龙岩市2024届高三5月质检数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．5 13． 14．
8. [解析]
为的零点
为图象的对称轴
，

又
当时,
,
当时，，故有2个零点,不符合，舍去.
当时，

当时，，此时有且仅有1个零点，
符合，选B.
[解析]
因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，
则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即，
所以，，即抛物线方程为，焦点为.
设，对选项A，由得，
则，又因为，解得，
所以直线l的斜率为，故A选项错误；
对选项B，由抛物线定义得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
因此的最小值为，B正确；
对选项C，如图，不妨设在第一象限，
设
设直线，联立抛物线的方程消，
得，
又，
所以，
，为钝角.
故C选项正确；
对选项D，
，，设，则，
由抛物线的定义可得，
，
又，
则，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，
故D选项正确.
故选：BCD.
14.[解析]依题意得与只有一个交点，即两曲线相切，
则只有一个解，
，化简得，将其代入，
得，
，即，.
，
则，设，
则，
在单调递减，,
的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（本题满分13分）
解：（1）由得，，3分
点在函数的图象上，
5分
显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则，
7分
10分
. 13分
16．（本题满分15分）
解：（1）在四棱台中, 延长后必交于一点，
故四点共面， 1分
因为平面,平面,故, 2分
连接，因为底面四边形为菱形，故,3分
平面,
故平面,5分
因为平面,所以. 6分
（2）过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）,
设，则，
由于，故,9分
则,，
则，，，
记平面的法向量为,
则,即，令，
则，即，
平面的法向量可取为，
则. 14分
所以二面角的余弦值为. 15分
17．（本题满分15分）
解：（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即 2分
，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以
，4分
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为．
5分
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
9分
所以的数学期望. 10分
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以， 所以，
所以


. 12分
令
得，，
又，
所以当时，取得最大值. 14分
所以当时，每箱产品利润最大. 15分
18．（本题满分17分）
（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
因为与，都内切，所以，，
所以，2分
又，，故，
所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，则，，
即所以，
故的方程为：.4分
（2）（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，……………………5分
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：，7分
所以，.
又，，所以直线. 9分
（ii）由（i）知直线的方程为：，过定点，
设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，11分
又，所以直线的方程为，12分
令得，
，14分
所以，设,同理得.
不妨设.
所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
16分
所以， 17分
19．（本题满分17分）
解：（1）设函数为恒切函数，则有，
使且，即，
解得，故函数是恒切函数. 4分
（2）（i）由函数为恒切函数可知，
存在，使得且，
即解得，，6分
设，，
当时，递增；当时，递减. 8分
，即实数的取值范围是. 9分
（ii）当时，，10分
函数为恒切函数. 又，
所以存在，使得，即. 11分
令,则，
当时，递减；当时，递增.
所以当时，
，，
故在上存在唯一，
使得，即. 13分
又由
得
由得，所以. 15分
又，所以当时，有唯一零点，
故由得，即. 16分
17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
B
C
A
C
B
D
D
B
题号
9
10
11
选项
BC
ACD
BCD
0
1
2
3