2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项练习三（含答案）

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如图，已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
(1)求b，c的值；
(2)连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m(m＞0)个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE＋MN＝10，求m的值．
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c(c≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)点C的纵坐标为 (用含b的式子表示)，∠OBC＝ 度；
(2)当b＝1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为(3，2)．
①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；
②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2(a≠0)．
(1)当a＝﹣eq \f(1,8)时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线(用含a的代数式表示)及二次函数图象经过的定点坐标是 ．
(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
(4)已知点A(0，﹣3)、B(5，﹣3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋3分別交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)，经过A，C两点，与x轴交于点B(1，0)
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为直线AC上一点，点E为拋物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADFE是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
(3)若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交拋物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．
如图所示，在平面直角坐标系中，过点A(﹣eq \r(3)，0)的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
(1)求线段BC的长度；
(2)试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
(3)若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
(4)在(3)的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线y1=kx＋2与x轴交于点A(m，0)(m＞4)，与y轴交于点B，抛物线y2=ax2﹣4ax＋c(a＜0)经过A，B两点.P为线段AB上一点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q．
(1)当m=5时，
①求抛物线的关系式；
②设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示PQ的长，并求当x为何值时，PQ=eq \f(8,5)；
(2)若PQ长的最大值为16，试讨论关于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系．
已知直线y=eq \f(1,2)x+m与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣eq \f(1,2)x2+bx+3过A、C两点，交x轴另一点B．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，P、Q两点在第二象限的抛物线上，且关于对称轴对称，点F为线段AP上一点，2∠PQF+∠PFQ=90°，射线QF与过点A且垂直x轴的直线交于点E，AP=QE，求PQ长；
(3)如图3，在(2)的条件下，点D在QP的延长线上，DP：DQ=1：4，点K为射线AE上一点连接QK，过点D作DM⊥QK垂足为M，延长DM交AB于点N，连接AM，当∠AMN=45°时，过点A作AR⊥DN交抛物线于点R，求R点坐标．
在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2＋bx＋c经过A(﹣2，0)，B(1,﹣eq \f(9,4))两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线L1的表达式；
(2)将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上(点D在点E的上方)，若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．
\s 0 答案
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，﹣5)和点B(5，0)，
∴，解得：，
∴b，c的值分别为﹣4，﹣5．
(2)①设直线AB的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，
把A(0，﹣5)，B(5，0)的坐标分别代入表达式，
得，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5．
由(1)得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，
当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣3，
∴点M的坐标是(2，﹣3)；
②设抛物线L1的表达式为y＝(x﹣2＋m)2﹣9，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是(2，m2﹣9)，
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是(﹣1，m2﹣6m)，
设PE交抛物线L1于另一点Q，
∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2﹣m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是(5﹣2m，m2﹣6m)，
(Ⅰ)如图1，当点N在点M及下方，即0＜m＜eq \r(6)时，
∴PQ＝5﹣2m﹣(﹣1)＝6﹣2m，MN＝﹣3﹣(m2﹣9)＝6﹣m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝6﹣2m＋m＝6﹣m，
∵PE＋MN＝10，
∴6﹣m＋6﹣m2＝10，解得，m1＝﹣2(舍去)，m2＝1，
(Ⅱ)如图2，当点N在点M及上方，点Q在点P及右侧，
即eq \r(6)＜m＜3时，PE＝6﹣m，MN＝m2﹣6，
∵PE＋MN＝10，
∴6﹣m＋m2﹣6＝10，解得，m1＝ (舍去)，m2＝ (舍去)．
(Ⅲ)如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，
即m＞3时，PE＝m，MN＝m2﹣6，
∵PE＋MN＝10，
∴m＋m2﹣6＝10，解得，m1＝ (舍去)，m2＝，
综合以上可得m的值是1或．
解：(1)将(﹣1，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c得0＝﹣1﹣b＋c，解得c＝b＋1，
∴y＝﹣x2＋bx＋b＋1，
设点B坐标为(x2，0)，
则抛物线对称轴为直线x＝，解得x2＝b＋1，
∴点B坐标为(b＋1，0)，
∴OC＝OB＝b＋1，
∴∠OBC＝45°，
故答案为：b＋1，45．
(2)当b＝1时，y＝﹣x2＋x＋2，
作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，
设直线BC解析式为y＝kx＋b，
将B(2，0)，(0，2)代入y＝kx＋b得
，解得，
∴y＝﹣x＋2．
设点P坐标为(m，﹣m2＋m＋2)，则点E坐标为(m，﹣m＋2)，
∴PE＝﹣m2＋2m，
∵S△BCP＝S△CEP＋S△BEP＝eq \f(1,2)PExP＋eq \f(1,2)PE(xB﹣xP)＝eq \f(1,2)PExB＝﹣m2＋2m＝﹣(m﹣1)2＋1，
∴m＝1时，△BCP面积的最大为1，此时点P坐标为(1，2)．
(3)①∵y＝﹣x2＋bx＋b＋1＝﹣(x﹣)2＋＋b＋1，
∴点Q坐标为(， ＋b＋1)，
∵A(﹣1，0)，
∴点A，Q中点坐标为(﹣＋， ＋＋)，
∴＋＋＝2，解得b＝2或b＝﹣6，
当b＝2时，点Q坐标为(1，4)，
当b＝﹣6时，点Q坐标为(﹣3，4)．
②∵E(3，2)，
∴点F坐标为(0，2)，
将(0，2)代入y＝﹣x2＋bx＋b＋1得b＋1＝2，解得b＝1，
将E(3，2)代入y＝﹣x2＋bx＋b＋1得2＝﹣9＋4b＋1，解得b＝eq \f(5,2)，
∴1≤b＜eq \f(5,2)，满足题意．
当抛物线顶点Q(， ＋b＋1)落在y轴上时，＝0，解得b＝0，
当抛物线经过原点时，0＝b＋1，解得b＝﹣1，
∴﹣1＜b≤0符合题意．
综上所述，1≤b＜eq \f(5,2)或﹣1＜b≤0．
解：(1)a＝﹣eq \f(1,8)时，y＝﹣eq \f(1,8)x2﹣eq \f(7,4)x＋eq \f(15,8)
∴对称轴为直线x＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣eq \f(1,8)x2﹣eq \f(7,4)x＋eq \f(15,8)得，y＝8，
∴顶点坐标为(﹣7，8)；
(2)∵y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2(a≠0)．
∴对称轴为直线x＝1＋eq \f(1,a)，
∵y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2＝a(x﹣1)2﹣2(x﹣1)＝(x﹣1)[a(x﹣1)﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为(1，0)；
故答案为：(1，0)；
(3)由(2)知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1＋eq \f(1,a)，
分两种情况：①当a＜0时，1＋eq \f(1,a)＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1＋eq \f(1,a)＞1，
i)当1＜1＋eq \f(1,a)≤3时，即a≥eq \f(1,2)，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10(a＋1)＋a＋2＝8，∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x＋3；
ii)当1＋eq \f(1,a)＞3时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x＋3；
(4)分三种情况：①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2＝﹣3，
ax2﹣2(a＋1)x＋a＋5＝0，
Δ＝4(a＋1)2﹣4a(a＋5)＝0，
∴a＝eq \f(1,3)，当a＝eq \f(1,3)时，eq \f(1,3)x2﹣eq \f(8,3)x＋eq \f(16,3)＝0，解得：x1＝x2＝4(符合题意，如图1)，
②当a＞0时，如图2，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，解得：﹣5＜a＜eq \f(5,16)，∴0＜a＜eq \f(5,16)；
③当a＜0时，如图3，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，解得：﹣5＜a＜eq \f(5,16)，∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝eq \f(1,3)或0＜a＜eq \f(5,16)或﹣5＜a＜0．
解：(1)当y=0时，x＋3=0，解得x=﹣3，则A(﹣3，0)，
当y=0时，y=x＋3=3，则C(0，3)，
设抛物线解析式为y=a(x＋3)(x＋1)，
把C(0，3)代入得a•3•(﹣1)=3，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣(x＋3)(x﹣1)，
即y=﹣x2﹣2x＋3；
(2)连结DE交x轴于H，如图1，
∵D，E两点的横坐标都为2，
∴DE⊥x轴，且DE被x轴平分，H(2，0)
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴AH=FH=2﹣(﹣3)=5，
∴OF=OH＋HF=7，
∴F点的坐标为(7，0)；
(3)如图2，设P(t，t＋3)(﹣3＜t＜0)，则Q(t，﹣t2﹣2t＋3)，
则PQ=﹣t2﹣2t＋3﹣(t＋3)=﹣t2﹣3t，
∵S△ACQ=S△AQP＋S△CQP，∴S△ACQ=eq \f(1,2)•3•PQ=﹣eq \f(3,2)t2﹣eq \f(9,2)t=﹣eq \f(3,2)(t＋eq \f(3,2))2＋3eq \f(3,8)，
当t=﹣eq \f(3,2)时，△ACQ的面积有最大值，最大值为3eq \f(3,8)．
解：(1)∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，
∴B(0，3)，C(0，﹣1)，∴BC=4，
(2)∵A(﹣eq \r(3)，0)，B(0，3)，C(0，﹣1)，∴OA=eq \r(3)，OB=3，OC=1，
∴OA2=OB×OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(﹣eq \r(3)，0)和C(0，﹣1)代入y=kx+b，
∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣eq \f(\r(3),3)x﹣1，
∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=﹣eq \f(\r(3),3)x﹣1，∴x=﹣2eq \r(3)，∴D的坐标为(﹣2eq \r(3)，1)，
(4)设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，
把B(0，3)和D(﹣2eq \r(3)，1)代入y=mx+n，
∴，解得，
∴直线BD的解析式为：y=eq \f(\r(3),3)x+3，
令y=0代入y=eq \f(\r(3),3)x+3，∴x=﹣3eq \r(3)，∴E(﹣3eq \r(3)，0)，∴OE=3eq \r(3)，
∴tan∠BEC==eq \f(\r(3),3)，∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，
当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，
∴P与E重合，∴P的坐标为(﹣3eq \r(3)，0)，
当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为﹣eq \r(3)，
令x=﹣eq \r(3)代入y=eq \f(\r(3),3)x+3，∴y=2，∴P(﹣eq \r(3)，2)，
当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=2eq \r(3)，EB=6，
若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，
∴P1B=AB=2eq \r(3)，∴EP1=6﹣2eq \r(3)，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣eq \r(3)，
令y=3﹣eq \r(3)代入y=eq \f(\r(3),3)x+3，∴x=﹣3，∴P1(﹣3，3﹣eq \r(3))，
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，
∴P2B=AB=2eq \r(3)，∴EP2=6+2eq \r(3)，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+eq \r(3)，
令y=3+eq \r(3)代入y=eq \f(\r(3),3)x+3，∴x=3，∴P2(3，3+eq \r(3))，
综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，
点P的坐标为(﹣3eq \r(3)，0)，(﹣eq \r(3)，2)，(﹣3，3﹣eq \r(3))，(3，3+eq \r(3))．
解：(1)①∵m=5，
∴点A的坐标为(5，0)，
把A(5，0)代入y1=kx＋2得5k＋2=0，解得k=﹣eq \f(2,5)，
∴直线解析式为y1=﹣eq \f(2,5)x＋2，
当x=0时，y1=2，∴点B的坐标为(0，2)．
将A(5，0)，B(0，2)代入y2=ax2﹣4ax＋c，
得，解得，
∴抛物线的表达式为y=﹣eq \f(2,5)x2＋eq \f(8,5)x＋2；
②设点P的坐标为(x，﹣eq \f(2,5) x＋2)，则Q(x，﹣eq \f(2,5) x2＋eq \f(8,5)x＋2)，
∴PQ=﹣eq \f(2,5)x2＋eq \f(8,5)x＋2﹣(﹣eq \f(2,5)x＋2)=﹣eq \f(5,2)x2＋2x，而PQ=eq \f(8,5)，
∴﹣eq \f(5,2)x2＋2x=eq \f(8,5)，解得：x1=1，x2=4，
∴当x=1或x=4时，PQ=eq \f(8,5)；
(2)设P(x，kx＋2)，则Q(x，ax2﹣4ax＋2)，PQ的长用l表示，
∴l=ax2﹣4ax＋2﹣(kx＋2)=ax2﹣(4a＋k)x，
∵PQ长的最大值为16，如图，
当h=16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解；
当h＞16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解；
当0＜h＜16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解．
解：(1)∵当x=0时，y=﹣eq \f(1,2)x2+bx+3，∴C(0，3)，
将点C代入y=eq \f(1,2)x+m得m=3，当y=0时，x=﹣6，∴A(﹣6，0)，
将点A代入y=﹣eq \f(1,2)x2+bx+3得b=﹣eq \f(5,2)，
∴抛物线的解析式为y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,2)x+3；
(2)如图2，延长QP、AE交于点H，
∵点P、Q关于对称轴对称，∴QP∥x轴，
∵AE⊥x轴，∴∠H=90°，
∵2∠PQF+∠PFQ=90°，
∴∠PQF+∠PFQ=90°﹣∠PQF=∠HEQ=∠HAP+∠EFA，∴∠PQF=∠HAP，
在△HAP和△QEH中，
∴△HAP≌△QEH，∴QH=AH，
过点Q作QK⊥AB于点G，
∴四边形AGQH是正方形，
设点Q(t，﹣eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,2)t+3)，∴QH=t+6，QG=﹣eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,2)t+3，
∴t+6=﹣eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,2)t+3，解得：t=﹣1或t=﹣6(舍去)，
∴Q(﹣1，5)；
∵点P、Q关于x=﹣eq \f(5,2)对称，∴点P(﹣4，5)，
∴PQ=3；
(3)∵DP：DQ=1：4，∴DP=1，D(﹣5，5)，HD=1，
∵DN⊥QK，∠AMN=45°，
过点A作AG⊥AM交DN延长线于点G，如图3，
∴AM=AG，∴KMN+∠KAN=180°，
∴∠MKA+∠MNA=180°，∠ANG+∠MNA=180°，
∴∠MKA=∠ANG，
∵KAN=∠MAG=90°，∴∠MAK=∠NAG，
在△AKM和△ANG中，
∴△AKM≌△ANG，∴AK=AN，
过点D作DL⊥AB于点L，四边形HALD是矩形，
∴HD=AL=1，AH=DL=QH，∠HKQ=∠DNL，
在△HKQ和△LND中，
∴△HKQ≌△LND，∴HK=LN，
设HK=LN=m，则AN=AK=m+1，
∴AH=m+1+m=5，∴m=2，
∵∠HQK=∠OAR，
∴tan∠HQK=tan∠OAR=，
设R(m，﹣﹣eq \f(1,2)m2﹣eq \f(5,2)m+3)，过点R作RS⊥AB于点S，
∴，∴m=或m=﹣6(舍)，
∴R(，)．
解：(1)设抛物线L1的表达式是y=a(x﹣1)2﹣eq \f(9,4)，
∵抛物线L1过点A(﹣2，0)，
∴a(﹣2﹣1)2﹣eq \f(9,4)=0，解得a=eq \f(1,4)，
∴y=eq \f(1,4)(x﹣1)2﹣eq \f(9,4)．
即抛物线L1的表达式是y=eq \f(1,4)(x﹣1)2﹣eq \f(9,4)；
(2)令x＝0，则y＝﹣2，∴C(0，﹣2)．
Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，
∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，
∴点D3的坐标为(0，0)，点E3的坐标为(﹣2，﹣2)．
设y=eq \f(1,4)x2＋bx，则b=eq \f(3,2)
即抛物线L2的解析式是y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x．
Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，
如图，第①种情况，点D1，E1在AC的右上角时．
∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴点D1的坐标为(0，2)，点E1的坐标为(2，0)．
设y=eq \f(1,4)x2＋bx＋2，则b=﹣eq \f(3,2)，
即抛物线L2的解析式是y=eq \f(1,4)x2﹣eq \f(3,2)x＋2．
第②种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2M⊥x轴，
则有△AD2M≌△AD1O，
∴AO＝AM，D1O＝D2M．
过E2作E2N⊥y轴，同理可得，△CE2N≌△CE1O，
∴CO＝CN，E1O＝E2N．
则点D2的坐标为(﹣4，﹣2)，点E2的坐标为(﹣2，﹣4)，设C，
则，解得，
即抛物线L2的解析式是y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x﹣4．
综上所述：L2的表达式为：y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x，y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋2或y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x﹣4．