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计男生成绩样本数据的第80百分位和上四分位数；
（2）已知男生成绩样本数据的平均数为81，女生成绩样本数据的平均数为79，请估计总体平均数．
16. 已知，．
（1）若，求与共线的单位向量；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若，求函数的最大值和最小值．
17. 若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）若，，求边上高；
（2）若的最大角是最小角的倍，判断的形状．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是三个内角，，的对边
（1）若，
①求；
②若，设点为的费马点，求的值；
（2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
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福建省厦门第一中学2023-2024学年高一下期中考试数学试题（Word版附答案）： 这是一份福建省厦门第一中学2023-2024学年高一下期中考试数学试题（Word版附答案），共4页。
